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【解析版】河北省邢台市2022学年七年级下期末数学试卷
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这是一份【解析版】河北省邢台市2022学年七年级下期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答与证明题，应用探究题等内容，欢迎下载使用。
河北省邢台市2015年七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（ ）
A． 5，1，3 B． 2，4，2 C． 3，3，7 D． 2，3，4
2．计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）
A． 0.1×107 B． 0.1×106 C． 1×107 D． 1×106
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． x3•x2=x5 B． （x2）3=x5 C． 2x3÷x2=x D． ﹣（x﹣1）=﹣x﹣1
4．下列关于不等式2x+4＞4x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 100°
6．二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知四个命题：①若a＜b，则﹣5+a＞﹣5+b；②直角三角形只有一条高线；③对顶角相等；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中真命题有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． （x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B． （a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21
C． x2+x+=（x+）2 D． 3x3﹣6x2+4=3x2（x﹣2）+4
9．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 15 C． 13 D． 13或17
10．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下面是创意机器人大观园中十种类型机器人套装的价目表．“六一”儿童节期间，小明在这里看好了⑤型机器人套装，爸爸说：“今天有促销活动，八折优惠呢！你可以再选1套，但两套最终不超过1500元．”那么小明再买第二套机器人最多可选择的类型有（ ）
型号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ （10）
价格/元 1800 1350 1200 800 675 516 360 300 280 188
A． 5种 B． 8种 C． 9种 D． 6种
12．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用含a、b的式子表示）（ ）
A． （a+b）2 B． （a﹣b）2 C． 2ab D． ab
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是 度．
14．如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，过A点作EA∥BC，则∠EAB= °．
15．如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为 °．
16．若（x﹣3）3=a+bx+cx2+dx3，则a+b+c+d= ．
17．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn= ．
18．若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为 ．
19．三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 ．
20．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③…
根据上述规律请你猜想的第n个等式为 （用含n的式子表示）．
三、解答题
21．（1）计算：（﹣2015）0+2﹣2﹣（）2+|3.14﹣π|
解不等式组把解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．
22．已知是方程2x﹣ay=9的一个解，解决下列问题：
（1）求a的值；
化简并求值：（a﹣1）（a+1）﹣2（a﹣1）2+a（a﹣3）．
四、解答与证明题
23．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ ）
∴∠2= （ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ （等量代换）
∴EF∥CD（ ）
∴∠AEF=∠ （ ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF=90°（ ）
∴∠ADC=90°（ ）
∴CD⊥AB（ ）
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
五、应用探究题
25．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．
如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
26．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
河北省邢台市2015年七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（ ）
A． 5，1，3 B． 2，4，2 C． 3，3，7 D． 2，3，4
考点： 三角形三边关系．
专题： 应用题．
分析： 看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
解答： 解：A、3+1＜5，不能构成三角形，故A错误；
B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误；
C、3+3＜7，不能构成三角形，故C错误；
D、2+3＞4，能构成三角形，故D正确，
故选：D．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）
A． 0.1×107 B． 0.1×106 C． 1×107 D． 1×106
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 直接根据乘法分配律即可求解．
解答： 解：3.8×107﹣3.7×107
=（3.8﹣3.7）×107
=0.1×107
=1×106．
故选：D．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． x3•x2=x5 B． （x2）3=x5 C． 2x3÷x2=x D． ﹣（x﹣1）=﹣x﹣1
考点： 整式的除法；去括号与添括号；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 分别利用整式的除法、去括号和添括号的法则及幂的有关运算性质进行运算即可．
解答： 解：A、x3•x2=x3+2=x5，故本选项正确；
B、（x3）2=x3×2=x6，故本选项错误；
C、2x3÷x2=2x3﹣2=2x，故本选项错误；
D、﹣（x﹣1）=﹣x+1，故本选项错误；
故选A．
点评： 本题考查了整式的除法、去括号和添括号的法则及幂的有关运算性质，是基础题，熟记各性质与完全平方公式是解题的关键．
4．下列关于不等式2x+4＞4x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集．
专题： 数形结合．
分析： 先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．
解答： 解：2x+4＞4x
移项，得
2x﹣4x＞﹣4，
合并同类项，得
﹣2x＞﹣4，
不等式的两边同时除以﹣2，不等号的方向改变，得
x＜2；
∴在数轴上表示为：
；
故选A．
点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 100°
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．
分析： 根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．
故选：D．
点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二元一次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 将x、y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x、y的值是否为方程x﹣2y=1的解．
解答： 解：A、当x=0，y=﹣时，x﹣2y=0﹣2×（﹣）=1，是方程的解；
B、当x=1，y=1时，x﹣2y=1﹣2×1=﹣1，不是方程的解；
C、当x=1，y=0时，x﹣2y=1﹣2×0=1，是方程的解；
D、当x=﹣1，y=﹣1时，x﹣2y=﹣1﹣2×（﹣1）=1，是方程的解；
故选：B．
点评： 本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
7．已知四个命题：①若a＜b，则﹣5+a＞﹣5+b；②直角三角形只有一条高线；③对顶角相等；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中真命题有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 命题与定理．
分析： 分别利用不等式的性质以及直角三角形高线的定义和对顶角以及三角形外角的性质分析得出即可．
解答： 解：①若a＜b，则﹣5+a＜﹣5+b，故此选项错误；
②直角三角形有3条高线，故此选项错误；
③对顶角相等，正确；
④三角形的一个外角大于它不相邻的内角．
故选：A．
点评： 此题主要考查了命题与定理，正确掌握三角形的相关性质是解题关键．
8．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． （x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B． （a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21
C． x2+x+=（x+）2 D． 3x3﹣6x2+4=3x2（x﹣2）+4
考点： 因式分解的意义．
分析： 利用因式分解的定义求解即可．
解答： 解：由因式分解的定义可得x2+x+=（x+）2是因式分解．
故选：C．
点评： 本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟记因式分解的定义．
9．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 15 C． 13 D． 13或17
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 分类讨论．
分析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
解答： 解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
10．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 三角形的角平分线、中线和高．
分析： 根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
解答： 解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选D．
点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
11．下面是创意机器人大观园中十种类型机器人套装的价目表．“六一”儿童节期间，小明在这里看好了⑤型机器人套装，爸爸说：“今天有促销活动，八折优惠呢！你可以再选1套，但两套最终不超过1500元．”那么小明再买第二套机器人最多可选择的类型有（ ）
型号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ （10）
价格/元 1800 1350 1200 800 675 516 360 300 280 188
A． 5种 B． 8种 C． 9种 D． 6种
考点： 一元一次不等式的应用．
分析： 根据题意结合两套最终不超过1500元，得出不等式求出即可．
解答： 解：设第2套机器人价格为x元，由题意可得：
0.8（x+675）≤1500，
解得：x≤1200，
∴小明再买第二套机器人最多可选择的类型有8种．
故选：B．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意表示出两套机器人的实际价格是解题关键．
12．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用含a、b的式子表示）（ ）
A． （a+b）2 B． （a﹣b）2 C． 2ab D． ab
考点： 整式的混合运算．
分析： 用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．
解答： 解：（）2﹣4×（）2=﹣
=
=ab，
故选D．
点评： 本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是 55 度．
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据直角定义求出∠1的余角，再利用两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．
解答： 解：如图，∵∠1=35°，
∴∠3=90°﹣∠1=55°，
∵直尺两边平行，
∴∠2=∠3=55°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：55°．
点评： 本题与实际生活联系，主要考查平行线的性质，需要熟练掌握．
14．如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，过A点作EA∥BC，则∠EAB= 70 °．
考点： 平行线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 先根据在△ABC中，∠C=40°，CA=CB求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解答： 解：∵在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，
∴∠ABC==70°．
∵EA∥BC，
∴∠EAB=∠ABC=70°．
故答案为：70．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
15．如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为 25 °．
考点： 平移的性质．
分析： 根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据平移的性质可得AB∥A′B′，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠AB′A′=∠A．
解答： 解：∵∠B=55°，∠C=100°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣100°=25°，
∵△ABC平移得到△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，
∴∠AB′A′=∠A=25°．
故答案为：25．
点评： 本题考查了平移的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记平移的性质得到AB∥A′B′是解题的关键．
16．若（x﹣3）3=a+bx+cx2+dx3，则a+b+c+d= ﹣8 ．
考点： 代数式求值．
分析： 利用赋值法，可取x=1，代入可求得答案．
解答： 解：∵（x﹣3）3=a+bx+cx2+dx3，
∴可取x=1，代入可得（﹣2）3=a+b+c+d，
即a+b+c+d=﹣8．
故答案为：﹣8．
点评： 本题主要考查赋值法的应用，即对题目中所给参数取特殊值从而达到解决问题的方法．
17．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn= 1 ．
考点： 合并同类项；解二元一次方程组．
分析： 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据乘方，可得答案．
解答： 解：∵﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，
∴
解得：
∴mn=20=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了合并同类项，同类项是字母相同且相同字母的指数也相同是解题关键．
18．若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为 ﹣3 ．
考点： 二元一次方程组的解．
分析： 先把k当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于k的一元一次方程，求出k的值即可．
解答： 解：解这个方程组的解为
因为x、y的值互为相反数，
所以可得2k﹣1=k﹣4
解得：k=﹣3
故答案为：﹣3．
点评： 本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次方程，先把k当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于k的方程求出k的值是解答此题的关键．
19．三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 3或4 ．
考点： 三角形三边关系；一元一次不等式的整数解．
分析： 先求出不等式的解集，再根据x是符合条件的正整数判断出x的可能值，再由三角形的三边关系求出x的值即可．
解答： 解：2x﹣1＜9，
解得：x＜5，
∵x是它的正整数解，
∴x可取1，2，3，4，
根据三角形第三边的取值范围，得2＜x＜14，
∴x=3，4．
故答案为：3或4．
点评： 本题综合考查了求不等式特殊解的方法及三角形的三边关系，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
20．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③…
根据上述规律请你猜想的第n个等式为 2﹣4n2=4n+1 （用含n的式子表示）．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
解答： 解：（1）32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
所以第n个等式为：2﹣4n2=4n+1，
故答案为：2﹣4n2=4n+1．
点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
三、解答题
21．（1）计算：（﹣2015）0+2﹣2﹣（）2+|3.14﹣π|
解不等式组把解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．
考点： 解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．
分析： （1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；
求出每一不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解答： 解：（1）原式=1+﹣+π﹣3.14
=π﹣4.14；
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜1，
在数轴上表示不等式组的解集为：，
不等式组的整数解为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．
点评： 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值的应用，能正确利用所学的知识点进行计算是解此题的关键．
22．已知是方程2x﹣ay=9的一个解，解决下列问题：
（1）求a的值；
化简并求值：（a﹣1）（a+1）﹣2（a﹣1）2+a（a﹣3）．
考点： 二元一次方程组的解；整式的混合运算—化简求值．
分析： （1）把x、y的值代入方程可求得a的值；
根据乘法公式先化简，再把a的值代入求值即可．
解答： 解：（1）∵是方程2x﹣ay=9的一个解，
∴6﹣a=9，解得a=﹣3；
（a﹣1）（a+1）﹣2（a﹣1）2+a（a﹣3）
=a2﹣1﹣2（a2﹣2a+1）+a2﹣3a
=a2﹣1﹣2a2+4a﹣2+a2﹣3a
=a﹣3，
把a=﹣3代入上式可得：原式=﹣3﹣3﹣6．
点评： 本题主要考查方程解的概念，掌握方程的解满足方程是解题的关键．
四、解答与证明题
23．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2= ∠ACD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ ACD （等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF=∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF=90°（ 垂直定义 ）
∴∠ADC=90°（ 等量代换 ）
∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）
考点： 平行线的判定与性质；垂线．
专题： 推理填空题．
分析： 灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．
解答： 解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF=90°（垂直定义）
∴∠ADC=90°（等量代换）
∴CD⊥AB（垂直定义）．
点评： 利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
考点： 因式分解的意义．
专题： 阅读型．
分析： 根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
解答： 解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
点评： 正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
五、应用探究题
25．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA时，x= 60° ．
如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
考点： 三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解答： 解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
26．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合的条件，可知不能实现目标．
解答： 解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：a+（30﹣a）=1400，
解得：a=20，
∵a≤10，
∴在的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
河北省邢台市2015年七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（ ）
A． 5，1，3 B． 2，4，2 C． 3，3，7 D． 2，3，4
2．计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）
A． 0.1×107 B． 0.1×106 C． 1×107 D． 1×106
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． x3•x2=x5 B． （x2）3=x5 C． 2x3÷x2=x D． ﹣（x﹣1）=﹣x﹣1
4．下列关于不等式2x+4＞4x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 100°
6．二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知四个命题：①若a＜b，则﹣5+a＞﹣5+b；②直角三角形只有一条高线；③对顶角相等；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中真命题有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． （x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B． （a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21
C． x2+x+=（x+）2 D． 3x3﹣6x2+4=3x2（x﹣2）+4
9．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 15 C． 13 D． 13或17
10．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下面是创意机器人大观园中十种类型机器人套装的价目表．“六一”儿童节期间，小明在这里看好了⑤型机器人套装，爸爸说：“今天有促销活动，八折优惠呢！你可以再选1套，但两套最终不超过1500元．”那么小明再买第二套机器人最多可选择的类型有（ ）
型号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ （10）
价格/元 1800 1350 1200 800 675 516 360 300 280 188
A． 5种 B． 8种 C． 9种 D． 6种
12．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用含a、b的式子表示）（ ）
A． （a+b）2 B． （a﹣b）2 C． 2ab D． ab
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是 度．
14．如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，过A点作EA∥BC，则∠EAB= °．
15．如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为 °．
16．若（x﹣3）3=a+bx+cx2+dx3，则a+b+c+d= ．
17．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn= ．
18．若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为 ．
19．三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 ．
20．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③…
根据上述规律请你猜想的第n个等式为 （用含n的式子表示）．
三、解答题
21．（1）计算：（﹣2015）0+2﹣2﹣（）2+|3.14﹣π|
解不等式组把解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．
22．已知是方程2x﹣ay=9的一个解，解决下列问题：
（1）求a的值；
化简并求值：（a﹣1）（a+1）﹣2（a﹣1）2+a（a﹣3）．
四、解答与证明题
23．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ ）
∴∠2= （ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ （等量代换）
∴EF∥CD（ ）
∴∠AEF=∠ （ ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF=90°（ ）
∴∠ADC=90°（ ）
∴CD⊥AB（ ）
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
五、应用探究题
25．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．
如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
26．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
河北省邢台市2015年七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（ ）
A． 5，1，3 B． 2，4，2 C． 3，3，7 D． 2，3，4
考点： 三角形三边关系．
专题： 应用题．
分析： 看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
解答： 解：A、3+1＜5，不能构成三角形，故A错误；
B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误；
C、3+3＜7，不能构成三角形，故C错误；
D、2+3＞4，能构成三角形，故D正确，
故选：D．
点评： 本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（ ）
A． 0.1×107 B． 0.1×106 C． 1×107 D． 1×106
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 直接根据乘法分配律即可求解．
解答： 解：3.8×107﹣3.7×107
=（3.8﹣3.7）×107
=0.1×107
=1×106．
故选：D．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． x3•x2=x5 B． （x2）3=x5 C． 2x3÷x2=x D． ﹣（x﹣1）=﹣x﹣1
考点： 整式的除法；去括号与添括号；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 分别利用整式的除法、去括号和添括号的法则及幂的有关运算性质进行运算即可．
解答： 解：A、x3•x2=x3+2=x5，故本选项正确；
B、（x3）2=x3×2=x6，故本选项错误；
C、2x3÷x2=2x3﹣2=2x，故本选项错误；
D、﹣（x﹣1）=﹣x+1，故本选项错误；
故选A．
点评： 本题考查了整式的除法、去括号和添括号的法则及幂的有关运算性质，是基础题，熟记各性质与完全平方公式是解题的关键．
4．下列关于不等式2x+4＞4x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集．
专题： 数形结合．
分析： 先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．
解答： 解：2x+4＞4x
移项，得
2x﹣4x＞﹣4，
合并同类项，得
﹣2x＞﹣4，
不等式的两边同时除以﹣2，不等号的方向改变，得
x＜2；
∴在数轴上表示为：
；
故选A．
点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A． 40° B． 60° C． 80° D． 100°
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．
分析： 根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．
故选：D．
点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二元一次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 将x、y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x、y的值是否为方程x﹣2y=1的解．
解答： 解：A、当x=0，y=﹣时，x﹣2y=0﹣2×（﹣）=1，是方程的解；
B、当x=1，y=1时，x﹣2y=1﹣2×1=﹣1，不是方程的解；
C、当x=1，y=0时，x﹣2y=1﹣2×0=1，是方程的解；
D、当x=﹣1，y=﹣1时，x﹣2y=﹣1﹣2×（﹣1）=1，是方程的解；
故选：B．
点评： 本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
7．已知四个命题：①若a＜b，则﹣5+a＞﹣5+b；②直角三角形只有一条高线；③对顶角相等；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中真命题有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 命题与定理．
分析： 分别利用不等式的性质以及直角三角形高线的定义和对顶角以及三角形外角的性质分析得出即可．
解答： 解：①若a＜b，则﹣5+a＜﹣5+b，故此选项错误；
②直角三角形有3条高线，故此选项错误；
③对顶角相等，正确；
④三角形的一个外角大于它不相邻的内角．
故选：A．
点评： 此题主要考查了命题与定理，正确掌握三角形的相关性质是解题关键．
8．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． （x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B． （a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21
C． x2+x+=（x+）2 D． 3x3﹣6x2+4=3x2（x﹣2）+4
考点： 因式分解的意义．
分析： 利用因式分解的定义求解即可．
解答： 解：由因式分解的定义可得x2+x+=（x+）2是因式分解．
故选：C．
点评： 本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟记因式分解的定义．
9．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A． 17 B． 15 C． 13 D． 13或17
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 分类讨论．
分析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
解答： 解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
10．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 三角形的角平分线、中线和高．
分析： 根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
解答： 解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选D．
点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
11．下面是创意机器人大观园中十种类型机器人套装的价目表．“六一”儿童节期间，小明在这里看好了⑤型机器人套装，爸爸说：“今天有促销活动，八折优惠呢！你可以再选1套，但两套最终不超过1500元．”那么小明再买第二套机器人最多可选择的类型有（ ）
型号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ （10）
价格/元 1800 1350 1200 800 675 516 360 300 280 188
A． 5种 B． 8种 C． 9种 D． 6种
考点： 一元一次不等式的应用．
分析： 根据题意结合两套最终不超过1500元，得出不等式求出即可．
解答： 解：设第2套机器人价格为x元，由题意可得：
0.8（x+675）≤1500，
解得：x≤1200，
∴小明再买第二套机器人最多可选择的类型有8种．
故选：B．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意表示出两套机器人的实际价格是解题关键．
12．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用含a、b的式子表示）（ ）
A． （a+b）2 B． （a﹣b）2 C． 2ab D． ab
考点： 整式的混合运算．
分析： 用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．
解答： 解：（）2﹣4×（）2=﹣
=
=ab，
故选D．
点评： 本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是 55 度．
考点： 平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据直角定义求出∠1的余角，再利用两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．
解答： 解：如图，∵∠1=35°，
∴∠3=90°﹣∠1=55°，
∵直尺两边平行，
∴∠2=∠3=55°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：55°．
点评： 本题与实际生活联系，主要考查平行线的性质，需要熟练掌握．
14．如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，过A点作EA∥BC，则∠EAB= 70 °．
考点： 平行线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 先根据在△ABC中，∠C=40°，CA=CB求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解答： 解：∵在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，
∴∠ABC==70°．
∵EA∥BC，
∴∠EAB=∠ABC=70°．
故答案为：70．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
15．如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为 25 °．
考点： 平移的性质．
分析： 根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据平移的性质可得AB∥A′B′，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠AB′A′=∠A．
解答： 解：∵∠B=55°，∠C=100°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣100°=25°，
∵△ABC平移得到△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，
∴∠AB′A′=∠A=25°．
故答案为：25．
点评： 本题考查了平移的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记平移的性质得到AB∥A′B′是解题的关键．
16．若（x﹣3）3=a+bx+cx2+dx3，则a+b+c+d= ﹣8 ．
考点： 代数式求值．
分析： 利用赋值法，可取x=1，代入可求得答案．
解答： 解：∵（x﹣3）3=a+bx+cx2+dx3，
∴可取x=1，代入可得（﹣2）3=a+b+c+d，
即a+b+c+d=﹣8．
故答案为：﹣8．
点评： 本题主要考查赋值法的应用，即对题目中所给参数取特殊值从而达到解决问题的方法．
17．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn= 1 ．
考点： 合并同类项；解二元一次方程组．
分析： 根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据乘方，可得答案．
解答： 解：∵﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，
∴
解得：
∴mn=20=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了合并同类项，同类项是字母相同且相同字母的指数也相同是解题关键．
18．若方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为 ﹣3 ．
考点： 二元一次方程组的解．
分析： 先把k当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于k的一元一次方程，求出k的值即可．
解答： 解：解这个方程组的解为
因为x、y的值互为相反数，
所以可得2k﹣1=k﹣4
解得：k=﹣3
故答案为：﹣3．
点评： 本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次方程，先把k当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于k的方程求出k的值是解答此题的关键．
19．三角形的两边长分别为8和6，第三边长是一元一次不等式2x﹣1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是 3或4 ．
考点： 三角形三边关系；一元一次不等式的整数解．
分析： 先求出不等式的解集，再根据x是符合条件的正整数判断出x的可能值，再由三角形的三边关系求出x的值即可．
解答： 解：2x﹣1＜9，
解得：x＜5，
∵x是它的正整数解，
∴x可取1，2，3，4，
根据三角形第三边的取值范围，得2＜x＜14，
∴x=3，4．
故答案为：3或4．
点评： 本题综合考查了求不等式特殊解的方法及三角形的三边关系，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
20．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③…
根据上述规律请你猜想的第n个等式为 2﹣4n2=4n+1 （用含n的式子表示）．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
解答： 解：（1）32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
所以第n个等式为：2﹣4n2=4n+1，
故答案为：2﹣4n2=4n+1．
点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
三、解答题
21．（1）计算：（﹣2015）0+2﹣2﹣（）2+|3.14﹣π|
解不等式组把解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．
考点： 解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．
分析： （1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；
求出每一不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解答： 解：（1）原式=1+﹣+π﹣3.14
=π﹣4.14；
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜1，
在数轴上表示不等式组的解集为：，
不等式组的整数解为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．
点评： 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值的应用，能正确利用所学的知识点进行计算是解此题的关键．
22．已知是方程2x﹣ay=9的一个解，解决下列问题：
（1）求a的值；
化简并求值：（a﹣1）（a+1）﹣2（a﹣1）2+a（a﹣3）．
考点： 二元一次方程组的解；整式的混合运算—化简求值．
分析： （1）把x、y的值代入方程可求得a的值；
根据乘法公式先化简，再把a的值代入求值即可．
解答： 解：（1）∵是方程2x﹣ay=9的一个解，
∴6﹣a=9，解得a=﹣3；
（a﹣1）（a+1）﹣2（a﹣1）2+a（a﹣3）
=a2﹣1﹣2（a2﹣2a+1）+a2﹣3a
=a2﹣1﹣2a2+4a﹣2+a2﹣3a
=a﹣3，
把a=﹣3代入上式可得：原式=﹣3﹣3﹣6．
点评： 本题主要考查方程解的概念，掌握方程的解满足方程是解题的关键．
四、解答与证明题
23．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2= ∠ACD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ ACD （等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF=∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF=90°（ 垂直定义 ）
∴∠ADC=90°（ 等量代换 ）
∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）
考点： 平行线的判定与性质；垂线．
专题： 推理填空题．
分析： 灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．
解答： 解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF=90°（垂直定义）
∴∠ADC=90°（等量代换）
∴CD⊥AB（垂直定义）．
点评： 利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
考点： 因式分解的意义．
专题： 阅读型．
分析： 根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
解答： 解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
点评： 正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
五、应用探究题
25．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA时，x= 60° ．
如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
考点： 三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解答： 解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
26．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合的条件，可知不能实现目标．
解答： 解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：a+（30﹣a）=1400，
解得：a=20，
∵a≤10，
∴在的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
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