广东省惠州市仲恺高新区2021-2022学年九年级上期末数学试题(含答案)

广东省惠州市仲恺高新区2021-2022学年九年级上期末数学试题

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图案中，是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（    ）

A. 水涨船高 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 瓮中捉鳖

3. 已知的半径为，若直线与的距离，则直线与的位置关系是（    ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 外离

4. 若两个相似三边形的周长之比为，则它们的面积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C. 且  D. 且

6. 如图，已知圆心角的度数为，则圆周角的度数是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 抛物线的图象如图所示，那么（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

8. 如图，排水管截面的半径为5分米，水面宽分米，，则水的最大深度为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知，则是函数和的图象大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为，两个三角形重叠面积为，则关于的函数图象是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）

11. 反比例函数的图象过点，则 __________.

12. 二次函数的顶点坐标是__________.

13. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋建筑物的影长为，那么这栋建筑物的高度为__________.

14. 设，，是抛物线上的三点，则用“”表示，，的大小关系为__________.

15. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则__________.

16. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为__________.

17. 如图，已知：是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，.得到如下结论：

①；②；③若四边形是正方形，则；④若为的中点，则为中点；⑤若半径，则扇形的面积为；

所有正确结论的序号是__________.

三、解答题（本大题3道题，每小题6分，共18分）

18. 解方程：

19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上.

（1）画出绕原点按逆时针方向旋转后的；

（2）求点旋转到点′所经过的路线长（结果保留）.

20. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.

（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；

（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率.

四、解答题（本大题3道题，每小题8分，共24分）

21. 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/下降到12月份的11340元/.

（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？

（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/？请说明理由.

22. 一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且与坐标轴的交点为，，点的横坐标为-4.

（1）试确定反比例函数的解析式；

（2）求的面积；

（3）直接写出不等式的解.

23. 如图，已知的直径，弦，的平分线交于点，过点作交的延长线于点.

（1）求证：是的切线.

（2）求的长.

五、解答题（本大题2道题，每小题10分，共20分）

24. 如图，在中，，，.点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为秒.

（1）当为何值时，的面积等于？

（2）当为何值时，的长度等于？

（3）探究经过多少秒后，以点，，为顶点的三角形与相似？

25. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，点是抛物线上一动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线上方时，连接，，，交于点，令的面积为，的面积为，求的最大值；

（3）点是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

（全卷满分120分，考试用时90分钟）

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1. D.  2. B.  3. C.  4. A.  5. D.  6. D.  7. B.  8. C.  9. B.  10. B.

二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）

11.-2  12.    13. 24    14.    15. 70    16.    17. ①②④

三、解答题（本大题3道题，每小题6分，共18分）

18. 解：

解得：，.

19. 解：（1）如下图所示：

（2）由图可知

∴点旋转到点所经过的路线长为：

.

20. 解：（1）方法一

画树状图得：

方法二

列表得：

∴所有等可能性的结果有12种，其中恰好选中甲.乙两位同学的结果有2种，

∴恰好选中甲.乙两位同学的概率为：；

（2）∵一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，

∴恰好选中乙同学的概率为：.

四.解答题（本大题3道题，每小题8分，共24分）

21. 解：（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是，

则11月份的成交价是：，

12月份的成交价是：，

∴，

∴，

∴，（不合题意，舍去）.

答：11、12两月平均每月降价的百分率是；

（2）会跌破10000元/.

如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：

.

由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/.

22. 解：（1）一次函数过点，，

∴，解得，

∴一次函数解析式为，

∵点横坐标为-4，

将代入得，

∴点坐标为代入中，得，

∴反比例函数的解析式为.

（2）联立方程组，解得，，

∴点坐标为，

∴

.

（3）

23. 证明：（1）连接，

∵平分，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，

∴是切线.

（2）过点作于点，∴，

∴.

∵，

∴四边形是矩形，∴.

五、解答题（本大题2道题，每小题10分，共20分）

24. 解：根据题意知，.

（1）根据三角形的面积公式，得，

，

，

解得，.

故当为5或7时，的面积等于.

（2）设秒后，的长度等于，根据勾股定理，得

，

，

解得，.

故当为或4时，的长度等于.

（3）设经过秒后，两三角形相似

①当时，即，，

②当时，即，，

∴经过秒或4秒，以，，为顶点的三角形与相似.

25. 解：（1）令得，，得，

令得，，

∴，，

∵抛物线经过、两点，

∴，解得，

∴.

（2）如图，令，

∴，

∴，，

∴，

过作轴交于点，过作轴交于，

∴，

∴，∴，

设，∴，

∵，∴，

∴，

∴当时，的最大值是；

（3）存在，点的坐标为或或，理由如下：

若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则有

，，如图，

过点作垂直对称轴于点，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴的横坐标为，

，

∴；

若，，如图，

过点作垂直轴于点，

同理可证，

∴，

∴的横坐标为，

，

∴；

若，，如图，过点作垂直轴于点，

∵，轴，

∴，

∵，，

∴，

.

∴的横坐标为，

，

∴；

综上所述，点的坐标为或或.