2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期11月期中数学（文）试题（解析版）

2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期11月期中数学（文）试题

一、单选题

1．复数，则|（    ）

A． B．1 C． D．5

【答案】A

【分析】利用复数除法运算化简，由此求得.

【详解】因为，所以．

故选：A

2．设全集为实数集，集含，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交、补运算，求即可.

【详解】由题设，，

∴.

故选：C

3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】本题考察函数的单调性与奇偶性

由函数的奇偶性定义易得，，是偶函数，是奇函数

是周期为的周期函数，单调区间为

时，变形为，由于2>1,所以在区间上单调递增

时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数

故选择A

4．已知向量的夹角为，，，则（    ）

A． B．21 C．3 D．9

【答案】C

【分析】利用平方的方法求得正确答案.

【详解】

.

故选：C

5．执行如图所示的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.

【详解】输入的为，

不满足条件；

不满足条件；

满足条件

输出，故选C．

【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．

6．已知命题；命题是的充要条件则下列为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断命题的真假，然后由复合命题的真值表判断各选项同．

【详解】，命题是真命题，

时，，因此命题是假命题．

因此只有是真命题．

故选：C．

7．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据函数图象得到、的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.

【详解】根据图象可得，周期，因为，所以，，

将代入可得，解得，因为，所以，所以，，因为，所以向左平移个单位长度即可得到的图象.

故选：B.

8．已知函数，则函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值确定正确选项.

【详解】，

的定义域为，，排除A选项.

，

所以为偶函数，图像关于轴对称，排除B选项.

，排除 C选项.

故选：D

9．如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】根据向量线性运算法则，结合题意即可求解

【详解】因为在正方形中，分别为边的中点，

所以，

所以，所以，

故选：C

10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三视图作出原几何体，确定其结构，然后计算体积．

【详解】由三视图知原几何体是半个圆柱上面放置半个球，圆柱底面直径与半球的直径相同，如图，尺寸见三视图，

．

故选：C．

11．在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中a，b，c的形式构造函数，利用二次求导的方法判断函数的单调性，根据单调性即可比较大小.

【详解】因为，，，

所以令，则，

令，则，

∴在上单调递减，，

∴恒成立，∴在上单调递减．

∵，∴，

即，所以，

所以，即，

故选：D．

二、填空题

13．已知曲线的一条切线是，则实数________．

【答案】1

【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可.

【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，

解得，．

故答案为：1.

14．已知函数（），给出下面三个论断：

①在区间上单调递增；

②的图象关于点中心对称：

③的图象关于直线轴对称，

以其中一个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______.（用论断的序号表示为形如“④⑤⑥”的形式）

【答案】②①③或③①② (二者写出任意一个即可)

【分析】情形1：由②可以确定, 即可以确定,进而可以推证①③正确；

情形2：由③也可以确定,即可以确定,进而可以推证①②正确.

【详解】情形1  ②①③.

若②作为条件, 即的图象关于点对称,

则,

因为, 所以,

因此, 所以

故.

由, 可得是增函数,故①正确;

当 时, , 故③正确.

故②①③.

情形2，③①②

若③作为条件, 则图象关于直线对称,

则.

因为, 所以令, 可得, 故.

由, 可得 是增函数,故①正确

, 所以的图象关于点对称,故②正确.

故③ ①②

故答案为：② ①③或③①②

15．已知x，y满足约束条件，且的最大值为___________.

【答案】##3.5

【分析】作出约束条件表示的平面区域，然后使用平移直线法可得.

【详解】作出不等式组的可行域，如图所示，

作直线：，平移直线到点时，目标函数取得最大值.

，解得，即，

所以的最大值为.

故答案为：

三、双空题

16．已知数列中，，若对任意的，都有，那么__________；__________.

【答案】         

【分析】令，求出，令，即可得到，从而得到数列是首项为，公差为的等差数列，即可求出的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】解：数列中，，

对任意的，都有，

令，，解得，

令，所以，即，

数列是首项为，公差为的等差数列，

，，

所以．

故答案为：；．

四、解答题

17．等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；

（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设数列{an}的公比为q,

由＝9a2a6得＝9,

所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故.

所以数列的前n项和为

18．已知函数 在处取得极值2．

(1)求的值；

(2)若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）对函数求导，根据题意建立关于，的方程组，解出即可；

（2）由（1）求出函数的单调性及极值情况，由此可得答案．

【详解】（1），

依题意，，解得，

经检验，，符合题意，

，的值分别为，；

（2）由（1）可得，，方程有三个相异实根，

即的图象与直线有三个不同的交点，

，

令，解得或，令，解得，

在单调递增，在单调递减，

且，

，即实数的取值范围为．

19．a，b，c分别是角A，B．C的对边(a+b+c)(sinB+sinC—sinA)=3bsinC

(1)求角A：

(2)若△ABC的面积为，，求△ABC的周长

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可得，然后由余弦定理可得出答案;

（2）由可得，然后用余弦定理求出即可.

【详解】（1）∵，

∴根据正弦定理可得，

即．

∴由余弦定理得．

又，所以．

（2）    

由余弦定理得：

，解得：

的周长.

20．已知等差数列的前项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项．若，求．（用含的式子表示）

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差，进而得到；

（2）利用等比数列通项公式可得，由可得与之间关系；若选条件①，可知当为偶数时，，不合题意；若选条件②，可知，不合题意；若选条件③，可知，并知，由此可得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

，解得：，，

.

（2）若选条件①，，，又，

由得：，；

当为偶数时，，不符合，则不能选择条件①；

若选条件②，，，又，

由得：，；

当且时，为奇数，则，不合题意，则不能选择条件②；

若选条件③，，，又，

由得：，；

当时，为偶数，，满足题意；

综上所述：.

21．已知函数，，为自然对数的底数.

（1）证明：；

（2）若恒成立，求实数的范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；

（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.

【详解】（1），于是，.

又因为，当时，且.

故当时，，即.

所以，函数为上的增函数，于是，.

因此，对，；

（2）恒成立，

恒成立.

令，，，.

①当时，，

由（1）可知，

在上为增函数，

恒成立.

时满足题意

②当时，由（1）可知

在上单调递增，

而∴存在，使得.

∴时，单调递减，

，不合题意，舍去.

综上，.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式

证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．在极坐标系中，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的极坐标方程，设直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于、两点

(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)已知点是曲线上一点，求的面积最大值．

【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.

(2)

【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线的直角坐标方程，在直线的参数方程中消去参数，可得出直线的普通方程；

（2）求出以及点到直线距离的最大值，利用三角形的面积公式即可得解.

【详解】（1）解；曲线的极坐标方程，即，

所以，曲线的普通方程为，即，

在直线的参数方程中消去参数得，即直线的普通方程为.

（2）解；曲线是表示以点为圆心，以为半径的圆，

圆心到直线的距离为，则，

点到直线距离的最大值为，

因此，的面积最大值为.

23．1.设实数a，b，c均为正实数

(1)证明：

(2)当a+b+c=1时，证明：

【答案】(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

【分析】（1）作差法比较两个式子的大小；（2）将a+b+c=1代入不等式左边变形，再利用基本不等式进行证明.

【详解】（1）

当且仅当a=b时，等号成立，证毕

（2）因为a+b+c=1，所以

因为实数a，b，c均为正实数，所以，，，当且仅当a=b=c=时，等号成立，此时，证毕