2022-2023学年北京市海淀区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市海淀区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，若（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义运算即得.

【详解】因为 ，

则 .

故选：B.

2．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项分析即得.

【详解】对于A，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；

对于B，函数定义域为R，又，所以函数为偶函数，不符合题意；

对于C，函数在为单调递减函数，不符合题意；

对于D，函数，由，所以函数为奇函数，

根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意.

故选：D.

3．某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取100人进行问卷调查.已知高一年级有270名男生，从男生中抽取了60名，则该校高一年级共有学生（    ）

A．445人 B．450人 C．520人 D．540人

【答案】B

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】设该校高一年级共有学生人，

由题可知，

解得(人).

故选：B.

4．下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【分析】根据不等式的性质确定正确答案.

【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.

B选项，若，两边平方得，所以B选项正确.

C选项，若，则，所以C选项错误.

D选项，若，如，则，所以D选项错误.

故选：B

5．某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法结合古典概型概率公式即得.

【详解】从A､B､C､D四个学习小组中随机抽取两个小组有共6种结果，

其中组和组恰有一个组被抽到的结果有共4种结果，

所以组和组恰有一个组被抽到的概率为.

故选：C.

6．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.

【详解】解：由题意，

，

在中，函数单调递增，且，

∴，

在中，函数单调递增，且当时，，

∴，

∴，

故选：A.

7．甲､乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示：

①甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大；

②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学的成绩比乙同学稳定；

④甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.

上面说法正确的是（    ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．②③

【答案】B

【分析】计算中位数，平均数，极差，估计方差，进而即得.

【详解】根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是，极差为34，

乙同学成绩的中位数是，极差为16，

所以甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大，故①正确；

甲同学的平均分是，乙同学的平均分是，

所以乙同学的平均分高，故②错误；

由茎叶图可知乙同学成绩数据比较集中，方差小，甲同学成绩数据比较分散，方差大，故③错误，④正确.

所以说法正确的是①④．

故选：B．

8．已知，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简不等式，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.

【详解】的定义域是，AB选项错误.

①，

由解得或，

画出的图象如下图所示，

由图可知，不等式①的解集为.

故选：D

9．函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.

【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的，

由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点，

即由函数在区间上没有零点，可得，

而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点，

所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件.

故选：B.

10．已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.

【详解】解：由题意

在中，对称轴

函数在上单调减，在上单调增

，

∵对于，均有成立

即对于，均有恒成立

在中，对称轴，

函数在上单调减，在上单调增

当即时，

函数在上单调减

函数在上单调减

∴

解得

当，即时，

函数在上单调减，在上单调增

函数在上单调减

∴

∴

解得

当，即时，

函数在上单调增

函数在上单调减

∴

∴

故不符题意，舍去.

当即时

函数在上单调增，

函数在上单调减，在上单调增，

∴

解得

当即时

函数在上单调增，

函数在上单调减，在上单调增，

此时，

∴符合题意

当时，

函数在上单调增

函数在上单调增

∴

此时

∴符合题意

综上，实数的取值范围是

故选：C.

【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.

二、填空题

11．函数的定义域是_____.

【答案】

【分析】直接令真数大于0可得定义域.

【详解】函数，由，得，

所以定义域为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，属于基础题.

12．已知是关于的方程的两个实根，且，则__________.

【答案】2

【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.

【详解】因为是关于的方程的两个实根，

则，又，

所以，

解得或，

经判别式检验知.

故答案为：2.

13．请阅读以下材料，并回答后面的问题：

材料1：人体成分主要由骨骼､肌肉､脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.

材料2：体重指数BMI（BodyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI为体重，单位：千克；为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI值在为正常；为超重；为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在为正常；为超重；为肥胖. 30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI值为，依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.

请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：__________.

【答案】答案见解析

【分析】根据材料结合条件分析即得.

【详解】因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大），

所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.

故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BMI值就会偏高，就不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大）.

三、双空题

14．__________，__________.

【答案】         

【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得.

【详解】，

.

故答案为：5；3.

15．已知，当时，的单调减区间为__________；若存在最小值，则实数的取值范围是__________.

【答案】         

【分析】空一：分开求解单调性；空二：分和两种情况讨论.

【详解】当时，

当时函数单调递增，

当时函数，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以函数的单调减区间为

因为函数

并且，所以函数在上单调递增，没有最小值；

，要想函数有最小值则满足即

故答案为：，

四、解答题

16．已知集合

(1)求集合中的所有整数；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解绝对值不等式求得集合，从而确定正确答案.

（2）对集合是否为空集进行分类讨论，结合求得的取值范围.

【详解】（1），所以，

所以集合中的所有整数为.

（2）由（1）得：，所以或

①时，即，

所以，符合；

②时，即，

所以，

由于，

所以，

所以.

综上，实数的取值范围是.

17．高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分.英语听说考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取得满分，就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，下表是他在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩.

假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到.

(1)设事件为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件的概率；

(2)基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据古典概型公式计算，即可求解；（2）计算出李明第二次英语听说考试取得满分的概率，然后根据题意，由独立事件的乘法公式计算李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.

【详解】（1）依题意，李明在20次英语听说模拟考试中有8次取得满分，

取得满分的频率为，

所以用频率估计事件的概率为.

（2）设事件为“李明第二次英语听说考试取得满分”，

事件为“李明高考英语听说考试取得满分”.

依题意，，

所以，

所以如果李明在第一次未取得满分时，坚持训练参加第二次考试，

那么他英语高考听说考试最终成绩为满分的概率的最大值可以达到.

18．已知且，函数在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个.

①函数为奇函数；②；③.

(1)从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得____，____；

(2)利用单调性定义证明函数在上单调递减；

(3)在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数的取值范围.

【答案】(1)①②；；

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出，；

（2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号；

（3）参变分离得到，，换元后转化为在上有唯一解，结合（2）中函数单调性，求出的值域，从而得到的取值范围.

【详解】（1）因为函数在R上是单调减函数，

故②；③不会同时成立，两者选一个，

故函数一定满足①函数为奇函数，

由于函数定义域为R，所以有，则，，

故一定满足②，

选择①②；，

，

解得：，；

（2）任取，且，

则，

由于，所以，

所以，即，

所以函数在上单调递减.

（3）由（1）可得，

所以方程为，即，

令，由于，所以，

则问题转化为在上有唯一解.

由（2）知，函数在上单调递减，

所以，

所以，实数的取值范围是.

19．设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质.

(1)记：①充分而不必要条件；

②必要而不充分条件；

③充要条件；

④既不充分也不必要条件

则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；

在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；

在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；

(2)若在满足性质，求实数的取值范围；

(3)若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值.

【答案】(1)②；①；③

(2)

(3)1

【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案.

（2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围.

（3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值.

【详解】（1）由于，所以.

对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性；

当在上单调递增时，，

所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件.

对于性质，当时，，所以在上单调递增；

当在上单调递增时，，的符合无法判断，

所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件.

对于性质，若，则，所以在上单调递增；

当在上单调递增时，，，

所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件.

（2）对于任意的，且，

有，

由于在满足性质，即，

所以，所以，

因为，所以，所以，

由于任意的，且，所以，

所以，

所以实数的取值范围是.

（3）实数的最小值为1.

理由如下：

因为在上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，

所以对任意且，有恒成立.

因为的定义域为，所以.

当时，，

所以，从而，不合题意；

当时，，

所以，从而，

要使恒成立，只需使，即恒成立，

若，则，使，这与矛盾，

当时，，恒成立，

所以的最小值为1.

【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少.