2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期9月阶段性检测数学（理）试题含解析

2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期9月阶段性检测数学（理）试题

一、单选题

1．设全集2，3，，，则等于　　

A． B．

C．4，5， D．2，3，4，5，

【答案】D

【分析】先求出集合A，B，再利用并集定义能求出结果．

【详解】全集2，3，，

3，5，，

2，3，4，5，．

故选D．

【点睛】本题考查并集的求法，是基础题．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

3．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.

【详解】由题意可得：

又

∴

故选：C

【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.

4．的定义域是，其导函数为，，其导数为，若，且（其中是自然对数的底数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据得到的单调性，即可判断ABD，由，求出，即可判断C.

【详解】因为，所以由可得，由可得

所以在上单调递增，在上单调递减

所以，，故A、B错误

，所以，即，所以D正确

因为，，所以，解得，故C错误

故选：D

5．已知命题p：∃x0∈R，sin x0≥，则是

A．∃x0∈R，sin x0≤ B．∃x0∈R，sin x0＜

C．∀x∈R，sin x≤ D．∀x∈R，sin x<

【答案】D

【分析】根据含有量词命题的否定即可得到选项．

【详解】即为命题p的否定, 由含有量词的否定形式可知,

为∀x∈R，sin x<

所以选D

【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．

6．某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，，b为常数).若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在33℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在22时的保鲜时间是（    ）

A．40小时 B．44小时 C．48小时 D．52小时

【答案】C

【解析】根据题意列出方程组求解函数解析式，令代入解析式求y即可.

【详解】根据题意有，所以，

当时，，即该食品在22时的保鲜时间是48小时.

故选：C

7．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

8．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0，2)上恰好有(　　)

A．0个零点 B．1个零点

C．2个零点 D．3个零点

【答案】B

【分析】求出导数，并由题意得到函数在区间上(0，2)为减函数，然后根据零点存在性定理进行判断可得结论．

【详解】∵f(x)＝x3－ax2＋1，

∴，且a>2，

∴当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．

又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，

∴f(x)在(0，2)上恰好有1个零点．

故选B.

【点睛】运用函数零点存在性定理可判断函数在给定区间上是否有零点，但无法判断零点的个数，若函数在给定区间上具有单调性，则可判断出零点的个数了．

9．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列比较大小错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件可得，所以构造函数，求导后可得，从而可得g（x）在R上单调递增，然后分析判断

【详解】由已知，可得，

设，则，

∵，因此g（x）在R上单调递增，

所以，，

即

所以，

所以ABD正确，C错误，

故选：C．

10．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．

【详解】因为对任意的，有，

所以当时，，所以在上是减函数，

又是偶函数，所以，，

因为，所以，即．

故选：D．

【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．

11．给出下列说法：

①“”是“”的充分不必要条件；

②命题“，”的否定形式是“，”.

③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果.

【详解】①时，反之不然，所以“”是“”的充分不必要条件；

②命题“，”的否定形式是“，”, ②错；

③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.

综上正确说法的个数为2，选C.

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

12．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围

【详解】因为，所以.由，得.

当时，，又，则.

因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.

故选：D.

二、填空题

13．设函数，，则实数a＝______．

【答案】2；

【分析】先对求导，再利用即可求解.

【详解】，所以，解得，

故答案为：.

14．已知函数，若的四个根为，且,则________．

【答案】2

【分析】由，根据指对互换原则，可解得的值，代入即可求解.

【详解】因为，所以，所以或，所以或.解得，，，，所以，所以，故答案为2.

【点睛】本题考查指对数的互换，含绝对值方程的解法，考查计算化简的能力，属基础题

15．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.

【答案】

【分析】把函数有两个极值点，转化为有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点.利用导数研究的单调性与极值，即可求出m的取值范围.

【详解】的定义域为，.

要使函数有两个极值点，

只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.

由得，.

令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.

，令得：x>1；令得：0<x<1；

所以在上单减，在上单增.

当时，；当时，；

作出和的图像如图，

所以-1<m<0

即实数m的取值范围为.

故答案为：

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，

16．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【分析】由导函数求得极大值，利用极大值点在区间上，且的极大值可得参数范围．

【详解】，

或时，，时，，

所以在和上都递增，在上递减，

，

在区间上有最大值，则，解得．

故答案为：．

三、解答题

17．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)正方形都是菱形；

(2)∃x∈R，使4x-3>x；

(3)∀x∈R，有x+1=2x；

(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

(4)答案见解析

【分析】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.

【详解】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．

(2)命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．

(3)命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．

(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．

18．已知函数.

（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.

（2）若的单调递减区间为，求a的值.

【答案】（1）；（2）3.

【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；

（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案

【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，

所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，

所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是

（2）由题意知.因为，所以.

由，得，

所以的单调递减区间为，

又已知的单调递减区间为，

所以，

所以，即.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.

19．（1）求函数的值域；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用换元法，令，解得后代入可得，根据二次函数性质可求得值域；（2）利用分离常数法可得，从而可得，进而得到值域.

【详解】（1）设，则    

当时，

的值域为

（2）

        的值域为

【点睛】本题考查函数值域的求解，重点考查了换元法和分离常数法求解根式型和分式型函数的值域；求解值域问题的关键是能够熟练掌握解析式的形式所对应的值域的求解方法.

20．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝或，

（1）求A∩B；

（2）求(CUB)∪P；

（3）求(A∩B)∩(CUP)．

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【分析】直接利用集合的基本运算求解.

【详解】因为全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝或

所以（1）A∩B；

（2）或，则(CUB)∪P=或；

（3），则(A∩B)∩(CUP) ．

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

21．已知函数，且．

求函数的定义域；

求满足的实数x的取值范围．

【答案】（1）；（2）见解析.

【分析】由题意可得，，解不等式可求；由已知可得，结合a的范围，进行分类讨论求解x的范围．

【详解】（1）由题意可得，，

解可得，，

函数的定义域为，

由，

可得，

时，，

解可得，，

时，，

解可得，．

【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域及利用对数函数单调性求解对数不等式，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题．

22．已知二次函数．

（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解不等式即得解；

（2）化为在恒成立，令，求出函数的最小值即可.

【详解】（1）若在单调递增，则，所以；

（2）因为在上恒成立，

所以在恒成立，

即在恒成立

令，则，当且仅当时等号成立

所以.

【点睛】方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.