2021-2022学年河北省邢台市信都区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省邢台市信都区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共14小题，共42分）

1. 的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段和相交于点，则下列条件中能说明的是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 若方程的一个解是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 对于下列两个自左向右的变形：
   甲：；
   乙：；
   其中说法正确的是(    )

A. 甲、乙均为因式分解 B. 甲、乙均不是因式分解
C. 甲是因式分解，乙是整式乘法 D. 甲是整式乘法，乙是因式分解

5. 为了估计池塘两岸、间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若，有，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，若三角形是由三角形经过平移后得到的，则平移的距离(    )

A. 线段的长度
B. 线段的长度
C. 线段的长度
D. 线段的长度

8. 要证明命题“若，则”是假命题，下列，的值能作为反例的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 如图，是某个三角形的高，则这个三角形是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
    
    根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 用代入法解方程组时，将式代入式可得，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 学习了一元一次不等式的解法后，四位同学解不等式时第一步“去分母”的解答过程都不同，其中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

13. 若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

14. 如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共3小题，共12分）

15. 对于多项式．
    它的公因式是______；
    因式分解结果是______．
16. 已知，，求下列代数式的值：
    ______；
    ______．
17. 为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图的数学问题：已知，，求的度数．小明在解决过程中，过点作，则可以得到，其理由是______，根据这个思路可得______．

三、解答题（本题共7小题，共66分）

18. 根据乘方的意义“”可以推导出幂的相关运算法则．
    下面是：“积的乘方”法则的推导过程，在括号里写出每一步的依据．
    因为______
    ______
    ______
    所以
    请你类比的过程写出“幂的乘方”法则的推导过程并写出每一步的依据
19. 如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大米，东西方向上减少米，从而得到一个长方形池塘．
    求改造后的长方形池塘的面积；
    改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明．

20. 如图，已知点在线段上，点在的延长线上，，请对说明理由．
    下面是推导过程，请你在横线上填上推导内容和括号内填上推导依据．
    理由如下：已知
    ____________
    已知
    ____________
    __________________
    ____________

21. 某景区有一座步行桥如图，需要把阴影部分涂刷油漆．
    求涂刷油漆的面积；
    若，，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．

22. 关于，的方程组的解都是非正数，求的取值范围．
23. 某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一部分笔记本和证书，已知购买个笔记本和张证书需要元，购买个笔记本和张证书需要元．
    求一个笔记本和一个证书的价钱；
    某文具用品商店给出两种优惠方案：
    甲：买一个笔记本，赠送一张证书；
    乙：购买张证书以上，超过张的证书按原价的打八折，笔记本不打折．
    学校准备购买本笔记本，证书若干张超过张，请你判断哪种方案更合算，并说明理由．
24. 在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
    
    如图，求的度数；
    如图，作外角的平分线交的延长线于点．
    求证：；
    若，求的度数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据负整数指数幂的运算法则进行计算．
本题考查负整数指数幂，理解是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由只能得出是的中点，
故A选项错误，
由只能得出是的中点，
故B选项错误，
和是对顶角，始终是相等的，
故C选项错误，
和互补，当时，
，
，
故选项D正确，
故选：．
根据题意证明即可．
本题主要考查垂直的定义，当两条线的夹角是时，两直线互相垂直，基本定义要牢记．
 

3.【答案】 

【解析】解：将代入，
，
，
故选：．
将代入，即可求解．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式，
故甲和乙都是错误的，
故选：．
利用因式分解的定义求求解．
本题考查了因式分解的定义，理解定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，
，，
，
即，
间的距离不可能是：．
故选：．
由，，直接利用三角形的三边关系求解即可求得的取值范围，继而求得答案．
此题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的值可以是．
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

7.【答案】 

【解析】解：三角形是由三角形经过平移后得到的，则平移的距离为线段的长度，
故选：．
根据平移的性质，对应点的连线平行且相等即可得．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，，满足，，所以选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
B、，，不满足，所以选项不能作为证明原命题是假命题的反例；
C、，，满足，但不满足，所以选项能作为证明原命题是假命题的反例；
D、，，满足，但不满足，所以选项不能作为证明原命题是假命题的反例．
故选：．
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：结合图形可知，只有，所以是的高．
故选：．
根据图形可知：，结合三角形高的定义作出选项．
本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
 

10.【答案】 

【解析】解：、，解得，不符合题意；
B、，解得，不符合题意；
C、，解得，符合题意；
D、，解得，不符合题意．
故选：．
找到未知数系数为负数，并且不等式的解为的即为所求．
本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为以上步骤中，只有去分母和化系数为可能用到性质，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
 

11.【答案】 

【解析】解：将式代入式可得，
即可得，
也就是，
因此可以是，
故选：．
根据“代入法”的意义将，转化为即可．
本题考查解二元一次方程组，理解“代入法”的意义是解决问题的前提，将将转化为是正确解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得．
故选：．
根据一元一次不等式的基本解法去分母即可．
本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：


，
又，
．
．
故选：．
先提取公因式，再套用平方差公式分解，再根据等式的性质确定的值．
本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，

；
因为类卡片的面积为，
所以类卡片需要张．
故选：．
应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据类卡片的面积进行判断即可得出答案．
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：它的公因式是；
故答案为：；
原式．
故答案为：．
根据公因式的概念解答即可；
利用提公因式法分解因式即可．
此题考查的是公因式，多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式．
 

16.【答案】   

【解析】解：，，
原式；
故答案为：；
，，
原式．
故答案为：．
原式利用单项式乘多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值；
原式利用完全平方公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，以及单项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】平行于同一直线的两直线平行   

【解析】解：过点作，
，
平行于同一直线的两直线平行，
，
，
，
，，
，，
．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；．
根据平行公理推论得到，再根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

18.【答案】乘方的定义  乘法结合律  乘方的定义 

【解析】解：乘方的意义；乘法交换结合律；乘方的意义；
解：乘方的意义
同底数幂的乘法法则
乘法的意义．
根据推导的过程以及乘方的定义，乘法运算定律可得答案；
由乘方的定义以及同底数幂的乘法法则可得答案．
本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方的意义是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：改造后的面积为，
原来的面积为，
由于，
所以与原来相比变小了． 

【解析】根据变化后图形的长与宽，进行计算即可；
利用作差法，将变化前后图形的面积作差，根据差的符号得出结论．
本题考查平方差公式以及列代数式，用代数式表示变化前后图形的面积是正确解答的前提．
 

20.【答案】  两直线平行，同旁内角互补    等量代换      内错角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等 

【解析】解：已知，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
故答案为：，两直线平行，同旁内角互补；，等量代换；，，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等．
由平行线的性质可得，从而可得到，则有，即有．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
 

21.【答案】解：涂刷油漆的面积

；
当，时，
原式


． 

【解析】阴影部分的面积可看作是长为，宽为的长方形的面积与长为，宽为的两个长方形的面积之和，据此可求解；
把相应的值代入的式子运算即可．
本题主要考查列代数式，科学记数法，解答的关键是理解清楚题意，列出正确的式子．
 

22.【答案】解：
由得：，
即．
由得：，
即，
此方程组的解都是非正数，
，，即，
解得：． 

【解析】解方程组，根据解都是非正数得到关于的不等式组，求解即可．
本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题关键是准确求解含参数的方程组并根据题意列不等式组．
 

23.【答案】解：设笔记本的单价为元，证书的单价为元，由题意得：
，
解得：．
答：笔记本的单价为元，证书的单价为元．
设购买证书张．
选择方案甲所需费用为元；
选择方案乙所需费用为．
当时，
解得：，
当时，选择方案甲更划算；
当时，
解得：，
当时，选择方案甲和方案乙所需费用一样；
当时，
解得：，
当时，选择方案乙更划算．
答：当购买的证书数量超过张不足张时，选择方案甲更划算；当购买的证书数量等于张时，选择两方案所需费用相同；当购买的证书数量超过张时，选择方案乙更划算． 

【解析】设笔记本的单价为元，证书的单价为元，由题意得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买证书张．由题意可得出关于的一元一次不等式或一元一次方程可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式或一元一次方程．
 

24.【答案】解：三个内角的平分线交于点，
，
，
，
，
；
证明：平分，
，
，
，
；
解：平分，
，
三个内角的平分线交于点，
，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的定义得到，，由三角形的内角和得到，，于是得到结论；
由角平分线的性质得到，由三角形的内角和得到，于是得到结论；
由角平分线的性质得到，，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
此题考查了三角形外角性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟记三角形外角性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题的关键．