2023-2024学年浙江省绍兴市新昌县城关中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省绍兴市新昌县城关中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，是的二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 三角形内角和是
B. 端午节赛龙舟，红队获得冠军
C. 掷一枚均匀骰子，点数是的一面朝上
D. 打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况

3.  某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．则每星期售出商品的利润单位：元与每件涨价单位：元之间的函数关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则所得的抛物线的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  二次函数化为的形式，下列正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  根据以下表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(    )

A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒

10.  函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是(    )
；
；
；
将图象向上平移个单位后与直线有个交点．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知一个二次函数的图象形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的解析式为______．

12.  在一个不透明的袋中装有若干个红球和个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球次，其中有次摸到黑球，估计袋中红球的个数是______．

13.  已知抛物线的顶点在轴上，则的值是______ ．

14.  二次函数的最小值是______ ．

15.  如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径为______．

16.  已知二次函数与一次函数的图象相交于点，如图所示，则能使成立的的取值范围是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  已知抛物线经过点，，求抛物线的解析式和顶点坐标．

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
已知抛物线．
求证此抛物线与轴有两个交点；
若抛物线与轴的一个交点为，求的值及抛物线与轴另一交点坐标．

19.  本小题分
在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：同甘共苦民族情民族团结一家亲，一起向未来画出最美同心圆赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为，，的张卡片如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同现将这张卡片背面朝上，洗匀放好．

某班从张卡片中随机抽取张，抽到卡片的概率为______；
若七班从张卡片中随机抽取张，记下题目后放回洗匀，再由七班从中随机抽取张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．这张卡片分别用它们的编号，，表示

20.  本小题分
某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为元件在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量件与销售价格元件之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：

若与之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______不用写自变量的取值范围；
若该公司想每天获利元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？利润用表示

21.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．
求二次函数的表达式；
当时，写出的取值范围；
当时，二次函数的最小值为，求的值．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为，点坐标为．
求此抛物线的函数解析式．
点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，探究是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
点为该抛物线对称轴上的动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：．
利用二次函数定义进行解答即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．

2.【答案】 

【解析】解：、三角形内角和是，是必然事件，故A符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是的一面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：每涨价元，每星期要少卖出件，每件涨价元，
销售每件的利润为元，每星期的销售量为件，
每星期售出商品的利润．
故选：．
由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为件，再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式．

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则所得的抛物线的函数表达式为．
故选：．
根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案．
本题主要考查了二次函数图象的平移，理解并掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数的不同表达形式，配方法是解此题关键．
根据配方法，可得顶点式函数解析式．
【解答】
解：，
，
，
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黄球，
从中任意摸出个球，一共有种可能性，其中摸到红球的可能性有种，
从中任意摸出个球，摸到红球的概率是，
故选：．
根据题意可知，从中任意摸出个球，一共有种可能性，其中摸到红球的可能性有种，从而可以计算出相应的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

7.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，在对称轴上，
．
故选：．
先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

8.【答案】 

【解析】解：观察表格可知：当时，；当时，，
方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
利用二次函数和一元二次方程的关系．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由负变为正时，自变量的取值即可．

9.【答案】 

【解析】解：此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是：，
炮弹所在高度最高的是第秒．
故选：．
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：图象经过，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，即，正确．
由图象可得抛物线与轴交点在轴下方，
，错误．
由抛物线的开口向上可得，
，
，正确．
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
，
顶点坐标为，
点向上平移个单位后的坐标为，
将图象向上平移个单位后与直线有个交点，故正确；
故选：．
根据函数图象与轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，由图象可得抛物线与轴交点在轴下方，由抛物线的开口方向，对称轴位置和抛物线与轴交点位置可得的符号，求出二次函数的顶点式，可得图象向上平移个单位后与直线有个交点．
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：图象顶点坐标为，
可以设函数解析式是，
又抛物线形状及开口方向与抛物线相同，
，
这个函数解析式是：，
故答案为：．
由抛物线顶点坐标可得抛物线顶点式，由抛物线形状与开口方向与可得．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

12.【答案】 

【解析】解：设袋中红球的个数是个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是个，
故答案为．
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．

13.【答案】 

【解析】解：根据顶点横坐标公式得，
抛物线的顶点横坐标为，
抛物线的顶点在轴上时，
顶点横坐标为，即，
解得．
故答案为：．
抛物线的顶点横坐标为，当抛物线的顶点在轴上时，顶点横坐标为，解方程求的值．
本题考查了二次函数的顶点坐标的运用．抛物线的顶点坐标为

14.【答案】 

【解析】解：，
对称轴所在的直线为，
，
二次函数有最小值，在顶点处取到，
即当时，．
故答案为：．
通过二次函数图象的特点可知函数有最小值，在顶点处取到，直接代值求解即可．
此题考查二次函数的最值，解题关键求出二次函数的顶点坐标．

15.【答案】 

【解析】解：为，
令，
解得，
，，
，
故答案为：．
利用待定系数法求出、的坐标，可求答案．
本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．

16.【答案】或 

【解析】解：由函数图象可知，当或时，二次函数图象在一次函数图象的上方，
能使成立的的取值范围是或．
故答案为：或．
直接根据函数的图象即可得出结论．
本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．

17.【答案】解：把，代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为． 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．
把，代入解方程组即可得到结论．

18.【答案】证明：，
故此抛物线与轴有两个交点；
解：将代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则或，
故另外一个交点为：． 

【解析】证明，即可求解；
利用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：某班从张卡片中随机抽取张，抽到卡片的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中七班和七班抽到不同卡片的结果有种，
这两个班抽到不同卡片的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中七班和七班抽到不同卡片的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】；
根据题意得：，
解得，，
公司尽可能多让利给顾客，
应定价为元；
根据题意得，
，
当时，有最大值，最大值为，
所以当一件衣服定为元时，才能使每天获利最大． 

【解析】解：设与之间的函数关系式为，
则，
解得，
与之间的函数关系式为，
故答案为：；
见答案；
见答案．
用待定系数法求出函数解析式；
根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
根据总利润一件衣服的纯利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数的最值．
本题考查了二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．

21.【答案】解：二次函数的对称轴是直线，
，
，
将代入中，
解得．
二次函数的表达式为；
当时，的取值范围为；
若，即时，
则当时，函数值最小，
，
解得：或舍去；
如，即时，
则当时函数值最小，
，
解得：不合题意；
若，
则当时函数值最小，
，
解得：或舍去，
的值为或． 

【解析】解：见答案；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，对称轴为直线，
，
当时，，
当时，的取值范围为；
见答案．

二次函数的对称轴是直线，求出，将代入中，即可求解；
根据点，关于对称轴直线对称，求出点坐标，再结合图象求出的取值范围；
分，，三种情况讨论即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，抛物线的性质，关键是对给定的自变量的取值范围与对称轴位置关系的讨论．

22.【答案】解：抛物线的图象经过点，点，
，
解得，
抛物线的解析式为；

存在．
理由：如图中，设，连接．

令，则，
解得或，
，，
，
，
，
，
时，的面积最大，最大值为，此时；

如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点则；

，，
，
当时，是等腰直角三角形，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
，
，
当时，设，设的中点为，连接，则，
，
，
解得或，
，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 

【解析】把点，两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；
存在．如图中，设，连接构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；
如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点则，分三种情形：，，，分别求解可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．