专题11二次函数中的等腰三角形-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

专题11 二次函数中的等腰三角形

类型一  在坐标轴上找点成等腰

1．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．

(1)

解：令

解得，

∴A ， B

令，得，

∴C

∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．

(2)

解：设P点的坐标为

∵，

∴，，

当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：

①当时，由题意可得

解得

∴P的坐标为；

②当时，由题意可得

解得或

∴P的坐标为或；

③当时，由题意可得

解得或（不合题意，舍去）

∴P的坐标为；

综上所述，P点的坐标为 或 或 或．

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

2．如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．

（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；

（2）在轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵二次函数的图象与轴的一个交点为，

∴，解得，

∴此二次函数关系式为：，

当时，解得，

∴点的坐标为．

（2）存在，设点P的坐标为（x，0），

由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，

①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，

∴P(9，0)或P（﹣1,0）；

②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，

∴P（﹣4,0）

③当AP=BP时，如图所示

∵OP=x，∴AP=BP=4－x

在Rt△OBP中，

∴

∴x=

∴P（，0）

综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

3．如图所示，关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

解：（1）把和代入，

解得：，，

二次函数的表达式为：．

（2）令，则，解得：或，

，

，

点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当时，，

或

，；

②当时，，

；

③当时，，

此时与重合，

；

综上所述，点的坐标为：或或或．

4．如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为．

(1)求二次函数的解析式及点的坐标；

(2)在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)，

(2)存在，点P的坐标为或

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B点坐标

（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得点P在线段的垂直平分线上，利用两点间距离公式求解即可

(1)

解：将代入，得

解得c=3

∴二次函数的解析式为

∵点是二次函数与轴的交点

所以点的横坐标为0

将x=0带入解析式中，求得y=3

所以点的坐标为

(2)

存在，满足题意的点P，使得是以为底边的等腰三角形.当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上

①当点P在y轴上时，PA=PB

设

∵，

∴

解得

此时

②当点P在x轴上时，PA=PB

设

∵，

∴

解得

此时

综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形

【点睛】

此题考察了二次函数的相关知识点，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）抛物线和坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练运用相关知识点是解题关键

类型二  在对称轴上找点成等腰

5．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A(﹣1，0)．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）求该二次函数的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴交于点D，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使NCD为等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2）；（3）存在，

【解析】

【分析】

（1）令直线y＝x+2的x＝0，y＝0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；

（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；

（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．

【详解】

（1）对直线y＝x+2，当x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝4，

∴B（4，0），C（0，2）．

（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠0），

∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），

∴y＝a（x﹣4）（x+1），

把点C（0，2）代入y＝a（x﹣4）（x+1）得：

a（0﹣4）（0+1）＝2，

解得：a＝，

∴y＝（x﹣4）（x+1）＝x2+x+2．

（3）存在，理由如下：

∵二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），

∴对称轴为直线x＝，

∴D（，0），

∵C（0，2），

∴CD＝，

①如图1，当DC＝DN时，DN＝，

∴N1（，），N2（，﹣），

②如图2，当CD＝CN3时，过点C作CH⊥DN3于点H，

∵CD＝CN3，CH⊥DN3，

∴DH＝N3H，

∵C（0，2），

∴DH＝2，

∴N3H＝2，

∴N3D＝4，

∴N3（，4），

③如图3，当N4C＝DN4时，过点C作CE⊥DN4于点E，

设DN4＝t，则EN4＝2﹣t，CE＝，

由勾股定理可知，（2﹣t）2+（）2＝t2，

解得t＝．

∴N4（，），

综上所述：存在，使△NCD是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，用到了分类讨论思想．

6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点．

(1)求，两点的坐标．

(2)求该二次函数的解析式．

(3)若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)

(3)存在，，，使是以为腰的等腰三角形

【解析】

【分析】

（1）令直线的x=0，y=0，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；

（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；

（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标．

(1)

解：对直线，当时，，时，，

，．

(2)

解：设二次函数为，

二次函数图象经过，，

，

把点代入得：

，

解得：，

．

(3)

解：二次函数图象经过，，

对称轴为，

，

，

，

如图，当时，

，

，，

如图，当时，过点作于点，

，，

，

，

，

，

，

，

综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．

【点睛】

本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可．

7．如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．

(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；

(2)如图1，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标；

(1)

解：在y=ax2-bx-3中，令x=0得y=-3，

∴B（0，-3），

∴OB=3，

∵OB=OC=3OA，

∴OA=1，OC=3，

∴A（-1，0）、C（3，0），

把A（-1，0）、C（3，0）代入y=ax2-bx-3得：

，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，

而y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴对称轴方程为x=1；

(2)

解：设M（1，m），而A（-1，0）、B（0，-3），

∴MA2=4+m2，MB2=1+（m+3）2，AB2=10，

△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，分两种情况：

①若MA=AB，则MA2=AB2，如图：

∴4+m2=10，

解得m=或m=-，

∵M是对称轴上一点且在第四象限，

∴M（1，），

②若MB=MA，则MA2=MB2，如图：

∴4+m2=1+（m+3）2，

解得m=-1，

∴M（1，-1），

综上所述，M坐标为（1，）或（1，-1）；

类型三  在抛物线上或已知直线上找点成等腰

8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

(1)

将，代入函数解析式，得

，

解得，

这个二次函数的表达式是；

(2)

，

，，

当时，①，解得，

②，解得

当时，，

，解得或（舍

当时，，

，解得或（舍，

当是等腰三角形时，的值为，，1，2．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．

9．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵，

∴，，

代入中，得，

解得，

∴该二次函数的解析式为；

（2）线段上存在点，，，使为等腰三角形.理由如下：

设点的坐标为，由题意可得，，，

①当时，，

整理得，

解得，（舍去），经检验是方程的根

当，，

此时；

②当时，，

整理得，

∵△=40，

∴，

解得，（舍去），经检验是方程的根

此时；

③当时，，

整理得，

解得，经检验是方程的根

此时；

综上所述，线段上存在点，，，

使为等腰三角形．

【点睛】

本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，构造方程是解题关键．

10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．

（1）二次函数的表达式为　   　；

（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋3得：

，

∴a＝，b＝，

∴，

故二次函数表达式为：；

（2）当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标是（0，3），

设直线BC的表达式为：y＝kx＋c（k≠0），

将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx＋c得：

，

∴，

∴直线BC的解析式为：，

使得△ABM为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：

过点M1作M1D⊥AB，

∵A（﹣1，0），B（4，0），

∴AD＝AB＝，

∴OD＝，

设M1（x，﹣x＋3），

∴M1（，），

∵△ABM为等腰三角形，

∴AB＝BM2＝5或AB＝BM3＝5，

设M2（x1，﹣x1＋3），

∴BM2＝＝5，

解得x1＝8或0，

当x1＝0时，y＝3，

当x1＝8时，y＝﹣3，

∴点M为（0，3）或（8，﹣3）或（，）；

11．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点．

（1）点的坐标为___________，点的坐标为___________；

（2）连接，在线段上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；

解（1），

当x=0时，y=-4，C（0，-4），

当y=0时，，

整理得：，

变形得：，

解得，

∴B点坐标为（8,0）；

（2）C(0,-4),B(8,0),

设BC解析式为，把C、B坐标代入得，

，

解得，

BC解析式为，

为等腰三角形，点E在线段BC上，设E（x, ）D(3,0)，

以DB为底边,作BD中垂线与BC交点为E，x=,，

E，

以BD为腰，

当BD=EB=5时BE=，

，

，舍去，

，

E（），

当ED=BD=5时点E与点C重合，E（0，-4），

为等腰三角形符合条件的点的坐标为：E（0，-4），（），；

类型四  综合探究

12．如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，与y轴负半轴交于点C．

若是等腰直角三角形，求a的值．

探究：是否存在a，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a的值；不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，或，见解析.

【解析】

【分析】

作于点E，根据是等腰直角三角形，即可求得D的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a的值．

根据三边分别相等可以分三种情况：

当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；

当时，根据勾股定理列方程：，可得a的值；

当时，由于，，不成立．

【详解】

如图，作于点E，

，

是等腰直角三角形，

，

则D的坐标是．

设二次函数的解析式是，

把代入得，

解得：．

存在，分三种情况：

当时，

，

在中，，

，

，

，

设二次函数的解析式为：，

将代入，

，

当时，

，

在中，，

，

，则，

，

，

当时，

，

是AB的中点，

而，，

，

不成立，

或．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求得D的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键．

13．综合与探究

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．

(1)求点A，B和C的坐标；

(2)点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．

(1)

解：把代入中，得．

∴点C的坐标是．

把代入中，得．

解得，．

∴点A的坐标是，点B的坐标是．

∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是．

(2)2秒，秒和秒

解：设运动时间为t，根据题意，若要构成，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为，

∴，，

如图，过点P作轴于点D，设点P的坐标为，则，，

根据勾股定理，在中，

,

，

解得，（不符合题意，舍去），

∴点P的坐标为，

∵点Q的坐标为

∴，

∵，，，

①当时，

即，

解得：；

②当时，

，

解得：，（不符合题意，舍去），

③当时，

，

解得：，（不符合题意，舍去），

综上所述：当是等腰三角形时，时间为2秒，秒，秒．

【点睛】

本题考查二次函数综合运用，包括求抛物线与x轴的坐标，一次函数的解析式，利用坐标求线段长度，等腰三角形的性质，熟悉掌握求抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标以及等腰三角形的性质本题的解题关系．