人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理课堂检测

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空间向量基本定理 1 空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 .证明 存在性：设不共面，过点作，，，过点作直线平行于交平面于点在平面内，过点作直线，存在三个数，使得，，，，；唯一性：设另有一组实数，使得，则，不共面，，即且且故实数是唯一的.2基底若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.【例】设命题是三个非零向量；命题为空间的一组基底，则命题是命题的            条件.解：是三个非零向量成立，当三个向量共面时，则不为空间的一组基，即命题推不出命题；但反之为空间的一组基，则不共面，所以是三个非零向量，即命题推出命题；所以命题是命题的充分不必要条件．3推论设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 .若，则点四点共面. 【题型1】空间向量基本定理的理解【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是(     )A． B． C． D．解析 对于，若向量共面，则，即，解得，故向量共面，故错误，对于，若向量共面，则，无解，故向量不共面，故正确，对于，若向量共面，则，即，解得，故向量共面，故错误，对于，若向量共面，则，解得，故向量共面，故错误．故选：．   【巩固练习】1在空间四点中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(     )A．四点不共线         B．四点共面，但不共线 C．四点不共面         D．四点中任意三点不共线答案  解析 因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，即四点不共面，所以选项说法正确，错误．故选：．2 (多选)给出下列命题，其中正确的有(     )A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．是空间四点，若不能构成空间的一组基底，则共面D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底答案  解析 对于，空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，所以选项错误；对于，由向量，则与任何向量都是共面向量，所以不能构成空间的一组基底，选项正确；对于，若不能构成空间的一组基底，则是共面向量，所以共面，选项正确；对于，因为是空间向量的一组基底，所以不共面，所以也不共面，即时，也是空间一组基底，选项正确．故选：．  【题型2】基底表示空间向量【典题1】 如图所示，在平行六面体中，，是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是(　　)A． B． C． D．解析 是的中点，， ．故选：． 【巩固练习】1如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则　　)A． B． C． D．答案  解析 在平行六面体中，为与的交点； ；故选：．2如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，则(   )A． B． C． D．答案  解析 ，，，可得：．故选：． 【题型3】空间向量基本定理的应用【典题1】 如图，在四面体中，点在线段上，且，为的中点．(1)若，用向量表示向量；(2)若四面体的棱长均为，求．解析 (1)．(2)四面体的棱长都是，的两两夹角都是，，． 【典题2】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证平面.求证 如图，设，令，则，，，又，，，，，同理可证，又，平面，平面. 【典题3】如图，空间四边形的各边及对角线长都为，是的中点，在上，且．(1)用表示；(2)求异面直线与所成角的余弦值．解析 (1)因为是的中点，在上，且，所以，于是，(2)由(1)知，，又有，，在中，，在中，得，，又，，.异面直线与所成角的余弦值为. 【巩固练习】1如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点为的重心，的延长线交于点，连接．设．(1)用表示；(2)证明：．答案  (1) (2)略解析 (1)因为为正三角形，点为的重心，所以为的中点，所以，所以．(2)设三棱柱的棱长为，则，所以．2已知：正四面体(所有棱长均相等)的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，设：，试采用向量法解决下列问题(1)求的模长；(2)求，的夹角．答案 (1)  (2)解析 (1)如图所示，正四面体的棱长为，分别是四面体中各棱的中点，，，；， ；(2)正四面体中，；同理，； ，与的夹角为．3如图，在棱长为的正方体中分别为，的中点，点在上，且 求证:；求与所成角的余弦值.   答案  (1) 略 (2) 解析 (1)证明 设，则， ,.(2)解 由(1)知，，又， ，，与所成角的余弦值为.4已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等， 求证: 这个四面体相对的棱丙两垂直.已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且.求证 .证明 设，则，，，，，，.又，，同理可证，这个四面体相对的棱丙两垂直.