2022-2023学年浙江省舟山一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省舟山一中九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 无实数根 B. 有两不等实数根 C. 有两相等实数根 D. 有一个实数根

3. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占若小强的三项成绩百分制依次是，，则小强这学期的体育成绩是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在中，，是的中点，延长至点，使，连接，为中点，连接若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将图的正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，点、、分别为边、、的中点，分别联结、、、，点是与的交点，下列结论中，正确的个数是(    )
   的周长是周长的一半；
   与互相平分；
   如果，那么点到四边形四个顶点的距离相等；
   如果，那么点到四边形四条边的距离相等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为单位：，下列结论正确的是(    )

A. 当时，四边形为矩形
B. 当时，四边形为平行四边形
C. 当时，
D. 当时，或

9. 如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则▱的面积是(    )

A.
B.
C.
D. 不确定

10. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：
    ；；；关于的方程有一个根为
    其中正确的结论个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 函数中自变量的取值范围是______．
12. 已知，、是一元二次方程的两实数根，则代数式______．
13. 一组数据，，，，，，它的中位数是，则的值是______．
14. 如图，已知在中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，且，则的长度是          ．
     

15. 如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为______．

16. 如图，在中，，，边上的点从点出发，向点运动，同时，边上的点从点出发，向点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图，图象过点，则图象最低点的横坐标是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：；
    解方程：．
18. 本小题分
    某中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“防疫宣传”演讲比赛，其预赛成绩单位：分如图所示：
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    求出表中的、、、；

请你任选一组统计量描述两个班的成绩水平？
乙班小明说：“我的成绩在我们班是中等水平”，你知道他是几号选手吗？

19. 本小题分
    已知：如图，在▱中，、为对角线上的两点，．
    求证：≌；
    若，，，求平行四边形的周长．

20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
    将先向右平移个单位长度、再向下平移个单位长度，得到，画出；
    与关于原点成中心对称，画出．
     

21. 本小题分
    如图，在长方形纸片中，，，折叠纸片，使顶点落在边的点处，折痕分别交边、于点、．
    求证：是等腰三角形；
    求面积的最大值．

22. 本小题分
    在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜元，该超市用元购进的甲种品牌洗衣液与用元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
    求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
    在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶元售出，每天固定售出瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价元时，每天可售出瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元？
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点在轴正半轴上．
    求抛物线的解析式；
    求点的坐标；
    为线段上一点，，作轴交抛物线于点，求的最大值与最小值．

24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与反比例函数的图象在第一象限相交于点，且点是的中点．
    如图，求反比例函数的解析式；
    如图，若矩形的顶点在直线上，顶点在点右侧的反比例函数图象上，顶点，在轴上，且．
    求点的坐标；
    若点是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点的左侧，连结，并在左侧作正方形当顶点或顶点恰好落在直线上，直接写出对应的点的横坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据二次根式确定的范围，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
原方程没有实数根．
故选：．
先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况．
此题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分．
答：小强这学期的体育成绩是分．
故选：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
 

4.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，
，，，
．
为中线，
．
为中点，，即点是的中点，
是的中位线，
则．
故选：．
利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段的长度和线段是的中位线．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
负值已经舍去，
故选：．
根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．
此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：点、、分别为边、、的中点，
，，，
，
的周长是周长的一半，故正确；
点、、分别为边、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分，故正确；
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
点到四边形四个顶点的距离相等，故正确；
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，是菱形两组对角的平分线，
点到四边形四条边的距离相等，故正确．
综上所述：正确的是，共个，
故选：．
根据三角形中位线定理即可解决问题；
根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题；
证明四边形是矩形，进而可以解决问题；
证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得，，
，，
，，
当四边形为矩形时，，
即，
解得，
故A选项不符合题意；
当四边形为平行四边形，，
即，
解得，
故B选项不符合题意；
当时，分两种情况：
四边形是平行四边形，
此时，
即，
解得，
四边形是等腰梯形，
过点作于点，过点作于点，如图所示：

则，
，，
≌，
，
，
又，
，
解得，
综上，当时，或，
故C选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列方程求解即可；当四边形为平行四边形，根据，列方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示出各线段的长是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，，
≌，
又点在反比例函数上，
，
点在反比例函数上，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质可得≌，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，，进而求出，再根据平行四边形的性质得出．
本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，理解反比例函数系数的几何意义和平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：
由图象开口向下，可知，
与轴的交点在轴的下方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故正确；
由图象可知当时，，
，故错误；
由图象可知，
，
，即，
，故正确；
假设方程的一个根为，把代入方程可得，
整理可得，
两边同时乘可得，
即方程有一个根为，
由可知，而当是方程的根，
是方程的根，即假设成立，故正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选：．
由二次函数图象的开口方向、对称轴及与轴的交点可分别判断出、、的符号，从而可判断；由图象可知当时，，可判断；由，且，可判断；把代入方程整理可得，结合可判断；从而可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两实数根，
，，
，
故答案为：．
由、是一元二次方程的两实数根，得，，即得．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．
 

13.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，的中位数为，
，
，
故答案为：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，、分别是、的中点，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．

利用三角形中位线定理，即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作于，如图：

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
当最小时，最小，
当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为，
，，
，
最小值为，
故答案为：．
过作于，证明≌，可得，，即得是等腰直角三角形，，故当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为，由，即可得答案．
本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是根据证明≌，把问题转化为求的最小值．
 

16.【答案】 

【解析】解：图象过点，
即当时，点与重合，点与重合，
此时，
为等腰直角三角形，
，
过点作于点，过点作，并使得，如图所示：

，，
≌，
，
又，
，
当、、三点共线时，取得最小值，如图所示，此时：
，，
，
又，
∽
，即，
解得：，
图象最低点的横坐标为：．
故答案为：．
观察函数图象，根据图象经过点即可推出和的长，构造≌，当、、三点共线时，取得最小值，利用三角形相似求出此时的值即可．
本题考查动点问题的函数图象，通过分析动点位置结合函数图象推出、的长再通过构造三角形全等找到最小值是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：

；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先进行化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

18.【答案】解：乙班成绩的平均数．
把甲班的成绩从小到大排列，最中间的数是，则中位数是；
乙班成绩中分出现次数最多，则乙班成绩的众数是；
甲班成绩的方差；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定答案不唯一；
因为乙班的成绩的中位数是，所以小明的成绩是分，则小明是号选手． 

【解析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义分别进行解答即可；
从平均数、中位数、众数、方差任选一组进行分析即可；
根据中位数的定义即可得出答案．
此题考查了方差、平均数、众数和中位数，正确把握相关定义是解题关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌；

解：，，
，则，
故是，
，，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长为：． 

【解析】直接利用平行四边形的性质得出，，进而得出，，再利用全等三角形的判定方法得出答案；
直接利用勾股定理逆定理得出，进而利用直角三角形的性质得出的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理、平行四边形的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
 

20.【答案】解：如图：
如图：
 

【解析】本题考查了作图旋转变换，平移变换，找出对应点的位置是解题关键．
根据点平移的规律得到，，，然后描点连线即可；
根据关于原点对称的点的坐标特征得到，，，然后描点连线即可．
 

21.【答案】证明：由翻折得：．
，
，
，
是等腰三角形．
解：如图，当点与点重合时，的面积最大．
在中，，
，
解得：，
，
的面积最大值． 

【解析】由折叠的性质得出由平行线的性质得出，则可得出答案；
根据勾股定理可求，根据矩形的性质可得，可得，即可求的面积的最大值．
本题考查了翻折变换，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元；
设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元，
根据题意得：，
化一般式为，
解得：，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元． 

【解析】设甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元，根据“用元购进的甲种品牌洗衣液与用元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同”列出方程，解方程即可求出结论；
设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元，则乙种品牌的洗衣液每天可售出瓶，根据“两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元”列出方程，解之即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：抛物线的顶点在轴正半轴上，
设抛物线的解析式为，
把点、代入中可得：
，
解得：舍去或，
，
抛物线的解析式为：；
把代入中可得：
，
，
点的坐标为；
设的解析式为：，
把点、代入中可得：
，
解得：，
的解析式为：，
点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴，
当时，，，
，
当时，，，
，
当时，，，
，
设，，


，
当时，的最大值为：，
的最大值是，最小值是． 

【解析】根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答；
把代入中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；
先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

24.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
点是的中点，
，
，
；
设，
，
，
将代入反比例函数得，
，
，舍去，
；
由题意得：，
，
当点落在直线上时，如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点；

四边形是正方形，则，，
，
，
，
≌，
，；
点在的图象上，点在直线上，且点在点的左侧，
设点为，，
，
，
，
，
点的横坐标为；
当点落在直线上时，如图，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点；

与同理，可证≌，
，，
设，，
，
，，，，
，
解得，
，
点的横坐标为，
综上所述，点的横坐标为：或． 

【解析】首先求出点与的坐标，再根据点是的中点，可得，从而得出的值；
设，则，将代入反比例函数得，解方程可得的值，从而得出答案；
分当点落在直线上或点落在直线上，分别构造型全等表示点的坐标，进而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法取函数解析式，函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．