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广东省湛江廉江市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份广东省湛江廉江市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省湛江市廉江市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．拔苗助长 C．瓮中捉鳖 D．水中捞月
2．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
4．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点间的距离是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
6．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
7．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
9．如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（ ）
A． B． C．π D．2π
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，满分28分）
11．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 ．
12．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为 ．
13．从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是 ．
14．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
15．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为 ．
16．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
17．已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数图象的对称轴是直线x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是 ．（填写序号）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：x2﹣6x+8＝0．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．
20．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？
22．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），
（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．
①求点H的坐标；
②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．拔苗助长 C．瓮中捉鳖 D．水中捞月
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案．
解：A、守株待兔，是随机事件，故不符合题意，
B、拔苗助长是不可能事件，故不符合题意；
C、瓮中捉鳖是必然事件，故符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
2．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
解：y＝（x+2）2的对称轴为x＝﹣2，A正确；
y＝2x2﹣2的对称轴为x＝0，B错误；
y＝﹣2x2﹣2的对称轴为x＝0，C错误；
y＝2（x﹣2）2的对称轴为x＝2，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．
4．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点间的距离是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】令y＝0，解关于x的一元二次方程，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出两点之间的距离．
解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴两个交点为（3，0）和（﹣1，0），
∴两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是出抛物线与x轴的交点坐标．
6．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
7．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
【分析】设C′D′与BC交于点E，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出∠BAD′的度数，再由四边形内角和为360°即可得出∠BED′的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′＝20°，
∴∠BAD′＝90°﹣∠DAD′＝70°．
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′＝360°，
∴∠BED′＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，
∴∠1＝∠BED′＝110°．
【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角，根据旋转及四边形内角和为360°找出∠BED′＝110°是解题的关键．
9．如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】根据题意知四边形OACB是矩形，可得点D是对角线AB、OC的交点，即OD＝OC，从而可知点D运动轨迹是一个半径为1圆，求得此圆周长即可．
解：如图，连接OC，
∵CA⊥x轴，CB⊥y轴，
∴四边形OACB是矩形，
∵D为AB中点，
∴点D在AC上，且OD＝OC，
∵⊙O的半径为2，
∴如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆，
∴点D运动过的路程长为2π•1＝2π，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的轨迹问题，矩形的判定和性质，根据四边形OACB是矩形且D为AB中点判断出点D的运动轨迹是解决此题的关键．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣2，
∴b＝4a，ab＞0，
∴b﹣4a＝0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，
∴②⑤正确，
∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，满分28分）
11．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 x1＝3，x2＝2 ．
【分析】利用因式分解法把方程化为x﹣3＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2．
故答案为x1＝3，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．
解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
13．从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是 ．
【分析】根先求出从三个数中取两个数的取法，再求出积为负数的可能性，根据概率公式解答即可．
解：从﹣1、﹣2、1这三个数中，随机抽取两个数相乘，有3种取法，
其中有2种积为负数，故其概率为．
故答案为
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为 30cm ．
【分析】根据弧长公式求弧长，根据面积公式求面积．
解：根据题意得
，
r＝30cm，
故答案为30cm．
【点评】本题主要考查了弧长公式，及扇形的面积公式．
16．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 0或﹣1 ．
【分析】令y＝0，则关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根，所以k＝0或根的判别式Δ＝0，借助于方程可以求得实数k的值．
解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；
②当k≠0时，△＝4+4k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝0或﹣1．
故答案为：0或﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y＝kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．
17．已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数图象的对称轴是直线x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是 ①②④ ．（填写序号）
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．
解：①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
故①结论正确；
②对称轴为：x＝＝．
故②结论正确；
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，
故③结论错误；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
故④结论正确．
故答案是：①②④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．
解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝16cm，
∴CE＝CD＝8cm．
在Rt△OCE中，OC＝10cm，CE＝8cm，
∴OE＝＝＝6（cm），
∴AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
20．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．
【分析】（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx，得出关于a、b的二元一次方程组，求得a、b即可；
（2）将（1）中解析式转化为两点式或顶点式，即可求得抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标．
解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx，得，
解得，
因此二次函数的解析式为y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2x（x﹣2），
∴该抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（2，0）．
∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标（1，﹣2）．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？
【分析】根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中，每件盈利＝每件售价﹣每件进价．建立等量关系．
解：依题意（a﹣21）（350﹣10a）＝400，
整理得a2﹣56a+775＝0，解得a1＝25，a2＝31．
因为21×（1+20%）＝25.2，所以a2＝31不合题意，舍去．
所以350﹣10a＝350﹣10×25＝100（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
【点评】解一元二次方程的应用题，需要检验结果是否符合题意．
22．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
【分析】（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：＝，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明；
（2）根据韦达定理得到b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，
∴无论k取什么实数值，总有＝（2k﹣3）2+4＞0，即Δ＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0的两个根，得
∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3，
又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得
b2+c2＝a2，
∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，
整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解这个方程，得k＝﹣2或k＝3，
当k＝﹣2时，b+c＝﹣4+1＝﹣3＜0，不符合题意，舍去，当k＝3时，b+c＝2×3+1＝7，符合题意，故k＝3．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），
（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．
①求点H的坐标；
②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
【分析】（Ⅰ）根据该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），可以求得的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）①根据题目中的函数解析式可以求得点H的坐标；
②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，
解得，a＝﹣，
∴y＝x2+x＝x（x+1），
当y＝0时，得x1＝0，x2＝﹣1，
即抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；
（Ⅱ）①∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝x2+2﹣2a（x﹣2），
∴不论a取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），
即点H的坐标为（2，6）；
②证明：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2﹣（a﹣2）2+6，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣（a﹣2）2+6），
则当a＝2时，﹣（a﹣2）2+6取得最大值6，
即点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2021-2022学年广东省湛江市廉江市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．拔苗助长 C．瓮中捉鳖 D．水中捞月
2．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
4．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点间的距离是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
6．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
7．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
9．如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（ ）
A． B． C．π D．2π
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，满分28分）
11．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 ．
12．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为 ．
13．从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是 ．
14．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
15．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为 ．
16．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
17．已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数图象的对称轴是直线x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是 ．（填写序号）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：x2﹣6x+8＝0．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．
20．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？
22．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），
（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．
①求点H的坐标；
②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．拔苗助长 C．瓮中捉鳖 D．水中捞月
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案．
解：A、守株待兔，是随机事件，故不符合题意，
B、拔苗助长是不可能事件，故不符合题意；
C、瓮中捉鳖是必然事件，故符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
2．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
解：y＝（x+2）2的对称轴为x＝﹣2，A正确；
y＝2x2﹣2的对称轴为x＝0，B错误；
y＝﹣2x2﹣2的对称轴为x＝0，C错误；
y＝2（x﹣2）2的对称轴为x＝2，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．
4．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点间的距离是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】令y＝0，解关于x的一元二次方程，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出两点之间的距离．
解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴两个交点为（3，0）和（﹣1，0），
∴两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是出抛物线与x轴的交点坐标．
6．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
7．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（ ）
A．110° B．120° C．150° D．160°
【分析】设C′D′与BC交于点E，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出∠BAD′的度数，再由四边形内角和为360°即可得出∠BED′的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′＝20°，
∴∠BAD′＝90°﹣∠DAD′＝70°．
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′＝360°，
∴∠BED′＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，
∴∠1＝∠BED′＝110°．
【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角，根据旋转及四边形内角和为360°找出∠BED′＝110°是解题的关键．
9．如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】根据题意知四边形OACB是矩形，可得点D是对角线AB、OC的交点，即OD＝OC，从而可知点D运动轨迹是一个半径为1圆，求得此圆周长即可．
解：如图，连接OC，
∵CA⊥x轴，CB⊥y轴，
∴四边形OACB是矩形，
∵D为AB中点，
∴点D在AC上，且OD＝OC，
∵⊙O的半径为2，
∴如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆，
∴点D运动过的路程长为2π•1＝2π，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的轨迹问题，矩形的判定和性质，根据四边形OACB是矩形且D为AB中点判断出点D的运动轨迹是解决此题的关键．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣2，
∴b＝4a，ab＞0，
∴b﹣4a＝0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，
∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，
∴②⑤正确，
∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
二、填空题（本大题共7题，每小题4分，满分28分）
11．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 x1＝3，x2＝2 ．
【分析】利用因式分解法把方程化为x﹣3＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2．
故答案为x1＝3，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．
解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
13．从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是 ．
【分析】根先求出从三个数中取两个数的取法，再求出积为负数的可能性，根据概率公式解答即可．
解：从﹣1、﹣2、1这三个数中，随机抽取两个数相乘，有3种取法，
其中有2种积为负数，故其概率为．
故答案为
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为 30cm ．
【分析】根据弧长公式求弧长，根据面积公式求面积．
解：根据题意得
，
r＝30cm，
故答案为30cm．
【点评】本题主要考查了弧长公式，及扇形的面积公式．
16．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 0或﹣1 ．
【分析】令y＝0，则关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根，所以k＝0或根的判别式Δ＝0，借助于方程可以求得实数k的值．
解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；
②当k≠0时，△＝4+4k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝0或﹣1．
故答案为：0或﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y＝kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．
17．已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数图象的对称轴是直线x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是 ①②④ ．（填写序号）
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．
解：①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
故①结论正确；
②对称轴为：x＝＝．
故②结论正确；
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，
故③结论错误；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
故④结论正确．
故答案是：①②④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．
解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝16cm，
∴CE＝CD＝8cm．
在Rt△OCE中，OC＝10cm，CE＝8cm，
∴OE＝＝＝6（cm），
∴AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
20．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．
【分析】（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx，得出关于a、b的二元一次方程组，求得a、b即可；
（2）将（1）中解析式转化为两点式或顶点式，即可求得抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标．
解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx，得，
解得，
因此二次函数的解析式为y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2x（x﹣2），
∴该抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（2，0）．
∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标（1，﹣2）．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？
【分析】根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中，每件盈利＝每件售价﹣每件进价．建立等量关系．
解：依题意（a﹣21）（350﹣10a）＝400，
整理得a2﹣56a+775＝0，解得a1＝25，a2＝31．
因为21×（1+20%）＝25.2，所以a2＝31不合题意，舍去．
所以350﹣10a＝350﹣10×25＝100（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
【点评】解一元二次方程的应用题，需要检验结果是否符合题意．
22．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
【分析】（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：＝，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明；
（2）根据韦达定理得到b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，
∴无论k取什么实数值，总有＝（2k﹣3）2+4＞0，即Δ＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0的两个根，得
∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3，
又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得
b2+c2＝a2，
∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，
整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解这个方程，得k＝﹣2或k＝3，
当k＝﹣2时，b+c＝﹣4+1＝﹣3＜0，不符合题意，舍去，当k＝3时，b+c＝2×3+1＝7，符合题意，故k＝3．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），
（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．
①求点H的坐标；
②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
【分析】（Ⅰ）根据该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），可以求得的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；
（Ⅱ）①根据题目中的函数解析式可以求得点H的坐标；
②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，
解得，a＝﹣，
∴y＝x2+x＝x（x+1），
当y＝0时，得x1＝0，x2＝﹣1，
即抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；
（Ⅱ）①∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝x2+2﹣2a（x﹣2），
∴不论a取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），
即点H的坐标为（2，6）；
②证明：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2﹣（a﹣2）2+6，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣（a﹣2）2+6），
则当a＝2时，﹣（a﹣2）2+6取得最大值6，
即点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
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