专题12二次函数中的等腰直角三角形-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

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专题12 二次函数中的等腰直角三角形

类型一 构造弦图求解
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，，，二次函数的图象经过C点，求二次函数的解析式．

【答案】y=x2-2x-2
【解析】
【分析】
过C点作x轴垂线，通过△AOB≌△CDA得出C点横纵坐标，再通过待定系数法求得b
【详解】
如图所示，

过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
在△AOB与△CDA中，
，
∴△AOB≌△CDA（ASA），
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1），
∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx-2上，
∴1=9+3b-2，
解得：b=-2，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-2．
【点睛】
本题考查三角形全等和二次函数图像性质，用方程把二者联系起来建立等式是关键．
2．如图，点是y轴正半轴上的点，点A的坐标为，以AC为边作等腰直角三角形ABC，其中，，，以点B为顶点的抛物线经过点A且和x轴交于另一点D，交y轴于点E．

（1）点B的坐标为_____________；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在求点P的坐标，不存在则说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或．设，根据列出方程，即可求解．
【解析】
【分析】
（1）作垂足为F，先证明，进而即可求解；
（2）设抛物线的函数表达式为，把代入求出a的值，进而即可求解；
（3）先求出，再求出直线AC的表达式为：，
【详解】
（1）作垂足为F，
∵，
∴∠ACO+∠BCF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCF=∠OAC，
又∵∠AOC=∠CBF=90°，，
∴，
∴，，
∴，所以点B的坐标为；

（2）设抛物线的函数表达式为，
由题意得：，解得：。
所以抛物线的函数表达式为即；
（3）由对称性得，易知，
所以，
设直线AC的表达式为：，
由题意得：，解得，，
所以直线AC的表达式为：；
如图，假设存在点P，设．作轴交AC于Q，则．

所以，，
所以，，
所以，，整理得：，
解得：，
当时，，
此时点P坐标为
当时，，此时点P坐标为
综上所述，AC上方抛物线上存在点P，使得，点P的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．

类型二 已知两定点确定第三点
3．（本题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为－4．
（1）直接写出点A的坐标　　　　　　　　，点B的坐标　　　　　　　　；
（2）求出二次函数的解析式；
（3）如图1，在平面直角坐标系xOy中找一点D，使得△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标；

试题解析：
（1）令y=0，得到0（x+1）（x﹣3）=0，∴x=-1或x=3，∴A(-1，0)，B(3，0)；
（2）∵A(-1，0)，B(3，0)，∴对称轴为x=(-1+3)÷2=1，∵顶点M的纵坐标为－4，∴顶点坐标为（1，-4），把（1，-4）代入y=a（x+1）（x﹣3），得-4=-4a，解得：a=1，∴抛物线解析式为：；
（3）在中，令x=0，得：y=-3，∴C(0，-3)，设AC的中点为F，则F(-，)，设D（x，y）为线段AC中垂线上一点，则DA=DC，∴，整理得：x=3y+4，∴D(3y+4，y)，∵△ACD为等腰直角△，且AC为斜边，∴ 2DF=AC，∴，整理得：，解得：，，∴，，∴D（1，-1）或（-2，-2）．
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴

∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
在△Q1CD与△CBO中，
∵，
∴△Q1CD≌△CBO，
∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴Q1（2，3）；
同理可得Q4（﹣2，1）；
同理可证△CBO≌△BQ2E，
∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，
∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，
∴Q2（3，1），
同理，Q3（﹣1，﹣1），
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．

【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标．


（2）在y轴上是否存在点M，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，直线AC上有一动点Q，若以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出点Q的坐标．


（4）点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，求出符合条件的点P的坐标．

【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点M坐标为（0，－1）；（3）点Q坐标为（－2，－1）或（－1，－2）；（4）点P的坐标或
【解析】
【分析】
【详解】
（1）解：∵，
∴A（－3，0），C（0，－3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）．
（2）解：如图，设M点坐标为（0，y）


∵点A坐标为（－3，0），点D坐标为（－1，－4），
则：，
，
，
I、若是等腰直角三角形，当AD为斜边时，则：，
即：，解得，
此时：，，
故当M坐标（0，－1）时，是等腰直角三角形；
II、若是等腰直角三角形，当AM为斜边时，则：，
即：，解得，
此时：，
故不存在M坐使是以AM为斜边的等腰直角三角形；
III、若是等腰直角三角形，当DM为斜边时，则：，
即：，解得，
此时：，
故不存在M坐使是以DM为斜边的等腰直角三角形；
综上所述：点M坐标为（0，－1）．
（3）解：∵，
∴，
以点P、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，有3种情况，
I．当时，则，
如图：


∴，
∴轴，
∴y＝－3时，，
解得 ，，
∴P点为（－2，－3），
∴，
∴点Q坐标为（－2，－1），
II．当时，则，
如图：


∴轴，
由I可知，P点为（－2，－3），
∴，
过Q点作QH垂直PC，
∴，
∴点Q坐标为（－1，－2），
III．当时，则，
如图：


∴轴，，
∵点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）
∴直线AC解析式为：，
∴直线QC解析式为：，
当时，，；
∴直线与抛物线交点为：（0，－3）、（－1，－4）
∴点P坐标为（－1，－4），
当时，，
∴点Q坐标为（－1，－2）；
综上所述：点Q坐标为（－2，－1）或（－1，－2）．
（4）解：I、点P在y轴右侧的抛物线上时，如图：


以等腰构造K字形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，过Q点作QG⊥PH，垂足为G，
易得：（AAS）
∴，，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴，
∴，
设，则P点坐标为（x，x）
∵P在抛物线上，即，解得：，（不合题意舍去），
此时点P坐标为
II、点P在y轴左侧的抛物线上时，如图：


以等腰构造K字形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，过Q点作QG⊥PH，垂足为G，
易得：（AAS）
∴，，
∵四边形OHGQ是矩形，
∴，
∴，
设，其中，则P点坐标为（x，－x）
∵P在抛物线上，即，解得：（不合题意舍去），，
故此时P坐标为，
综上所述：点P在x轴上方的抛物线上，点Q在y轴正半轴上，当是以AQ为斜边的等腰直角三角形时，符合条件的点P的坐标或．
6．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E．

(1)写出点A,点B的坐标；
(2)直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
(1)
解：当y=0时，有，
解之得：，
∴   A、B两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）．
(2)
解：存在．
①当∠ACF=90°，AC=FC时，如图1，
                                          
过点F作FG⊥y轴于G，
∴∠AOC=∠CGF=90°．
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，
∴∠ACO=∠CFG．
∴ △ACO≌△∠CFG，
∴ CG=AO=4．
∵ CO=2，
∴或=OG=2+4=6．
②当∠CAF=90°，AC=AF时，如图2，

过点F作FP⊥x轴于P，
∴ ∠AOC=∠APF=90°．
∵ ∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，   
∴   ∠ACO=∠FAP．
∴ △ACO≌△∠FAP，
∴ FP =AO=4．
∴ 或=FP =4．
③当∠AFC=90°，FA=FC时，如图3，

则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，
分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，
∴∠DFC=∠EFA．
∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，
∴ △CDF≌△AEF．
∴CD=AE，DF=EF．
∴ 四边形OEFD为正方形．
∴ OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD．
∴ 4=2+2•CD．∴CD=1，
∴ m=OC+CD=2+1=3．
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，
∴ ∠HF′C=∠GF′A．
∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′．
∴ △HF′C≌△GF′A．
∴ HF′=GF′，CH=AG．
∴ 四边形OHF′G为正方形．
∴
．
∴ OH=1．
∴ m=．
∵，
∴ y的最大值为．
∵ 直线l与抛物线有两个交点，
∴ m＜
∴ m可取值为m=或或3或．
综上所述，m的值为m=或或3或．
【点睛】
本题难度适中，考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形及全等三角形性质，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考．
7．已知抛物线经过点，与x轴的另一个交点为C，点A在线段上，过点A作轴于点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）以为边在其左侧作等腰直角三角形，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．
（1）把P、Q两点的坐标分别代入抛物线中，得：
解得：
所以抛物线的解析式为
（2）能
①当∠ABD=90°且AB=BD时，若点D在抛物线上，则点D与点C必重合
则BD=BC=m+3
∴m+3=-2m+6
解得m=1，符合题意
所以点D的坐标为(-3，0)
②当∠BAD=90°且AB=AD时
∵AB⊥x轴
∴AD∥x轴
若点D在抛物线上，则点D与点A的纵坐标相同
设，则AD=m−n
∴由AD=AB有：m−n=−2m+6
∴n=3m−6
∵D点在抛物线上
∴
把n=3m−6代入上式并整理得：
解得：，（舍去）
∴
当时，，
所以点D的坐标为
③当∠ADB=90°且AD=BD时，如图取AB的中点E，连接DE，则DE⊥AB，

∵A(m，−2m+6)
∴E(m，−m+3)
∴D点横坐标为m−(−m+3)=2m−3
即点D的坐标为(2m−3，−m+3)
若点D在抛物线上，则有
整理得：
解得：，（舍去）
当m=3时，2m−3=3，−m+3=0
即点D与点P重合，不合题意
综上所述，满足条件的点D能在抛物线上，且坐标为或
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，熟练并灵活运用是关键．另外要注意的是，得到△ABC面积的二次函数时，要注意字母m的取值范围；注意分类讨论．
8．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点是二次函数图象上一动点，交其对称轴于点，点关于点成中心对称，连接．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点在二次函数图象上运动，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【详解】
（1）解：∵二次函数的顶点的坐标为
∴设二次函数的关系式为
∵二次函数图像经过点
∴
∴
∴，即 ．
（2）
理由：设点，
设直线OB的解析式为，则
∴
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
∵点关于点成中心对称
∴点的坐标为
∴，
，
；
当时，，
∴或（此时B点位于顶点处，B点与E点重合，与题意不符，故舍去），
∴；
此时，，
∴；
∴此时为等腰直角三角形，
∴，其在图中的位置如下图1和图2所示；
当时，
，
∴，
∴，
∴
此时，,
∵
∴该情况不成立；
当B点在对称轴右侧且是以点B为顶点的等腰直角三角形时，如图3所示，
过B点作BM⊥x轴，垂足为M，过E点作EN∥x轴，与直线BM交于点N，
则∠OBM+∠EBN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∠EBN+∠BEN=90°，
∴∠OBM=∠BEN，∠BOM=∠EBN，
由OB=BE,
得：，
∴OM=BN，BM=EN，
∴，且
∴或6，且，（相互矛盾）
∴该情况不成立；
当B点在对称轴左侧时同理可证不存在以B点为顶点的等腰直角；
综上可得：．


【点睛】
本题属于几何中的动点问题，涉及到了一次函数、二次函数、三角函数、等腰直角三角形、勾股定理、两直线的位置关系等相关知识，考查了学生对相关知识的理解与应用；本题综合性较强，要求学生有严密的逻辑思维和全面的分析能力，蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
9．如图，已知抛物线与轴相交于A、B两点，与轴相交于点C，过点A的直线与抛物线相交于另一点D．

(1)分别求出点A、B、C的坐标；
(2)点P为抛物线上一动点，点E为直线AD上一动点，求以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时点P的坐标．
【答案】(1)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
(2)点P的坐标为（2，﹣3）或（3，0）
【解析】
【分析】
（1）令x=0，求出y，可得出点C的坐标；令y=0，求出x，可求出点A，B的坐标；
（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．
(1)
由得，
解得，
∴A（-1，0），B（3，0），
由得，
∴C（0，-3）；
(2)
存在.
设直线AD与y轴于点F，
令x=0，则y=1，
∴F（0，1）；
∴OA=OF是等腰直角三角形，
∴∠FAO=∠AFO=45°；
当△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：
①以点A为直角顶点．
如图1，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点G，

∵PA⊥AD，则△OFG为等腰直角三角形，
∴OG=1，G（0，-1），
∴直线AG的解析式为：y=-x-1，
将y=-x-1代入抛物线解析式y=x2-2x-3得，x2-2x-3=-x-1，
解得x=-1（舍）或x=2，
当x=2时，y=-x-1=-3，
∴P（2，-3）；
②如图2，以点P为直角顶点．

此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上，
过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；
因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合，
∴P（3，0）；
③如图3，以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，

由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（3，0）；
综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，-3）或（3，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．
10．如图，已知点A的坐标为（－2，0），直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2＋bx＋c，过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒）．当以MN为直角边的△QMN是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值．
解：（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点B和点C，
∴B点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，3），
∴，
∴
∴抛物线解析式为，
∵D是抛物线的顶点，
∴D的坐标为（，）；
（2）设M点的坐标为（n，）
如图所示，当∠NMQ=90°时，
∵MN∥x轴，
∴MQ⊥y轴，N点的纵坐标为
∴Q点的坐标为（n，0），
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为，
∴N点坐标为（，），
∴，，
又∵△MNQ是以MN为直角边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴Q点坐标为（，0），
∴，
∴；

当∠MNQ=90°时，设N点坐标为（，），
同理可得Q点坐标为（，0），M坐标为（，），
∴，，
同理得，
∴，
∴，
∴Q点坐标为（，0），
∴，
∴；
综上所述，当以MN为直角边的△QMN是等腰直角三角形时，t的值为或．

【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性格知识．
11．已知：二次函数的图象与x轴交于点A、，顶点为
求该二次函数的解析式；
如图，过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处若点F在这个二次函数的图象上，且是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；


【答案】（1）该二次函数的解析式为；（2）点F的坐标为；（3）满足条件的实数p，q的值为，或，．  
【解析】
【详解】
分析：（1）由二次函数y=ax2+bx+c的顶点为C（-1，-2），可设其解析式为y=a（x+1）2-2，再把B（-3，0）代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
（2）由二次函数的解析式求出A（1，0）．过点C作CH⊥x轴于点H．解直角△ACH，得出AH=2=CH，那么∠1=45°，AC=2．解等腰直角△DEF得出∠2=45°，EF=4，由∠1=∠2=45°，得到EF∥CH∥y轴．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x-1．设F（m，m2+m-）（其中m＞1），则点E（m，m-1），那么EF=（m2+m-）-（m-1）=m2-=4，解方程求出m，进而得出点F的坐标；
（3）先求出y=时x1=-4，x2=2．再根据二次函数的性质可知，当p≤x≤q时，p≤y≤，应分三种情况讨论：①p≤x≤-1；②p＜-1≤q；③-1≤p＜q．
详解：二次函数的顶点为，
可设该二次函数的解析式为，
把代入，得，
解得，
该二次函数的解析式为；
由，得或1，
．
如图，过点C作轴于点H．

，
，，
又，
，
，．
在等腰直角中，，，
，，
，
轴．
由，可得直线AC的解析式为．
由题意，设其中，则点，
，
，不合题意舍去，
点F的坐标为；