专题16 二次函数中的相似三角形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．
（1）求二次函数的解析式并写出点坐标；
（2）点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标．
【解答】解：（1）由题可得：
，
解得：，
二次函数的解析式为．
点在抛物线上，
，
点的坐标为．
（2）过点作于点，如图，
点，点，
，，，
，．
点为的中点，
．
令得，
解得：，，
点为，
．
①若，
则，
，
解得：，
，
点的坐标为；
②若，
则，
，
，
，
点的坐标为，．
综上所述：点的坐标为或，．
2．如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在 轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点．
（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，，
，，，，
设函数解析式为，
，解得，
经过、、三点的抛物线的解析式为：
（2），；
所以直线；
联立，
解得，，，；
设点坐标为，，则；
；
由条件容易求得，，
若以、、为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形；
①以为直角顶点，为斜边；，
即：，
解得，（不合题意舍去）
，；
②以为直角顶点，为斜边；，
即：，
解得，（不合题意舍去）
，
故存在符合条件的点，且点坐标为，或，．
3．如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线点．
（1）求梯形的面积；
（2）若梯形的对角线、交于点，求点的坐标，并求经过、、三点的抛物线的解析式；
（3）点是直线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标．
【解答】解：（1），
当时，，
解得：，，
当时，，
，，，
轴，
点的纵坐标也是，
把代入得：
，
解得：，，
点的坐标是：，
，
．
所以梯形的面积是8．
（2）由抛物线的对称性有，
过作于，，
，
，
，
设：经过、、三点的抛物线的解析式为：，
把代入解得：，
所以经过、、三点的抛物线的解析式是：，
即．
（3）当点在的右侧，
当时，
，，
，
设，
，
由勾股定理得：，
（此时舍去），，
，；
当时，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，，
，
当点在的左侧，由题意有钝角钝角，此时不存在．
所以符合条件的点坐标是和，．
4．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点（点在点的左边），以为直径作，与轴正半轴交于，点为劣弧上一动点，连接、两弦相交于点，连接，，
（1）求点的坐标；
（2）若的半径为3时，求的值；
（3）请探索当点运动到什么位置时，使得与相似，并给予证明．
【解答】解：（1）由抛物线的解析式可得对称轴为：；
由于、是抛物线与轴的交点，且是的直径，由抛物线和圆的对称性知：．
（2）若的半径为3，则，；
则抛物线的解析式为：；
故．
（3）当点运动到劣弧的中点时，与相似；
证明：如图；
是劣弧的中点，
；
又是的直径，
，
．
5．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．
（1）填空： ， 、 ， 、 ， ；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线中，
，则；，则；
，；
根据旋转的性质知：，即；
，，；（3分）
（2）抛物线经过点，；
又抛物线经过，两点，
，解得；（5分）
；（6分）
（3）过点作轴垂足为点；
由（2）得
．
，；
（7分）
，
；
，
；（8分）
①当时，，
则，
（9分）
过点作轴，垂足为点；
，
设，则
在中，．
，
，（不合题意，舍去）（10分）
又，
，；（11分）
②当时，，则，
；
，
（不合题意，舍去）（13分）
综上所述，存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为，．（14分）
6．已知：二次函数的图象与轴交于，与轴交于点，
（1）求该二次函数的关系式；
（2）求点的坐标，并判断的形状，说明理由；
（3）点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、点，
，
解得：，
二次函数的关系式为．
（2）令，得，
解得：，，
点的坐标为．
是直角三角形．
理由：，，，
，，．
．
，
，，
，
，
是直角三角形．
（3）①点在第一象限，如图1．
Ⅰ．若，
则有．
设，则，
点的坐标为．
把点代入，得：
，
解得：（舍去），．
点的坐标为即；
Ⅱ．若，
则有．
设，则，
点的坐标为．
把点代入，得：
，
解得：（舍去），．
点的坐标为即；
②点在第二象限，如图2．
Ⅰ．若，
则有．
设，则，
点的坐标为．
把点代入，得：
，
解得：（舍去），（舍去）；
Ⅱ．若，
则有．
设，则，
点的坐标为．
把点代入，得：
，
解得：（舍去），（舍去）．
综上所述：符合题意的点的坐标为或．
7．如图，抛物线经过，，三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标．
【解答】解：（1）该抛物线过点，
可设该抛物线的解析式为．
将，代入，
得，
解得，
此抛物线的解析式为；
（2）存在．如图，设点的横坐标为，
则点的纵坐标为，
当时，，．
又，
①当，
在抛物线上，
，
，
，
，
即．
解得，（舍去），
．
②当时，，即．
解得，（均不合题意，舍去）
当时，，
当时，，，
①或②，
把代入得：，，
解得：第一个方程的解是（舍去）（舍去），
第二个方程的解是，（舍去）
求出，，
则，
当时，，．
①或，
则：，，
解得：第一个方程的解是（舍去），（舍去），第二个方程的解是（舍去），，
时，，
则，
综上所述，符合条件的点为或或，
（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
过作轴的平行线交于．
由题意可求得直线的解析式为．
点的坐标为．
，
，
，
当时，面积最大，
．
8．如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得
，
解得：．
抛物线的解析式为
联立，
解得：或，
点的坐标为．
如图1．
，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
；
（Ⅱ）方法一：
（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，
．
若点在点的下方，
①如图2①，当时，则．
，，
，
．
．
则．
把代入，得
，
整理得：
解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得
，
整理得：
解得：（舍去），，
，；
若点在点的上方，
①当时，则，
同理可得：点的坐标为．
②当时，则．
同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；
方法二：
作的“外接矩形” ，易证，
，
以，，为顶点的三角形与相似，
或，
设，，，
①，，
，，
②，
，，（舍，
满足题意的点的坐标为、，、，；
（2）方法一：
过点作轴于，如图3．
在中，，即，
点在整个运动中所用的时间为．
作点关于的对称点，连接，
则有，，，
，．
根据两点之间线段最短可得：
当、、三点共线时，最小．
此时，，
四边形是矩形，
，．
对于，
当时，有，
解得：，．
，，
，
，
点的坐标为．
方法二：
作点关于的对称点，交于点，显然，
作轴，垂足为，交直线于点，如图4，
在中，，即，
当、、三点共线时，最小，
，，
，
，，
，，
，
，，，
为的中点，
，
，
．
方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．
，，
．
，，
，
，
．
．
当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，
抛物线的解析式为，且，
可求得点坐标为
则点横坐标为2，将代入，得．
所以．
9．如图，已知抛物线（且与轴分别交于、两点，点在点左边，与轴交于点，连接，过点作交抛物线于点，0为坐标原点．
（1）用表示点的坐标， ；
（2）若，连接，
①求出点的坐标；
②在轴上找点，使以、、为顶点的三角形与相似，求出点坐标；
（3）若在直线上存在唯一的一点，连接、，使，求的值．
【解答】解：（1）当时，，
点的坐标为．
故答案为：；
（2）①，
抛物线的解析式为．
当时，，则点，；
当时，，，
则点，点，，．
，，
，
，即．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
点的坐标为；
②过点作轴于，如图1，
则，，，．
，．
Ⅰ．若，则．
，，，
，
，
点的坐标为，即，；
Ⅱ．若，则，
，
，
点的坐标为，即，；
综上所述：满足条件的点坐标为，或，；
（3）直线上存在唯一的一点，使得，
以为直径的圆与直线相切于点，圆心记为，连接，如图2，
则有，．
当时，，则点，
当时，，解得，，
则点，，
，，，
，，．
，，
，
，
，
，
解得：．
10．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且．
（1）求的值和抛物线的解析式；
（2）已知过点的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，的外接圆半径等于 或 ．（直接写答案）
【解答】解：（1）抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，
点的坐标为，
即，
，，
点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点．代入，
则，
抛物线的解析式为；
（2）联立直线与二次函数解析式得：
解得：，
，，，
与相似分为以下两种情况：
①当时得：
，
②当时得：
，
综上所述：或，．
（3）当点时
线段的垂直平分线为
线段的垂直平分线为
联立方程组：
解得圆心坐标为
外接圆半径为
同理：当点坐标为，
线段的垂直平分线为
线段的垂直平分线为
联立方程组：
解得圆心坐标为，
外接圆半径为
综上所述：外接圆半径为或．
11．如图，已知矩形，点，分别在，轴上，抛物线经过，两点，且与轴交于点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，设运动的时间为（秒，射线交抛物线于．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，是否存在这样的时刻，使得？若存在请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）连接和，若，求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线经过，两点，且与轴交于点，
，
解得，，，
所以抛物线解析式为；
（2），，，四边形为矩形，
，，，，
如图1，当时，
，
，
，
，，
，
，即，
，
（秒，
当秒时，使得；
（3）设所在直线的解析式为，由过点和，
，
解得，，
由，解得或，
点的坐标为，
，，
，
当点在线段上，且时，如图2，
，
，
，
，即，
解得，
；
当点在点的上方，且时，
如图3，过点作于，
由（1）知，则，，
过点作，交的延长线与，
，，
，
，
设，，则，
，，
，
，即，
解得，
，，
若，的取值范围为．
12．如图，抛物线经过、，点在抛物线上，轴，且平分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求线段的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【解答】解：（1）如图1，
，，
，．
，
．
，平分，
．
．
．
，，，
点的坐标为．
、、在抛物线上，
解得：
抛物线的解析式为．
（2）如图2，
设直线的解析式为，，
、在直线上，
解得：
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则点的横坐标也为．
，．
．
，，
当时，取到最大值，最大值为．
线段的最大值为．
（3）①当时，如图3所示．
抛物线的对称轴为．
．
．
．
，
．
，，
．
．
．
解得：．
点的坐标为，．
②当时，如图4所示．
，，，
．
同理：．
，，
．
．
．
解得：．
．
点的坐标为，．
综上所述：符合要求的点的坐标为，和，．
13．如图已知点和点都在抛物线上．
（1）求、；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为点，试在轴上找点，使得以点、、为顶点的三角形与相似．
【解答】解：（1）由于抛物线经过点和点，则有：
，解得；
故，．
（2）由（1）得：；
由、，可得；
若四边形为菱形，则，即；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
．
（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：；
，，
直线；
当时，，故；
又，，点
，，；
由（2）知：，即；
若以点、、为顶点的三角形与相似，则：
①，则△，可得：
，即，，
此时；
②，则△，可得：
，即，，
此时，；
综上所述，存在符合条件的点，且坐标为：或，．
14．已知抛物线与轴交于，两点，在的左侧），与轴交于，若，且．
①求抛物线的解析式；
②设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
③在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）易知，，代入抛物线的解析式中，得：
，解得；
．
（2）如图；
，
，；
易知，，
则，，；
；
①当点在轴上方时，
已知，则，得：
，即，故，；
②当点在轴下方时，此时、关于轴对称，故；
因此有两个符合条件的点，且坐标为或．
（3），，
；
又，
若以、、为顶点的三角形与相似，
则或；
设，则；
①当时，，；
若，，解得，；
若，，解得，；
由于，且，故上述四个解都不符合题意；
②当时，，；
若，，解得（舍去），；
若，，解得（舍去），（舍去）；
故，；
③当时，，；
若，，解得（舍去），；
若，，解得（舍去），；
故，或；
综上所述，存在符合条件的点，且坐标为：，，，，．
15．如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点．
（1）写出点的坐标 ， ；
（2）将直线沿轴向上平移，分别交轴于点、交轴于点，点是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当的面积取最大值时，点的坐标；
（3）已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，若的外接圆直径为，试问：以、、为顶点的三角形与能否相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，
当时，，
则点的坐标为，．
故答案为，；
（2）如图1，
设直线的解析式为，
联立，
消去并整理得，
，
当直线与抛物线相切时，
△，
解得，
此时直线的解析式为，
令，可得，
的面积最大时，点的坐标为，；
（3）过点作轴，如图2．
设直线的解析式为，
则有，，，
从而可得，，．
的外接圆直径为，
，
．
，
，
．
，
，
．
①若，
则有．
，
，，
，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为；
②若，
则有．
，
，，
，
点的坐标为，．
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为，．
综上所述：点的坐标为或，．
16．如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点．
（1）抛物线的表达式是 ；
（2）四边形的面积等于 ；
（3）问：与相似吗？并说明你的理由；
（4）设抛物线的对称轴与轴交于点．另一条抛物线经过点与不重合），且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，求、的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．
【解答】解：（1）设的解析式为，由图象可知：过，，三点．
解得：
抛物线的解析式为．
（2）．
抛物线的顶点的坐标为；
过作轴于，由图象可知：，，，；
令，则，
解得，
，则．
；
；
．
（平方单位）．
（3）如图，过作于，则．
．
，
又；
，；
在和中，
，，；
，，．
．
（4）①当，，此时点的坐标可能为，，．
②当，，此时点的坐标可能是，，，，
综上所述可得出、的值．
，，，，，，．
17．如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积．
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线过和
，
解得
（2）令，，
解得，
，
，
，
，
过点作轴于，则为等腰直角三角形
令，则，
点在抛物线上，
解得，（不符合题意）
四边形的面积
；
（3）假设存在
，
．
轴于点，
．
在中，．
在中，
设点的横坐标为，则
①点在轴左侧时，则
（ⅰ）当时，有
，
即
解得（舍去）（舍去）
（ⅱ）当时有
即
解得：（舍去），
②点在轴右侧时，则
（ⅰ）当时有
，
解得（舍去）
，
（ⅱ）当时有
即
解得：（舍去），，
，
存在点，使以、、三点为顶点的三角形与相似
点的坐标为，，，．
18．如图，抛物线与轴交于， 两点，与轴交点
（1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标；
（2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是：，
把代入得：，
解得：，
，
，
答：抛物线的解析式是，顶点的坐标是．
（2）线段与线段之间的数量关系是．
证明：过作轴于，过作轴于，
，，为的中点，
，，
，
，
由勾股定理得：，
过作轴于，
则，，
由勾股定理得：，
，（已求出），
．
（3）坐标轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标是，，．
19．已知：如图，抛物线的顶点坐标是，与轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，，是（1）中抛物线上的点，，垂足为，．
①求点的坐标；
②试判定以为直径的圆与轴有怎样的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
抛物线经过，
，
抛物线的解析式为，
即，
答：抛物线的解析式为．
（2）解：①在抛物线上，
设，
即 ，
，
，
，
即，
解得，
，
答：的坐标是．
②答：以为直径的圆与轴的位置关系是相切．
理由是：，，
，
，
即是直角三角形，
连接，
是的中点，
，
，
，
轴，
即圆与轴相切．
20．已知：如图，，，点的坐标为，抛物线过、、三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积；
（3）在轴上方轴左侧的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，为等腰直角三角形；
点，点，点，（1分）
设抛物线的解析式为，（1分）
，；
抛物线的解析式为．（1分）
（2），，
，；（1分）
过点作轴于点，则为等腰直角三角形；
令，则，
；（1分）
点在抛物线上，
，解得，（不合题意，舍去），
；（1分）
四边形的面积．（1分）
（3）假设存在符合条件的点．
，
轴于点，
，
在中，，
，（1分）
在中，，
，（1分）
设点的横坐标为，则，
点在轴上方轴左侧，；
（1）当时，有，
，，即，
解得（舍去），（舍去）；（1分）
当时，有，
即，
解得（舍去），；（1分）
综上可知，存在点，使与相似．（1分）