初中数学华师大版九年级上册3. 相似三角形的性质课时作业

23.3.3相似三角形的性质（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．已知，若△ABC与△DEF的对应边之比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为 （       ）

A．4∶3 B．3∶4 C．16∶9 D．9∶16

2．有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（          ）

A． B． C．21 D．28

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（　   　）

A．       B．      C．    D．

4．如图，点为△ABC的重心，则的值是（          ）．

A． B． C． D．无法确定

5．如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(        )

A． B．

C． D．

6．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（         ）

A．处 B．处 C．处 D．处

7．如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与△ABC相似时的运动时间为（          ）

A．或 B． C． D．或

8．如图，点G、F分别是△ACD的边AC、CD上的点，AD的延长线与GF的延长线相交于点B，DE∥AC交GB于点E，则下列结论错误的是（          ）

A． B． C． D．

9．如图，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC=90°，已知AC=5，AD=3，DE交AB于点P，当时，则S△AEP：S△BDP的值为（      　）

A． B． C． D．

10．如图，△OAB中，，，与轴相交于点，平分，点在双曲线上，点在双曲线上，则的值为（           ）

A． B． C． D．

二、填空题(共10个小题)

11．两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为_______．

12．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__________．

13．如图，点E是平行四边形的边上的三等分点，连结交对角线于点F．若的面积为，则的面积是_________．

14．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为______．

15．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为_________．

16．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若，则四边形AEOD的面积为___________．

17．如图，点是平行四边形的边的中点，，、相交于点，则________．

18．如图，点O是△ABC的重心，AD过点O交BC于D，BE是△ABD的中线，若△ABE的面积是2，则△ABC的面积是_______

19．如图，在△ABC中，，，点从点出发以1个单位/的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位/的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为______．

20．如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为_______cm．

三、解答题(共3个小题)

21．如图，已知是正方形的边上一点，于，求证：．

22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．

(1)当t为何值时，△PBQ的面积为9？

(2)当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？

23．如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DFAC，EFAB．

(1)求证：△BDF∽△FEC．

(2)设．

①若BC＝15，求线段BF的长；

②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．

23.3.3相似三角形的性质解析

1．

【答案】D

【详解】解：∵，△ABC与△DEF的对应边之比为3:4，

∴△ABC与△DEF的相似比为3:4，即△ABC与△DEF的面积之比为：9:16．

故选：D．

2．

【答案】D

【详解】解：设另一个直角三角形的周长为x，

∵三角形的边长分别为3，4，5，

∴周长为：3＋4＋5＝12，

∵两个三角形相似，

∴，

解得：x＝28，故D正确．

故选：D．

3．

【答案】C

【详解】解：∵DE∥BC，，

∴，△ADE∽△ABC，故B错误；

，故C正确；

，故D错误；

已有的条件不能说明，故A错误．

故选：C．

4．

【答案】C

【详解】解：如图所示，延长AG交BC于点D，

∵G点是三角形重心，

∴点D为△ABC的中点，

∴，

∵G点是三角形重心，

∴，

∴，

∴，

同理可证：,

∴，

故选：C．

5．

【答案】A

【详解】解：∵△ABC∽△ADB，

∴，

∴AB2=AC•AD．

故选：A．

6．

【答案】B

【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，

则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，

又BA=2，AC==2，BC==，，

∴，即，

∴BP=4，PD=4，

只有符合这样的要求，故P点应该在．

故选：B．

7．

【答案】A

【详解】解：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，

根据题意得： ， ，则 ，

当 ，即 时，

∴，解得： ；

当 ，即 时，

∴，解得： ，

综上所述，以点 ，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．

故选：A

8．

【答案】C

【详解】A选项正确：∵DE∥AC，

∴，

∴，

故A正确；

B选项正确：∵DE∥AC，

∴，

∴，

故B正确；

C选项错误：∵，

∴，

故C错误；

D选项正确：∵DE∥AC，

∴，

故D正确；

所以答案为：C．

9．

【答案】D

【详解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°，

∴AB=AC=5，∠ADE=∠AED=45°，AE=AD=3，

∵，

∴△AEP∽△BDP，

∴，

∵

∴∠BDP=∠AED=45°，

∵∠ADB=90°，，

∴，

∴，

故选D．

10．

【答案】D

【详解】解：△OAB中，∠OAB=90°，∠OBA=30°，

∴∠AOB=60°，，

作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC=30°，

∵∠AMO=∠BNO，

∴△AOM∽△BON，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵k＜0，

∴．

故选：D．

11．

【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，

∴相似比是：2，

∵相似三角形的周长比等于相似比，

∴这两个三角形的周长之比为：：2，

故答案为：：2．

12．

【答案】4．

【详解】∵△ABC∽△ACD，∴，

∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4．

故答案为：4．

13．

【答案】2cm2．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，AD＝BC，

∴△AFD∽△EFB．

∵点E是平行四边形ABCD的边BC上的三等分点，

∴BC：BE＝3：1，

∴AD：BE＝3：1，

∴△AFD、△EFB的相似比为3：1，

∴，

∵△ADF的面积为18cm2，

∴△BEF的面积为2cm2．

故答案为：2cm2．

14．

【答案】

【详解】解：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，

∴∠CED=90°

∵四边形PAQC是平行四边形，

∴，，

当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，

∴当P、E重合时，PD最小，

∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，

∴∠CAB=∠CED，，

又∵∠DCE=∠BCA，

∴△CED∽△CAB，

∴，即，

∴，

∴．

故答案为：．

15．

【答案】

【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=，

如图：（1）当时，

，

OA=AB=2，

b=4，

P(2，)；

（2）当时，

，

，

解得：b=9±，

P(2，3±)；

综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)．

故答案为：(2，)，(2，3±)．

16．

【答案】5

【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，

∴CD∥AB，，

∴△DOC∽△BOE，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∴，

故答案为：5．

17．

【答案】1:7

【详解】如下图，延长EF，CD，相交于H点，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∴∽,∽,

∵

∴

∵点E是AB的中点，

∴

∴

∴

∴

18．

【答案】8

【详解】解：∵BE是△ABD的中线，

∴，

∴，

∴，

∵点O是△ABC的重心，

∴是△ABC的中线，

∴，

∴，

∴，

即△ABC的面积是8．

故答案为：8．

19．

【答案】s或s

【详解】解：设运动时间为t，由题意可得：QC=2t，BQ=6-2t，BP=t，则有：

∵，，当以，，为顶点的三角形与相似时，

∴①当时，则有：

，解得：；

②当时，则有：

，解得：；

综上所述：当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为s或s；

故答案为s或s．

20．

【答案】90或30

【详解】设，

∵矩形EFGH的面积为，∴.

∵，∴△AHG∽ △ABC．

又∵AM，AD分别为与的高，∴，

即，解得，，

∴EH的长为90cm或30cm．

21．

【答案】见解析

【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，

∴∠BAF+∠DAE=90°，

∵，

∴∠AFB=∠D=90°，

∴∠BAF+∠ABF=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

∴△ADE∽△BFA，

∴，

∴AD·AB=AE·BF，

∴．

22．

【答案】(1)3s;(2)或

【详解】（1）解：由题意得，，，则．

，

由题意得，

解得，

所以运动时间为；

（2）解：若当时，．

即，

解得；

当时，．

即，

解得．

综上所述，当与相似时，的值是或．

23．

【答案】(1)证明见详解;(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×＝36

【详解】（1）证明：∵DFAC，

∴∠BFD＝∠C，

∵EFAB，

∴∠B＝∠EFC，

∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，

∴△BDF∽△FEC；

（2）解：①∵EFAB，

∴，

∴

∵BC＝15，

∴，

∴BF＝5；

②∵，

∴

∴，

∵EFAB，

∴∠CEF＝∠B，

∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B

∴△EFC∽△ABC，

∴，

∵S△EFC＝16，

∴S△ABC＝×16＝36．