2022届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三实验班下学期5月月考数学（理）试题含解析

2022届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三实验班下学期5月月考数学（理）试题

一、单选题

1．下列推理中是演绎推理的是（       ）

A．猜想数列的通项公式为（）

B．由平面直角坐标系内，在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线方程为，猜想到空间中在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c（）的平面方程为

C．因为是对数函数，所以函数经过定点.

D．若两个正三角形的边长之比为，则它们的面积之比为；推测在空间中，若两个正四面体的棱长之比为，则它们的体积之比为

【答案】C

【分析】根据几种推理的定义，对4个选项逐一判断即可得到答案．

【详解】解：对于，是由部分到整体的推理，是归纳推理，

对于、，由特殊到特殊的推理，是类比推理是，

对于，是由一般到特殊的推理，是演绎推理.

故选：C.

【点睛】本题考查归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，属于对概念的考查.

2．若命题：，，则是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】根据量词命题的否定判定即可.

【详解】解：根据量词命题的否定可得：，的否定为，

故选：B.

3．等差数列的首项为，公差不为，若、、成等比数列，则前项的和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用已知条件求得等差数列的公差，然后利用等差数列的求和公式可求得结果.

【详解】设等差数列的公差为，则，

由于、、成等比数列，则，即，可得，

，解得，因此，数列的前项和为.

故选：B.

4．已知定义在上的奇函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用周期函数的特性，通过诱导公式和函数的周期，求出和之间的等式关系，进而求解即可

【详解】，故选C.

【点睛】本题考查三角函数的周期问题，属于基础题，难点在于化简过程需要使用周期性与奇偶性进行转化

5．的常数项的二项式系数为（       ）

A．375 B．-375 C．15 D．-15

【答案】C

【分析】首先求出二项式展开式的通项，令，求出，即可得到二项式展开式的常数项；

【详解】解：由二项式展开式的通项公式为：；

令可得，即展开式的中第5项是常数项.

∴常数项的二项式系数为：；

故选：C.

6．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x=（       ）

A．100 B．300 C．400 D．600

【答案】B

【分析】根据频数分布表确定概率

【详解】这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，

由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为，

所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.

故选：B．

7．在的二面角中，直线，直线a与直线l所成角为，则直线a与平面所成角的正弦值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据条件作出二面角平面角以及线面角，再解三角形得结果

【详解】设直线a与直线l交于M点，过直线a上异于M一点P作PM垂直直线l于N,设P在平面上的射影为O，则ON垂直直线l，为二面角平面角,即，

直线a与平面所成角为，因为直线a与直线l所成角为，所以,

设，则,选A.

【点睛】本题考查线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题

8．已知，，若，则的最小值是（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：C

9．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（       ）

A． B． C．32 D．

【答案】A

【分析】设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．

【详解】如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心

在上．

∵，∴，即，

∴．

又，∴，．

∵平面，∴，设球半径为，

则由得，解得，

∴球体积为．

故选A．

【点睛】本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．

10．在的展开式中，的系数为（       ）

A． B． C． D．160

【答案】A

【分析】把式子看作为6个相乘，然后由乘法法则得出，从而结合组合的知识得结论．

【详解】式子可视为6个相乘，要得到，需3个提供，3个提供，所以的系数为．

故选：A．

11．函数的单调增区间是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先利用诱导公式将函数化简为，再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以，令，解得，故函数的单调递增区间为

故选：D.

12．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.

【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.

可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.

在点D处建立如图所示空间直角坐标系，

则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,

又点F距平面的距离为1，所以,

的最小值为.

故选：D

二、填空题

13．已知圆和圆，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________.

【答案】

【分析】若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.

【详解】圆和圆

的圆心分别为：和，

垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，

所以直线方程为，

整理可得：.

故答案为：.

14．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则的面积等于_________．

【答案】

【分析】根据余弦定理求出，再由面积公式求解即可.

【详解】由余弦定理可得：，

即，解得或（舍去），

，

故答案为：

15．设双曲线的两焦点为，，过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为______.

【答案】或

【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，设，由点到直线距离公式表示出，进而可构造出关于的齐次方程，解方程可求得离心率.

【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：，即，

设，则，

，又，

，即，

，解得：或，又，

或.

故答案为：或.

【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：

（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；

（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.

16．已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为________

【答案】

【分析】由条件可知，可得，通过换元令，得到，得到时，，从而得到当时，的值域为，再根据递推关系推出当时的值域及时的值域，依此类推可知，当时，的值域为，从而求得当时，的值域，再根据，求得时的值域，取并集即可.

【详解】解：令，则有，即

当时，，又，∴

即当时，的值域为

∴当时，的值域为，

，

∴当时，的值域为，时，的值域为，

依此类推可知，当时，的值域为，

∴当时，的值域为

又，当时，，

∴

综上，当 时，函数的值域为.

【点睛】本题考查利用换元法推导函数满足的恒等式、通过仿写得到函数的值域的方法，考查了运用递推与归纳的方法，属于较难题.

三、解答题

17．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和为．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；

（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.

【详解】解（1）设正项等比数列的公比为，

由题意可得，解得．

数列的通项公式为；

（2）.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.

18．已知函数.

（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.

（2）若的单调递减区间为，求a的值.

【答案】（1）；（2）3.

【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；

（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案

【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，

所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，

所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是

（2）由题意知.因为，所以.

由，得，

所以的单调递减区间为，

又已知的单调递减区间为，

所以，

所以，即.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.

19．选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为．

（1）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？

（2）若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？

【答案】（1）甲、乙比赛甲获胜的概率，甲、丙比赛甲获胜的概率；（2）甲、乙比赛，甲获胜的概率，甲、丙比赛，甲获胜的概率；答案见解析．

【分析】（1）分甲获胜的可能分、两种情况分计算出两场比赛甲获胜的概率，即可得解；

（2）分甲获胜的可能有、或三种情况，分别计算出两场比赛甲获胜的概率，即可得出结论.

【详解】（1）采用局胜制，甲获胜的可能分，，

因为每局的比赛结果相互独立，

所以甲、乙比赛甲获胜的概率，

甲、丙比赛甲获胜的概率；

（2）采用局胜制，甲获胜的情况有、或，

甲、乙比赛，甲获胜的概率，

甲、丙比赛，甲获胜的概率，

因为，所以甲、乙比赛，采用局胜制对甲有利，

，所以甲、丙比赛，采用局胜制还是局胜制，甲获胜的概率都一样，

这说明比赛局数越多对实力较强者有利．

【点睛】思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

（1）首先确定各事件是相互独立的；

（2）再确定各事件会同时发生；

（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC.

(1)求直线CE与直线PD所成角的余弦值；

(2)当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用坐标法，利用向量夹角公式即得；

（2）利用线面角的向量求法，然后利用基本不等式即得.

【详解】(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

从而

∴,

即与所成角的余弦值为；

(2)点在棱上，且，

所以，

于是，，

又，．

设为平面的法向量，则

，可得，取，则，

设直线与平面所成的角为，则

令，则，

所以，

当，即时，有最小值，

此时取得最大值为，即与平面所成的角最大，

此时，即的值为．

21．设函数.

(1)求证：当时，在上总成立；

(2)求证：不论m为何值，函数总存在零点.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

【分析】（1）当时，，二次求导，根据导数正负情况判断原函数的单调性，从而证得结论；

（2）由题知，，只需证明无论m为何值，函数总能取到正值，由零点存在定理即可证得结论.

【详解】(1)当时，，

，，

当时，恒成立，即单增，

又，则恒成立，即单增，

又，则.

(2)由题知，，

当时，恒成立，

由零点存在定理知，函数总存在零点；

当时，，，

易知单增，且，则在上单增，

根据的解析式，存在，使，单增，

根据的解析式，存在，使，

由零点存在定理知，函数总存在零点；

22．直角坐标系中直线，圆的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）求的普通方程，写出的极坐标方程；

（Ⅱ）直线与圆交于，，为坐标原点，求．

【答案】（Ⅰ）．，（Ⅱ）1

【解析】（Ⅰ）将变形为，再给两个两边分别平方相加，可消支参数，得到的普通方程，由直线的直角坐标方程可得其极坐标方程为，；

（Ⅱ）将代入圆的极坐标方程中，得，然后利用的几何意义可得结果.

【详解】（Ⅰ）的参数方程为（为参数），消去参数，得的普通方程为．

直线的极坐标方程为，

（Ⅱ）直线的极坐标方程为，，由直线与圆的位置关系设，的极坐标为，，，，的极坐标方程为，

将代入得，，为方程的两根，

【点睛】此题考查将曲线的参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程，利用极坐标的几何意义求值，属于基础题.