专题16二次函数中的正方形-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

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专题16 二次函数中的正方形

类型一 和二次函数中的正方形有关的纯计算
1．如图，，，一抛物线顶点为，且过、两点．，是抛物线上且位于轴上方的点，//轴，轴于点，轴于点．

(1)求抛物线解析式；
(2)若四边形是正方形，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设抛物线为，将代入即得抛物线解析式为；
（2）根据、是抛物线上且位于轴上方的点，轴，可得、关于轴对称，设，则，则，，由四边形是正方形，得，即可解得，故，从而可得．
(1)
由抛物线顶点为设抛物线为，
将代入得：，
，
抛物线解析式为；
(2)
、是抛物线上且位于轴上方的点，轴，
、关于轴对称，
设，则，
，，
四边形是正方形，
，即，
解得或（因在第一象限，舍去），
，
，
，，
，
．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、正方形性质等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
2．如图，抛物线经过点，两点，边长为4的正方形的顶点A、C分别在x轴上，y轴上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将正方形向右平移，平移距离记为h．
①当点C首次落在抛物线上时，求h的值；
②当抛物线落在正方形内部的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，②
【解析】
【分析】
（1）将点坐标代入解析式，求解方程组即可得到答案．
（2）①先确定平移后点C的坐标，再点入解析式即可得到答案；
②从点C首次落在抛物线上后继续平移，直到点O平移至点（3，0），皆满足抛物线落在正方形内部，y随x的增大而减小．
(1)
解：由已知，有
解得
∴抛物线的解析式为．
(2)
解：①原正方形点C的坐标为（0，4），则平移后点C落在抛物线上坐标变为（h，4），
依题意有，解得
∴点C首次落在抛物线上．
②∵从点C首次落在抛物线上后继续平移，直到点O平移至点（3，0），皆满足抛物线落在正方形内部，y随x的增大而减小．
∴．
【点睛】
本题考查正方形与二次函数的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．已知关于x的二次函数
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）．
（2）抛物线过一定点，直接写出该定点的坐标．
（3）点A（－6，1），B（4，1）．若以AB为边向上作正方形ABCD．
①当抛物线的顶点在正方形的边上时，求m的值．
②当抛物线的顶点在正方形的内部时，求m的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）①，；；②；
【解析】
【分析】
（1）把抛物线配方为顶点式即可得出结论；
（2）根据过定点，与m无关，可得，解方程组即可；
（3）①抛物线的顶点在正方形ABCD上，先求出点D（-6，11），C（1，11）确定范围-6≤-m≤4，即-4≤m≤6， 分四种情况顶点在AD边上，不存在；顶点在AB边上，根据顶点纵坐标列方程，顶点在BC边上，不存在；顶点在CD边上，根据顶点纵坐标列方程，解一元二次方程，根据m的范围取舍即可；
②当抛物线的顶点在正方形的内部时分两种情况，当m＜0时，横坐标介于顶点在AB与CD边上的横坐标之间，顶点在AB边上时顶点的横坐标为，，顶点在CD边上时顶点的横坐标为，，当m＞0时横坐标介于顶点在AB与CD边上的横坐标之间，顶点在AB边上时顶点的横坐标为，，顶点在CD边上时顶点的横坐标为，，然后写出范围即可
【详解】
解：（1）；
抛物线顶点坐标为（-m，m2+m）；
（2）整理得，
∴，
解得，
抛物线过定点（）；
（3）①抛物线的顶点坐标为（-m,），
顶点（-m,）在正方形ABCD的边上，
∵点A（－6，1），B（4，1）．
AB=4-（-6）=10，点D（-6，11），C（1，11），
∴-6≤-m≤4，即-4≤m≤6，
分四种情况
顶点在AD边上，
∴m=6，，
不存在；
顶点在AB边上，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴都成立，
顶点在BC边上，
∴m=4，，不存在；
顶点在CD边上，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴都成立，
抛物线顶点在正方形ABCD的边上，m的值为，；

②当抛物线的顶点在正方形的内部时，
分两种情况，当m＜0时，横坐标介于顶点在AB与CD边上的横坐标之间，
顶点在AB边上时顶点的横坐标为，，
顶点在CD边上时顶点的横坐标为，，
当m＜0时，横坐标取值范围为；

当m＞0时横坐标介于顶点在AB与CD边上的横坐标之间，
顶点在AB边上时顶点的横坐标为，，
顶点在CD边上时顶点的横坐标为，，
当m＞0时横坐标取值范围为；

综合m的取值范围或；
【点睛】
本题考查含参数的二次函数，顶点式，过定点，正方形的性质与点的坐标，一元二次方程的公式解法，无理数估值，自变量取值范围，掌握含参数的二次函数，配方法化为顶点式，过定点与参数无关，正方形的性质与点的坐标，一元二次方程的公式解法，无理数估值，自变量取值范围是解题关键，本题难度大，利用分类思想使问题得以完整解决．
类型二 找点使四边形是正方形
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．

(1)b＝______，c＝______；
(2)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)
解：将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为：﹣2，3；
(2)
解：存在点M，使四边形OMPQ为正方形，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，p），Q（x，y），M（m，m2﹣2m﹣3），
过点P作GHx轴，过点Q作QG⊥GH交于G，过点M作MH⊥GH交于点H，
∵四边形OMPQ为正方形，
∴∠QPM＝90°，
∴∠GPQ+∠HPM＝90°，
∵∠GPQ+∠GQP＝90°，
∴∠HPM＝∠GQP，
∵QP＝PM，
∴△GPQ≌△HMP（AAS），
∴GP＝HM，GQ＝PH，
∵OP是正方形的对角线，
∴1＝m+x，p＝y+m2﹣2m﹣3①，
当M点在第一象限时，如图2，

∴GP＝1﹣x，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝m﹣1，
∴p﹣y＝m﹣1②，
由①②可得m﹣1＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝，
∴M（，）；
当M点在第一象限时，如图3，

∴GP＝x﹣1，HM＝p﹣（m2﹣2m﹣3），GQ＝p﹣y，PH＝1﹣m，
∴p﹣y＝1﹣m③，
由①③可得1﹣m＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝，
∴M（，）；
综上所述：M点的坐标为（，）或（，）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
5．如图，直线交横轴、纵轴分别于、两点，且直线的表达式为：，点为横轴上原点右侧的一点，且满足，抛物线经过点、、．

(1)点、、的坐标分别为______、______、______；
(2)求抛物线表达式；
(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．
【答案】(1)（﹣3，0），（1，0），
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先求得点A和点C的坐标，得到OA和OC的长，得到AC2，然后求得AB的长，得到点B的坐标；
（2）由点A（﹣1，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后代入点C的坐标得到a的值，从而得到抛物线的表达式；
（3）设点D的坐标，然后得到点F的坐标，即可得到DH和DF的长，然后利用正方形的性质列出方程求解，即可得到点D的坐标．
(1)
解：对，当x＝0时，，当y＝0时，x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为，
∴OA＝3，OC＝，
∴AC2＝OA2+OC2＝9+3＝12，
∵AC2＝AO•AB，
∴12＝3AB，
∴AB＝4，
∴点B的坐标为（1，0），
故答案为：（﹣3，0），（1，0），．
(2)
由点A（﹣3，0）、B（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将点代入y＝a（x+3）（x﹣1）得，，
∴，
∴抛物线的表达式为．
(3)
设点D的坐标为，
抛物线的对称轴为：
点F的坐标为，
∴DH＝，
∵四边形DFEH为正方形，
∴DH＝DF，即，
解得：（舍）或，
当时，
∴点D的坐标为．
【点睛】
本题考查了勾股定理，二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
6．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；
(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．
【答案】(1)见解析
(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．
【解析】
【分析】
（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形；
（2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．
(1)
证明：令x=0，则y=c，
∴点C(0，c)，
令y=0，则2x2−(1+2c)x+c =0，
∴(2x-1)(x-c)=0，
∴x1=，x2=c，
∵点B在点A右侧，
∴点B(c，0)，点A(，0)，
∴OB=OC=c，
∵∠COB=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形；
(2)
解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-，
∴点D(，-)，
设DM交x轴于点M，

∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∵点A，B关于DE对称，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵EM⊥AB，
∴EM=AB，
当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，
∵DM⊥AB，
∴AB=2DM，
∵点B(c，0)，点A(，0)，
∴AB=c-，
∵点D(，-)，
∴DM=，
∴c-=，
整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，
∴c1=，c2=，
∵c>，
∴c=，
∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．

(1)求m的值及该抛物线的对称轴；
(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m＝4，x=
(2)存在，(4，5)或(，)
【解析】
【分析】
（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的顶点式的即可得二次函数对称轴；
（2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形性质即可求解．
(1)
解：把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：
∴﹣16+12+m＝0，
解得：m＝4，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴二次函数对称轴为直线x＝；
(2)
解：存在，理由如下：
令y=0，即y＝﹣x2+3x+4，
解得x=4或x=-1，
∴点B的坐标为（-1，0）
①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，

∵A（4，0），AB＝5，
∴点Q′的坐标为（4，5）；
②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
∵AB、PQ是正方形对角线，
∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，
∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，
∴点Q的坐标为（，﹣），
故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质，关键是注意正方形存在性问题得分类求解，避免遗漏．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)
解：∵抛物线 经过点A（1，0），B（5，0）两点
∴
解得：   
∴抛物线的解析式是
∵
∴顶点D的坐标是（3，）．
(2)
解：存在．
设点M的坐标为（x，）
由题意知分两种情况求解：一、如图①②

作轴，交对称轴于，作于
∵
∴
∵，
∴△GAM≌△HMI
∴AG＝MH，即   解得x＝
∴M点的坐标为（，）或（，）；
二、如图③④

同理可证△MAP≌△MIQ
∴MP＝MQ，即
解得x＝
∴M点的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式，顶点坐标，二次函数与面积综合，二次函数与特殊四边形综合，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由．
(1)
解：由题意可设抛物线的函数表达式为y=a（x+1）（x+3），
将C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0+3），
解得a=1．
∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）（x+3），即y=x2+4x+3；
(2)
解：存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，

设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=x+b，
联立得：，
消去y得：x2+3x+3-b=0，
∴NF2=|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=4b-3，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=8b-6，
∵H（x2，x2+3），
∴NH2=[（x2+3）- y2]2=（x2+3-x2-b）2=（3-b）2=（b-3）2，
∴NE2=（b-3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴8b-6=（b-3）2，
整理得：b2-22b+21=0，
解得：b=21或b=1，
∵正方形面积为MN2=8b-6，
∴正方形面积为162或2．
【点睛】
本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题、正方形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求出抛物线解析式；
(2)如图，点P为抛物线上一个动点，直线AC上的有一动点F，点M为坐标平面上一个动点，若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点P的坐标．
(1)
解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)
解：∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
若A，P，F，M四点构成的四边形为正方形时，则△APF为等腰直角三角形，
当AF为正方形对角线时，即AF为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点P'与B重合，P'（1，0）；

当AF为正方形的边时，即AF为等腰直角三角形的直角边时，如图，

∴∠FAP＝90°，
∴∠OAC'＝45°，
∴OA＝OC'，
∴C'（0，﹣3），
∴直线AC'的函数解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴﹣x﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝2，x2＝﹣3（舍），
∴P（2，﹣5），
综上：点P（1，0）或（2，﹣5）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，轴对称−−最短路线问题，正方形的存在性等知识，运用分类思想、数形结合思想是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，-），B（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．

(1)求二次函数解析式；
(2)点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
(1)
解：∵点A（1，-）是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-，
由于抛物线经过点B（-2，0），
∴a（-2-1）2-=0，
解得：a=，
∴二次函数的解析式为y=（x-1）2-=x2-x-4；
(2)
解：设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，

∴△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF=KB=MQ=|a+2|，QN=EK=BM=|b|，
∴点F的坐标为（a-b，a+b+2），
点E的坐标为（-2-b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a-b=1，
∴a-（a2-a-4）=1，
解得：a=2-（舍去正值），
得点Q的坐标为（2-，1-），
当点E在抛物线的对称轴上时，-2-b=1，
∴-2-（a2-a-4）=1，
解得：a=1-（舍去正值），
得点Q的坐标为（1-，-3）．
故点Q的坐标为：（2-，1-）或（1-，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及与相似三角形、正方形的综合，其中设出抛物线上一个点的坐标，根据条件表示出其它点或线段，再利用相应的知识点解决相关问题．
12．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．

解：（1）∵的图象与轴交于，
∴
∴
∴
当时，
∴
（2）设M点的坐标为，
则点N的坐标为，
∴MN的长度为
①当MN为直角边时，可知MN∥EF，
∴E，F均在x轴上，
∴M，N点到x轴的距离为，即
∵MNEF为正方形，
∴，
即，
解得，
当x=3时，M点为A点，应舍去
∴M点可为
②当MN是对角线时，
得到，此时E点为MN的垂直平分线与x轴的交点
且△ENM为直角等腰三角形，故MN的长度应该为M到x轴的距离的2倍
得到
解得，，
同理x=3时应舍去
故M点可为，
故综上M点坐标可为，，
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，结合正方形的性质是解题的关键．
13．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F
(1)求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；
(2)若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；

【详解】
(1)把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，
得：，
解得，
故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
(2)由(1)知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．
如图，设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，
∴ME=|﹣m2+2m+3|，
∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，
∴点N的横坐标为2﹣m，
∴MN=2m﹣2，
∵四边形MNFE为正方形，
∴ME=MN，
∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，
分两种情况：
①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），
当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；
②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），
当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；
综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，两点间的距离公式等知识，是二次函数综合题，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
14．如图，已知二次函数y=x2+bx﹣与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）试求出二次函数的表达式和点B的坐标；
（2）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

详解：（1）将点A（﹣3，0）代入y=x2+bx﹣得﹣3b﹣=0，解得b=1，
∴二次函数的表达式为y=x2+x﹣，
当y=0时， x2+x﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，
∴B（1，0）；
（2）存在．
当点P在y轴左侧时，如图2，DE交AB于G点，
∵PD=PE，∠DPE=90°，
∴△DAP≌△POE，
∴PO=AD=4，
∴PA=1，OE=1，
∵AD∥OE，
∴==4，
∴AG=，
∴S△DAG=••4=，
∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；
当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，
同理可得△DAP≌△POE，
∴PO=AD=4，
∴PA=7，OE=7，
∵AD∥OE，
∴==，
∴OG=，
同理可得BQ=
∴S四边形DGBQ=×（+1）×4+×4×=
∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．

点睛：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数关系式，利用二次函数求最值，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，是一道比较难的题目.学生在解决这种比较难的题目时，一定要仔细读题，根据题目意思去建立相应方程，在仔细求解.