高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率课时练习

专题10.1 随机事件与概率

知识储备

1．事件的相关概念

2．频数、频率和概率

(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．

3．古典概型

(1)特点：

①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．

②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．

(2)计算公式：

P(A)＝

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·新疆巴州第一中学高二期中）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（    ）

A．“至少一枚硬币正面向上”

B．“只有一枚硬币正面向上”

C．“两枚硬币都是正面向上”

D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”

【答案】A

【解析】先后抛掷2枚均匀的一分､二分的硬币，所包含的基本事件有{正，正}､{正，反}､{反，正}､{反，反}，

“至少一枚硬币正面向上”包含的基本事件有{正，正}､{正，反}､{反，正}共三个，故A正确；

“只有一枚硬币正面向上”包含的基本事件有{正，反}､{反，正}共两个，故B错；

“两枚硬币都是正面向上”包含的基本事件有{正，正}共一个，故C错；

“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 包含的基本事件有{正，反}､{反，正}共两个，故D错.故选：A.

2．（2020·新疆巴州第一中学高二期中）下列事件属于古典概型的是（    ）

A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件

B．篮球运动员投篮，观察他是否投中

C．测量一杯水分子的个数

D．在4个完全相同的小球中任取1个

【答案】D

【解析】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.

A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为与点数之和为发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；

B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；

C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；

D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.

3．（2020·江西九江市·九江七中高三期中（理））在普通高中新课程改革中，某地实施“3＋1＋2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】从门学科中任选门共有：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共种情况

其中满足政治和地理至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为故选：D

4．（2020·全国高三月考（理））龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有种，其中满足条件的为，，，，，，，，，，，，，共13种，

故所求概率.故选：A．

5．（2020·全国高三其他模拟）文房四宝是中国独有的书法绘画工具(书画用具)，即笔、墨、纸、砚.文房四宝之名，起源于南北朝时期，自宋朝以来“文房四宝”则特指宣笔(安徽宣城)、徽墨(安徽徽州歙县)、宣纸(安徽宣城泾县)、歙砚(安徽徽州歙县)、洮砚(甘肃卓尼县)、端砚(广东肇庆，古称端州).若从上述“文房四宝”中任取两种，则恰好这两种都是“砚”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可知“文房四宝”共六种，其中砚有三种，

故所求事件的概率.故选：A.

6．（2020·全国高三专题练习（理））六博，又称“陆博”，是春秋战国时期开始流行的一种棋类游戏.游戏中需要使用的“博茕”，与我们今天的骰子非常接近，是古代人玩“六博”游戏的关键棋具.最早被发现的“博茕”是在陕西临潼秦始皇陵出土的石制十四面茕.这枚“博茕”为球形十四而体，每面都刻有一个数字，分别为零到十三，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的.现投掷“博茕”三次，观察向上的点数：则这三个数依次能构成公比不为1的整数的等比数列的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】枚举法：可组成的等比数列有

1，2，4；2，4，8；1，3，9；3，6，12；

4，2，1；8，4，2；9，3，1；12，6，3；

共有8种，列式计算得故选：D

7．（2020·张家界市民族中学高二月考）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】产品数量在内的工人有人，在内的工人有人，

从这6人中随机地选取2位工人进行培训共有种，其中这2位工人不在同一组的有种，

所以这2位工人不在同一组的概率是.故选：D

二、多选题

8．（2020·山东聊城市·高二期中）先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列说法正确的是（    ）

A．时概率为 B．时概率为

C．时的概率为 D．是3的倍数的概率是

【答案】AD

【解析】先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，基本事件的总数为个，

对于选项A：包含的基本事件有共个，

所以时的概率为，故选项A正确；

对于选项B：包含的基本事件有共个，

所以时概率为，故选项B不正确；

对于选项C：包含的基本事件有

共个，所以时的概率为，故选项C不正确；

对于选项D：是3的倍数包含的基本事件有，

共有个，所以是3的倍数的概率是，故选项D正确，故选：AD

9．（2020·湖南高二月考）2019年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321，

方案一坐到“3号”车可能：132、213、231，所以；

方案二坐到“3号”车可能：312、321，所以；

所以，，故选：CD.

10．（2020·河北沧州市·高二期中）从集合中随机选取一个数记为a，从集合中随机选取一个数记为b，则（    ）

A．的概率是

B．的概率是

C．直线不经过第三象限的概率是

D．的概率是

【答案】AC

【解析】由题意可得所有可能的取法有

，，，，，，，，，，，共12种，

对于选项A：满足的取法有共6种，

所以的概率，故选项A正确；

对于选项B：满足的取法有，共7种，所以的概率，故选项B不正确；

对于选项C：因为直线不经过第三象限，所以，所有满足直线不经过第三象限的取法有，共4种，

所以直线不经过第三象限的概率，故选项C正确；

对于选项D：因为，所以，所有满足的取法有，共3种，故的概率，故选项D不正确，故选：AC

三、填空题

11．（2020·新疆巴州第一中学高二期中）从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.

【答案】

【解析】从甲、乙、丙三人中任选两名代表，所包含的基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含(甲，乙)，(甲，丙)共两个基本事件，故甲被选中的概率为.故答案为：.

12．（2020·全国高三专题练习）《西游记》､《三国演义》､《水浒传》､《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为________.

【答案】

【解析】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，

所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为：.故答案为：.

13．（2020·山西大同市·高三月考（文））齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为______．

【答案】

【解析】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A，B，C，田忌的上等马，中等马，下等马分别为a，b，c，

每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，

基本事件有： ，共6个，

其中田忌获胜的基本事件是，共1个，

所以田忌获胜的概率为，故答案为：

四、双空题

14．（2020·辽宁高二期末）在遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数和，的所有除本身以外的因数之和等于，的所有除本身以外的因数之和等于，则称，是一对亲和数.220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数.若分别在220和284的所有除本身以外的因数中各取一个数，取出的两个数相同的概率为______；在取出的两个数不相同的条件下和大于180的概率为______.

【答案】       

【解析】220的所有除本身以外的因数有1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，

284的所有除本身以外的因数有1，2，4，71，142，

分别在220和284的所有除本身以外的因数中各取一个数，基本事件总数，

取出的两个数相同包含的基本事件个数，

∴取出的两个数相同的概率为；

在取出的两个数不相同包含的基本事件总数，

在取出的两个数不相同的条件下和大于180包含的基本事件有：

，，，，共4个，

∴在取出的两个数不相同的条件下和大于180的概率为.

故答案为：，.

五、解答题

15．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高二月考）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，绘制成如下的统计表：

（1）求表中，，的值；

（2）先采用分层抽样的方法，从第4组和第5组中抽取5人参科普知识竞赛，再从被抽出的5人中随机抽取2人进行能力评估，求参加能力评估的2人恰来自同一个组的概率.

【答案】（1），，；（2）.

【解析】（1）题意得，，，

则.所以，，；

（2）依题意得，从第4组抽出的人数为（人），记作，，；

从第5组抽出的人数为（人），记作，；

从5人中抽取2人，所包含的基本事件有，，，，，，，，，，共10个；

抽取的2人恰好来自同一个组所包含的基本事件有：，，，，共4个；所以参加能力评估的2人恰好来自同一个组的概率为.

16．（2020·湖北十堰市·高二期中）抛掷一颗般子2次，求：

（1）2次点数之和为偶数的概率：

（2）第2次的点数比第1次大的概率：

（3）2次点数正好是连续的2个整数的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】连续抛掷一颗骰子2次，基本事件总数为，

（1）2次点数之和为偶数，即两个数都是偶数或都是奇数，

共有，

，，，18个，

所以2次点数之和为偶数的概率为；

（2）第二次的点数比第一次大的基本事件有：

，，

共15个，

所以第二次的点数比第一次大的概率为：；

（3）2次点数正好是连续的2个整数的基本事件有：

共10个，

所以2次点数正好是连续的2个整数的概率为：.