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6.4平行关系 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析） 试卷
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这是一份6.4平行关系 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析），共27页。
6.4平行关系北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设α、β是两个平面，a、b是两条直线，下列推理正确的是( )
A. a//bb//α⇒a//α B. a⊂αa//βα∩β=b⇒a//b
C. a⊂αb⊂βα//β⇒a//b D. a⊂αb⊂βa//b⇒α//β
2. 已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m//α，n//β，且m//n，则α//β
③若m⊥α，n//β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n//β，且m//n，则α⊥β
其中正确的命题是 ( )
A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④
3. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1//面AMN，则线段PA1的长度范围是( )
A. [2,5]
B. [2,3]
C. [322,3]
D. [322,5]
4. 如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN//平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
5. 设平面α//平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A. 不共面
B. 当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C. 当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D. 共面
6. 已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①m⊂α,n⊂α,m//β,n//β⇒α//β；②n//m,n⊂α⇒m//α；
③α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n；④m//α,n⊂α⇒m//n．
其中正确命题的个数有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7. 已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是．( )
A. 若α // β，m⊂α，则m // β
B. 若m // α，n⊂α，则m // n
C. 若m // α，n // β，m // n，则α // β
D. 若α // β，m // α，n // β，则m // n
8. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的个数是
①若m⊥n，m⊥α，n // β，则α⊥β；
②若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α // β；
③若α // β，m // n，m // α，则n // β；
④若m // α，m⊂β，α∩β=n，则m // n．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//面MNP的图形的是( )
A. B. C. D.
10. 设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α,m//n，则n//α
B. 若m⊂α,n⊂β,m//β,n//α,，则α//β
C. m、n是两条异面直线，若m//α,m//β,n//α,n//β，则α//β．
D. 若α//β,m//α,n//m,n⊄β，则n//β
11. 如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是( )
A. 三棱锥A−D1PC的体积不变 B. A1P //平面ACD1
C. DP⊥BC1 D. 平面PDB1⊥平面ACD1
12. 如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB //面MNP的图形的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图所示，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN//平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
14. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH //平面ABCD；②PA //平面BDG；③EF //平面PBC；④FH //平面BDG；⑤EF //平面BDG．其中正确结论的序号是 ．
15. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面四边形BCC1B1内(不含边界)一点，当点P满足 时，A1P//平面AEF.(填一个满足题意的条件即可)
16. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．
其中正确说法是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
18. (本小题12.0分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，M分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1M//平面BEF;
(2)若平面A1C1M∩BC=H，求证：H为BC的中点．
19. (本小题12.0分)
如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2．
(1)当点M在何位置时，BM//平面AEF?
(2)若BM//平面AEF，判断BM与EF的位置关系，并求BM与EF所成的角的余弦值．
20. (本小题12.0分)
如图，已知四棱锥P−ABCD中，AB//CD,O,M分别是CD,PC的中点，PO⊥底面ABCD，且PO=OD=DA=AB=BC.
(1)证明：PA//平面OBM；
(2)若PO=2，求三棱锥M−PAB的体积．
21. (本小题12.0分)
如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的三等分点(M靠近B，N靠近C)；
(1)求证：MN//平面PAD．
(2)在PB上确定一点Q，使平面MNQ//平面PAD．
22. (本小题12.0分)
已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上．
(1)如图，若PM:MA=BN:ND=PQ:QD，求证：平面MNQ//平面PBC．
(2)如图，若Q满足PQ:QD=2，则M点满足什么条件时，BM//平面AQC．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质．
根据空间线面位置关系的定义，判定定理和性质进行判断．
【解答】
解：由于a//b，b//α，则a⊂α或a//α，若a⊂α，显然结论错误，所以A错误；
由于a⊂α,a//β,α∩β=b，根据线面平行的性质可知a//b，所以B正确；
由于a⊂α,b⊂β,α//β，则a//b或a,b为异面直线，故a，b不一定平行，所以C错误；
由于a⊂α,b⊂β,a//b，则α//β或α,β相交，则若α，β相交，a，b均与交线平行，显然结论不成立，所以D错误．
故选B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，属基础题，利用线面、面面平行、垂直的判定与性质定理可以证明①正确；利用线面平行的性质定理和线面垂直，面面垂直的判定定理可证④正确；举反例可以否定②③．
【解答】
解：对于①，显然α与β不平行，否则根据面面平行和线面垂直的性质定理易得m//n，与已知矛盾，设α∩β=l，设平面γ⊥l，γ∩l=O，γ∩α=a，γ∩β=b，
在γ内取一点P，作PA⊥a，垂足为A，作PB⊥b，垂足为B，则由面面垂直的性质定理可得PA⊥α，PB⊥β，又∵若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，∴PA⊥PB，
在平面四边形PAOB中有三个角为直角，∴OA⊥OB，根据二面角的定义可得平面α⊥β，故①正确；
对于②，若m//α，n//β，且m//n，α，β可以相交，故②错误；
对于③，若m⊥α，n//β，且m⊥n，α和β不一定垂直，甚至可以平行，故错误；
对于④，∵n//β，∴过n作平面γ，使之与β相交与直线l，则n//l，又∵m//n，∴m//l，∵m⊥α，∴n⊥α，又∵l⊂β，∴α⊥β，故正确．
故选C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF中点O，连接A1O，证明平面AMN//平面A1EF，从而得点P的轨迹是线段EF，由此能求出线段PA1的长度范围．
【解答】
解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF中点O，连接A1O，如图所示，
∵点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
∴AM//A1E，MN//EF，
∵AM⊄平面A1EF，A1E⊂平面A1EF，
∴AM//平面A1EF，同理，MN//平面A1EF，
∵AM∩MN=M，AM，MN⊂平面AMN，
∴平面AMN//平面A1EF，
∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1//面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
∵A1E=A1F=22+12=5，EF=12+12=2，
∴A1O⊥EF，
∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值为A1O=(5)2−(22)2=322，
当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值为A1E=A1F=5．
∴线段PA1的长度范围为[322,5].
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查线面平行、面面平行的判定和性质、函数的图象与性质.作MQ//DD1得到线面平行和面面平行，进而得到MQ，QN的长度的表达式，在直角三角形MNQ中，由勾股定理得到x，y的关系式，结合双曲线的图象得到结论．
【解答】
解：如图，过M作MQ//DD1，交AD于点Q，连接QN，
因为MQ⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，可得MQ//平面DCC1D1，
又因为MN//平面DCC1D1，MN∩MQ=M，MN⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
所以平面MNQ//平面DCC1D1．
又平面ABCD与平面MNQ和平面DCC1D1分别交于QN和DC，
所以NQ//DC，
可得QN=CD=AB=1，AQ=BN=x，
因为MQAQ=DD1AD=2，所以MQ=2x．
在Rt△MQN中，MN2=MQ2+QN2，即y2=4x2+1，
所以y2−4x2=1(x≥0,y≥1)，
所以函数y=f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面平行的性质，涉及线面垂直的性质，线面平行的判定与性质，属中档题，
做一条与直线AB异面的直线l，使l⊥平面α，根据已知，利用面面平行的性质可得直线l⊥平面β，设直线l分别与平面α、β交于点D，E，线段DE中点F，过F与l垂直的平面记作γ，连接AE，设线段AE中点M，可以通过线线平行证得MC//α，MF//α，进而得到平面MFC//平面α，得出CF//平面α，进一步得到CF⊥DE，证得CF在平面γ内，再讨论AB平行与l或者与l相交时，即可证明C在γ内．
【解答】解：如图所示，做一条与直线AB异面的直线l，使l⊥平面α，
∵平面α//平面β，∴直线l⊥平面β，
设直线l分别与平面α、β交于点D，E，线段DE中点F，
过F与l垂直的平面记作γ，
连接AE，设线段AE中点M，连接MF，MC，AD，BE，CF．
在△ADE中，FM//AD，∴直线FM//平面α，
在△AEB中，MC//BE，∴直线CM//β，
又∵α//β，∴CM//平面α，
又∵AB，CD是异面直线，
∴AD，BE是异面直线，
∴MC，MF是相交直线，
∴平面CFM//平面α，
∴CF//平面α，
∵DE⊥平面α，
∴DE⊥直线CF，
∴CF⊂平面γ，∴C∈γ．
当AB平行与l时，AB中点比在平面γ上，
当AB与了相交时，可平移为异面，点C也在平面γ内．
故不论A，B如何运动，所有的动点C都在平面内γ
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：①由m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则平面α与β可能相交，故①不正确；
②n//m，n⊂α，可能有m⊂α，则m//α不成立，可得②不正确；
③α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n或m，n异面，则③不正确；
④m//α，n⊂α⇒m//n或m，n异面，则④不正确．
综上可得，没有正确的命题．
故选：A．
由面面平行的判定定理，即可判断①的正误；运用线面平行的性质定理，即可判断②的正误；
由面面平行的判定定理和性质，即可判断③的正误；由线面的位置关系，及线面平行的性质即可判断④的正误．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面，平面与平面位置关系的判定，属于基础题．
根据线面平行，面面平行的判定和性质逐项进行求解即可．
【解答】
解：选项A，若α // β，m⊂α，则m与β没有公共点，m//β，故A正确；
选项B，若m // α，n⊂α，则m//n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m // α，n // β，m // n，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若α // β，m // α，n // β，则m // n，或m，n异面，m，n相交，故D错误．
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查线面平行，面面平行的性质定理、判定定理，属于中档题．
依据线面平行，面面平行的性质定理，判定定理去逐一判定，也可举出反例．
【解答】
解：对于①，若m⊥α,n//β,m⊥n，α与β可能平行，也可能相交，故①错误；
对于②，若三点在平面β的两侧，则平面α与平面β相交，故②错误；
对于③，若α // β，m // n，m // α，则n // β或n⊂β，故③错误；
对于④，若m // α，m⊂β，α∩β=n，则m // n，故④正确．
故正确的只有1个．
故选B．
9.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属于中档题．
利用线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于A，如图1，因为M，N，P分别为所在棱的中点，∴MN//AC，又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN//平面ABCD，同理可得NP//平面ABCD，
又MN∩NP=N，MN⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，
∴平面MNP//平面ABCD，又∵AB⊂平面ABCD，∴AB//平面MNP，故A正确；
对于B，如图2，若AB//平面MNP，∵AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面MNP=NO，则AB//NO，又∵N为AE中点，∴O为BE中点，这与正方形中M，P分别为所在边的中点矛盾，∴AB//平面MNP不成立，故B错误；
对于C，如图3，由正方体性质可得AB//FG，∵M，P分别为所在棱的中点，∴MP//FG，∴AB//MP，又∵AB⊄平面MNP，MN⊂平面MNP，∴AB//平面MNP，故C正确；
对于D，如图4，设Q为所在棱中点，连接PQ，∵P为所在棱中点，∴AB//PQ．
若AB//平面MNP，且PQ与平面MNP有公共点，∴PQ⊂平面MNP，
又∵平面MNP即为平面MNHR，显然点Q∉平面MNHR，这与PQ⊂平面MNP矛盾，∴AB//平面MNP不成立，故D错误．
故选：AC．
10.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定、性质的应用，属中档题．
根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可．
【解答】
解：m//α,m//n，则可能n//α，也可能n⊂α，A错误；
若α,β相交，当m，n都平行于交线时，满足条件，故B错误；
若m//α,m//β,n//α,n//β，m、n是两条异面直线，过m，n的平面分别与α相交于a，b，则a，b必相交，由线面平行的性质定理知：a//m，b//n，
又m//β,n//β，则a//β,b//β，利用面面平行的判定定理知α//β，C正确；
由α//β,m//α，可得m⊂β或m//β，①若m⊂β，结合条件n//m,n⊄β，可得n//β；
②若m//β，又n//m，则n//β或n⊂β，而条件中n⊄β，则n//β．
若α//β,m//α,n//m,n⊄β，则n//β，可得D正确．
故选CD．
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】
解：对于A，由题意知AD1//BC1，AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C，
从而BC1//平面AD1C，
故BC 1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面的三棱锥P−AD1C，即三棱锥A−D1PC的体积不变，
故A正确；
对于B，连接A1B，A1C1，则A1C1//AC，
又AC⊂平面AD1C，A1C1⊄平面AD1C，
∴A1C1//平面AD1C，
由A知：BC1//平面AD1C，BC1∩A1C1=C1，
∴平面BA1C1//平面ACD1，
又A1P⊂平面BA1C1，
∴A1P//平面ACD1．
故B正确；
对于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，
则BC1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，
故C错误；
对于D，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥平面ACD1，
又DB1⊂平面PDB1，
∴平面PDB1⊥平面ACD1，
故D正确．
故选ABD．
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属中档题．
利用线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，逐一判定各选项即可．
【解答】
解：
对于A，如图1，因为M，N，P分别为所在棱的中点，所以MN//AC，又MN⊄平面ACBD，AC⊂平面ACBD，所以MN//平面ACBD，同理可得NP//平面ACBD，又MN∩NP=N，MN⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，所以平面MNP//平面ACBD，又因为AB⊂平面ACBD，所以AB//平面MNP，故A正确；
对于B，如图2，若AB//平面MNP，因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面MNP=NO，则AB//NO，又因为N为AE中点，所以O为BE中点，这与正方形中M，P分别为所在边的中点矛盾，所以AB//平面MNP不成立，故B错误；
对于C，如图3，由正方体性质可得AB//FG，因为M，P分别为所在棱的中点，所以MP//FG，所以AB//MP，又因为AB⊄平面MNP，MP⊂平面MNP，所以AB//平面MNP，故C正确；
对于D，如图4，若AB//平面MNP，设Q为所在棱中点，连接PQ，因为P为所在棱中点，所以AB//PQ，AB//平面MNP，且PQ与平面MNP有公共点，所以PQ⊂平面MNP，又因为平面MNP即为平面MNRH，显然点Q不在平面MNRH内，这与PQ⊂平面MNP矛盾，所以AB//平面MNP不成立，故D错误．
故选：AC．
13.【答案】点M在线段FH上(或点M与点H重合)
【解析】
【分析】
本题主要考查线面平行的证明，涉及到面面平行的判定，面面平行的性质，属于基础题．
连接HN，FH，FN，可得平面FHN//平面B1BDD1，根据面面平行的性质，即可得解．
【解答】
解：连接HN，FH，FN，
则FH//DD1，HN//BD，
∴平面FHN//平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN⊂平面FHN，
∴MN//平面B1BDD1．
故M只需满足条件点M在线段FH上时，有MN//平面B1BDD1．
14.【答案】①②③④
【解析】
【分析】
本题考查平面图形的翻折，考查线面、面面间的位置关系，属于中档题．
把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理逐一判断即可．
【解答】
解：把图形还原为一个四棱锥，如图所示，
①因为E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B，根据三角形中位线的性质，
可得EH//AB，
∵EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴EH//平面ABCD，
同理可得GH//平面ABCD，
又EH∩GH=H，EH，GH⊂平面EFGH，
∴平面EFGH//平面ABCD，正确；
②连接AC，BD，交于点O，则O为AC中点，连接OG，G为PC中点，
∵OG//PA，又OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，
∴PA//平面BDG，正确；
③EF//AD//BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴直线EF//平面PBC，正确；
④FH//BD，BD⊂平面BDG，
FH⊄平面BDG，∴FH//平面BDG，正确；
⑤EF//GH，GH与平面BDG相交，
故EF与平面BDG相交，不正确．
故正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
15.【答案】P在线段MN上(M,N分别为棱BB1,B1C1的中点，不含端点)
【解析】
【分析】
本题考查空间中线面平行及轨迹问题，面面平行的判定以及性质，属于中档题．
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，因为P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，所以P必在线段MN上(不含端点)．
【解答】
解：如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，A1M、A1N，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，
∴MN//BC1，EF//BC1，
∴MN//EF，
又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN//平面AEF
∵AA1//NE，AA1=NE，
∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N//AE，
又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A1N//平面AEF，
又A1N∩MN=N，A1N、MN⊂平面A1MN，
∴平面A1MN//平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，
∴P必在线段MN上(不含端点)．
16.【答案】①③④
【解析】
【分析】
本题是中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．
①由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD//EH//FG//BC，且平面AEFB//平面DHGC，由此分析可得结论正确；
②水面四边形EFGH的面积是改变的；
③利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．
【解答】
解：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，
在倾斜的过程中，始终有AD//EH//FG//BC，且平面AEFB//平面DHGC，
故水的形状成棱柱形，故①正确；
水面四边形EFGH的面积是改变的，因为EF是变化的，而EH是不变的，所以四边形EFGH的面积是改变的，故②错误；
因为A1D1//AD//CB//EH，A1D1⊄水面EFGH，EH⊂水面EFGH，
所以A1D1//水面EFGH正确，故③正确；
由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，
即当E∈AA1时，AE+BF是定值．故④正确．
故答案为①③④．
17.【答案】解：(1)结论：BC//l．
证明：∵AD//BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC//平面PAD．
又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
∴BC//l．
(2)结论：MN//平面PAD．
证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，
则NQ//PD，MQ//AD，
∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴NQ//平面PAD．
同理可得MQ//平面PAD．
又∵NQ∩MQ=Q，NQ，MQ⊂平面MNQ，
∴平面MNQ//平面PAD．
又∵MN⊂平面MNQ，
∴MN//平面PAD．
【解析】本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属基础题．
(1)利用线面平行的判定定理可得BC//平面PAD，利用线面平行的性质定理可得BC//l;
(2)取CD的中点Q，连结NQ，MQ，利用面面平行的判定定理可得平面MNQ//平面PAD，然后根据面面平行的性质可得MN//平面PAD．
18.【答案】证明：(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF//A1C1，
∵A1C1⊂ 平面A1C1M，EF⊄平面A1C1M，∴EF//平面A1C1M.
∵F，M分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F=BM，又∵A1F//BM，
∴四边形A1MBF为平行四边形，则BF//A1M，
∵A1M⊂平面A1C1M，BF⊄平面A1C1M，
∴BF//平面A1C1M.
又EF∩BF=F，BF，EF⊂平面BEF，
∴平面A1C1M//平面BEF．
(2)∵平面A1C1M与平面ABC有公共点M，平面A1C1M∩BC=H，
∴平面A1C1M∩平面ABC=MH．
∵平面ABC//平面A1B1C1，平面A1C1M∩平面A1B1C1=A1C1，
∴A1C1//MH，
又A1C1//AC，
∴MH//AC，
∵M为AB的中点，
∴H为BC的中点．
【解析】本题考查平面与平面平行的判定，考查面面平行的性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
(1)由已知可得EF//A1C1，得到EF//平面A1C1M，同理得到BF//平面A1C1M，再由面面平行的判定可得平面A1C1M//平面BEF；
(2)由平面与平面平行的性质得A1C1 // MH，则MH//AC，由M为AB的中点，可得H为BC的中点．
19.【答案】解：(1)方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M．
因为EC⊥AC，OM，EC⊂平面ACC1A1，
所以OM // EC．
又因为EC=2FB=2，EC // FB，O为AE的中点，
所以OM // FB且OM=12EC=FB，
所以四边形OMBF为平行四边形，
所以BM // OF，
因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，
故BM //平面AEF，
此时点M为AC的中点．
方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ．
因为EC=2FB=2，
所以PE // BF且PE=BF，
所以四边形PEFB为平行四边形，
所以PB //EF，
又因为P，Q分别为EC，AC的中点，
所以PQ //AE，
又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ //平面AEF，PB //平面AEF，
因为PB∩PQ=P，PB，PQ⊂平面PBQ，
所以平面PBQ //平面AEF．
又因为BQ⊂平面PBQ，
所以BQ //平面AEF．
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．
(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角，
易求AF=EF=5，MB=OF=3，OF⊥AE，
所以cos∠OFE=OFEF=35=155，
所以BM与EF所成的角的余弦值为155．
【解析】本题考查了线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质、异面直线所成角的相关知识．
(1)方法一：取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M，证明BM // OF，进而可得答案；
方法二：取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，证明平面PBQ //平面AEF，即可得到答案；
(2)根据(1)得出BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角，求解即可．
20.【答案】解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，O是CD中点，M是PC的中点，
∴OM是△CPD的中位线，即OM//PD，
又PD⊂平面PAD，OM⊄平面PAD，∴OM//平面PAD，
∵AB//CD且AB=DO，
∴四边形ABOD是平行四边形，有OB//AD，
∵AD⊂平面PAD，OB⊄平面PAD，∴OB//平面PAD，
又OM⋂OB=O，OM，OB⊂平面OBM
∴平面OBM//平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
∴PA//平面OBM．
(2)连结MA，AC，由AB=BC=CO=OB=2，
∴△ABC的面积S△ABC=3，又PO=2，
∴三棱锥P−ABC的体积为VP−ABC=13×S△ABC×2=13×3×2=233，
VM−ABC=12×VP−ABC=33．
故三棱锥M−PAB的体积为：
VM−PAB=VP−MAB=VP−ABC−VM−ABC=233−33=33．
【解析】本题考查两大点：①应用线面平行、平行四边形的判定及性质证线面平行，再由面面平行的判定和性质证线面平行，②“分割法”求体积，将三棱锥分割为两个棱锥，再由棱锥的组合关系结合棱锥的体积公式求体积，属于中档题．
(1)由中位线性质、线面平行的判定有OM//平面PAD，由平行四边形的判定及性质有OB//AD，结合线面平行的判定有OB//平面PAD，根据面面平行的判定和性质可证PA//平面OBM．
(2)由几何体的组合关系有VM−PAB=VP−MAB=VP−ABC−VM−ABC，结合三棱锥体积的求法求三棱锥M−PAB的体积．
21.【答案】解：(1)取PD的三等分点(靠近D点)E，如图，连接EN，AE，
∵N是PC的三等分点，E是PD的三等分点，
∴EN//DC，EN=23DC
∵M是AB的三等分点，
∴AM=23DC．
又AM//DC，
∴NE//AM，NE=AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN//AE，
∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴MN//平面PAD．
(2)方法一：如图，连接MQ，NQ．
若平面MNQ//平面PAD，
且平面MNQ∩平面PAB=MQ，平面PAD∩平面PAB=PA，
则MQ//PA，
∵M是AB的三等分点，
∴Q是PB的三等分点，
即当Q为PB的三等分点时，平面MNQ//平面PAD．
方法二：当Q为PB的三等分点(靠近B点)时，平面MNQ//平面PAD．
证明如下：如图，连接MQ，NQ．
∵N是PC的三等分点，Q是PB的三等分点，
∴QN//BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，∴QN//AD，
∵QN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴QN//平面PAD，
∵M是AB的三等分点，Q是PB的三等分点，
∴QM//PA，
∵QM⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴QM//平面PAD，
∵QM⊂平面MNQ，QN⊂平面MNQ，QM∩QN=Q，
∴平面MNQ//平面PAD．
【解析】本题主要考查线面平行，面面平行的判定，是高考中常见的题型，属于中等题．
(1)取PD的三等分点(靠近D点)E，然后证明NE//AM,NE=AM，得到AE//MN，即证；
(2)由平面MNQ//平面PAD，得到MQ//PA，所以Q也是PB的三等分点．
22.【答案】证明：(1)∵PM:MA=PQ:QD，∴MQ//AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴MQ//BC，
∵MQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴MQ//平面PBC，
又BN:ND=PQ:QD，∴QN//PB，
∵QN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴QN//平面PBC，
∵MQ∩QN=Q，MQ、QN⊂平面MNQ，∴平面MNQ//平面PBC；
(2)设BD、AC于点O，连接OQ，取PQ中点E，连结ME、BE，
∵PQ:QD=2且E为PQ的中点，∴PE=EQ=QD，∴Q为DE的中点，
又∵点O为BD的中点，∴BE//OQ，
∵BE⊄平面AQC，OQ⊂平面AQC，∴BE//平面AQC，
同理，ME//平面AQC．
∵BE∩ME=E，BE、ME⊂平面BME，∴平面BME//平面AQC，
∵BM⊂平面BME，∴BM//平面AQC．
【解析】本题考查线面平行的判定，面面平行的判定，考查推理能力，属于中档题．
(1)由面面平行的判定定理进行证明即可；
(2)设BD、AC于点O，连接OQ，取PQ中点E，连结ME、BE，再由线面平行的判定定理及面面平行的性质进行证明即可．
6.4平行关系北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设α、β是两个平面，a、b是两条直线，下列推理正确的是( )
A. a//bb//α⇒a//α B. a⊂αa//βα∩β=b⇒a//b
C. a⊂αb⊂βα//β⇒a//b D. a⊂αb⊂βa//b⇒α//β
2. 已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m//α，n//β，且m//n，则α//β
③若m⊥α，n//β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n//β，且m//n，则α⊥β
其中正确的命题是 ( )
A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④
3. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1//面AMN，则线段PA1的长度范围是( )
A. [2,5]
B. [2,3]
C. [322,3]
D. [322,5]
4. 如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN//平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
5. 设平面α//平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A. 不共面
B. 当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C. 当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D. 共面
6. 已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①m⊂α,n⊂α,m//β,n//β⇒α//β；②n//m,n⊂α⇒m//α；
③α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n；④m//α,n⊂α⇒m//n．
其中正确命题的个数有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7. 已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是．( )
A. 若α // β，m⊂α，则m // β
B. 若m // α，n⊂α，则m // n
C. 若m // α，n // β，m // n，则α // β
D. 若α // β，m // α，n // β，则m // n
8. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的个数是
①若m⊥n，m⊥α，n // β，则α⊥β；
②若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α // β；
③若α // β，m // n，m // α，则n // β；
④若m // α，m⊂β，α∩β=n，则m // n．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//面MNP的图形的是( )
A. B. C. D.
10. 设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α,m//n，则n//α
B. 若m⊂α,n⊂β,m//β,n//α,，则α//β
C. m、n是两条异面直线，若m//α,m//β,n//α,n//β，则α//β．
D. 若α//β,m//α,n//m,n⊄β，则n//β
11. 如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是( )
A. 三棱锥A−D1PC的体积不变 B. A1P //平面ACD1
C. DP⊥BC1 D. 平面PDB1⊥平面ACD1
12. 如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB //面MNP的图形的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图所示，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN//平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
14. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH //平面ABCD；②PA //平面BDG；③EF //平面PBC；④FH //平面BDG；⑤EF //平面BDG．其中正确结论的序号是 ．
15. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面四边形BCC1B1内(不含边界)一点，当点P满足 时，A1P//平面AEF.(填一个满足题意的条件即可)
16. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．
其中正确说法是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
18. (本小题12.0分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，M分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1M//平面BEF;
(2)若平面A1C1M∩BC=H，求证：H为BC的中点．
19. (本小题12.0分)
如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2．
(1)当点M在何位置时，BM//平面AEF?
(2)若BM//平面AEF，判断BM与EF的位置关系，并求BM与EF所成的角的余弦值．
20. (本小题12.0分)
如图，已知四棱锥P−ABCD中，AB//CD,O,M分别是CD,PC的中点，PO⊥底面ABCD，且PO=OD=DA=AB=BC.
(1)证明：PA//平面OBM；
(2)若PO=2，求三棱锥M−PAB的体积．
21. (本小题12.0分)
如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的三等分点(M靠近B，N靠近C)；
(1)求证：MN//平面PAD．
(2)在PB上确定一点Q，使平面MNQ//平面PAD．
22. (本小题12.0分)
已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上．
(1)如图，若PM:MA=BN:ND=PQ:QD，求证：平面MNQ//平面PBC．
(2)如图，若Q满足PQ:QD=2，则M点满足什么条件时，BM//平面AQC．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质．
根据空间线面位置关系的定义，判定定理和性质进行判断．
【解答】
解：由于a//b，b//α，则a⊂α或a//α，若a⊂α，显然结论错误，所以A错误；
由于a⊂α,a//β,α∩β=b，根据线面平行的性质可知a//b，所以B正确；
由于a⊂α,b⊂β,α//β，则a//b或a,b为异面直线，故a，b不一定平行，所以C错误；
由于a⊂α,b⊂β,a//b，则α//β或α,β相交，则若α，β相交，a，b均与交线平行，显然结论不成立，所以D错误．
故选B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，属基础题，利用线面、面面平行、垂直的判定与性质定理可以证明①正确；利用线面平行的性质定理和线面垂直，面面垂直的判定定理可证④正确；举反例可以否定②③．
【解答】
解：对于①，显然α与β不平行，否则根据面面平行和线面垂直的性质定理易得m//n，与已知矛盾，设α∩β=l，设平面γ⊥l，γ∩l=O，γ∩α=a，γ∩β=b，
在γ内取一点P，作PA⊥a，垂足为A，作PB⊥b，垂足为B，则由面面垂直的性质定理可得PA⊥α，PB⊥β，又∵若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，∴PA⊥PB，
在平面四边形PAOB中有三个角为直角，∴OA⊥OB，根据二面角的定义可得平面α⊥β，故①正确；
对于②，若m//α，n//β，且m//n，α，β可以相交，故②错误；
对于③，若m⊥α，n//β，且m⊥n，α和β不一定垂直，甚至可以平行，故错误；
对于④，∵n//β，∴过n作平面γ，使之与β相交与直线l，则n//l，又∵m//n，∴m//l，∵m⊥α，∴n⊥α，又∵l⊂β，∴α⊥β，故正确．
故选C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF中点O，连接A1O，证明平面AMN//平面A1EF，从而得点P的轨迹是线段EF，由此能求出线段PA1的长度范围．
【解答】
解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF中点O，连接A1O，如图所示，
∵点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
∴AM//A1E，MN//EF，
∵AM⊄平面A1EF，A1E⊂平面A1EF，
∴AM//平面A1EF，同理，MN//平面A1EF，
∵AM∩MN=M，AM，MN⊂平面AMN，
∴平面AMN//平面A1EF，
∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1//面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
∵A1E=A1F=22+12=5，EF=12+12=2，
∴A1O⊥EF，
∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值为A1O=(5)2−(22)2=322，
当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值为A1E=A1F=5．
∴线段PA1的长度范围为[322,5].
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查线面平行、面面平行的判定和性质、函数的图象与性质.作MQ//DD1得到线面平行和面面平行，进而得到MQ，QN的长度的表达式，在直角三角形MNQ中，由勾股定理得到x，y的关系式，结合双曲线的图象得到结论．
【解答】
解：如图，过M作MQ//DD1，交AD于点Q，连接QN，
因为MQ⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，可得MQ//平面DCC1D1，
又因为MN//平面DCC1D1，MN∩MQ=M，MN⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，
所以平面MNQ//平面DCC1D1．
又平面ABCD与平面MNQ和平面DCC1D1分别交于QN和DC，
所以NQ//DC，
可得QN=CD=AB=1，AQ=BN=x，
因为MQAQ=DD1AD=2，所以MQ=2x．
在Rt△MQN中，MN2=MQ2+QN2，即y2=4x2+1，
所以y2−4x2=1(x≥0,y≥1)，
所以函数y=f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面平行的性质，涉及线面垂直的性质，线面平行的判定与性质，属中档题，
做一条与直线AB异面的直线l，使l⊥平面α，根据已知，利用面面平行的性质可得直线l⊥平面β，设直线l分别与平面α、β交于点D，E，线段DE中点F，过F与l垂直的平面记作γ，连接AE，设线段AE中点M，可以通过线线平行证得MC//α，MF//α，进而得到平面MFC//平面α，得出CF//平面α，进一步得到CF⊥DE，证得CF在平面γ内，再讨论AB平行与l或者与l相交时，即可证明C在γ内．
【解答】解：如图所示，做一条与直线AB异面的直线l，使l⊥平面α，
∵平面α//平面β，∴直线l⊥平面β，
设直线l分别与平面α、β交于点D，E，线段DE中点F，
过F与l垂直的平面记作γ，
连接AE，设线段AE中点M，连接MF，MC，AD，BE，CF．
在△ADE中，FM//AD，∴直线FM//平面α，
在△AEB中，MC//BE，∴直线CM//β，
又∵α//β，∴CM//平面α，
又∵AB，CD是异面直线，
∴AD，BE是异面直线，
∴MC，MF是相交直线，
∴平面CFM//平面α，
∴CF//平面α，
∵DE⊥平面α，
∴DE⊥直线CF，
∴CF⊂平面γ，∴C∈γ．
当AB平行与l时，AB中点比在平面γ上，
当AB与了相交时，可平移为异面，点C也在平面γ内．
故不论A，B如何运动，所有的动点C都在平面内γ
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：①由m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则平面α与β可能相交，故①不正确；
②n//m，n⊂α，可能有m⊂α，则m//α不成立，可得②不正确；
③α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n或m，n异面，则③不正确；
④m//α，n⊂α⇒m//n或m，n异面，则④不正确．
综上可得，没有正确的命题．
故选：A．
由面面平行的判定定理，即可判断①的正误；运用线面平行的性质定理，即可判断②的正误；
由面面平行的判定定理和性质，即可判断③的正误；由线面的位置关系，及线面平行的性质即可判断④的正误．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面，平面与平面位置关系的判定，属于基础题．
根据线面平行，面面平行的判定和性质逐项进行求解即可．
【解答】
解：选项A，若α // β，m⊂α，则m与β没有公共点，m//β，故A正确；
选项B，若m // α，n⊂α，则m//n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m // α，n // β，m // n，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若α // β，m // α，n // β，则m // n，或m，n异面，m，n相交，故D错误．
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查线面平行，面面平行的性质定理、判定定理，属于中档题．
依据线面平行，面面平行的性质定理，判定定理去逐一判定，也可举出反例．
【解答】
解：对于①，若m⊥α,n//β,m⊥n，α与β可能平行，也可能相交，故①错误；
对于②，若三点在平面β的两侧，则平面α与平面β相交，故②错误；
对于③，若α // β，m // n，m // α，则n // β或n⊂β，故③错误；
对于④，若m // α，m⊂β，α∩β=n，则m // n，故④正确．
故正确的只有1个．
故选B．
9.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属于中档题．
利用线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于A，如图1，因为M，N，P分别为所在棱的中点，∴MN//AC，又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN//平面ABCD，同理可得NP//平面ABCD，
又MN∩NP=N，MN⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，
∴平面MNP//平面ABCD，又∵AB⊂平面ABCD，∴AB//平面MNP，故A正确；
对于B，如图2，若AB//平面MNP，∵AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面MNP=NO，则AB//NO，又∵N为AE中点，∴O为BE中点，这与正方形中M，P分别为所在边的中点矛盾，∴AB//平面MNP不成立，故B错误；
对于C，如图3，由正方体性质可得AB//FG，∵M，P分别为所在棱的中点，∴MP//FG，∴AB//MP，又∵AB⊄平面MNP，MN⊂平面MNP，∴AB//平面MNP，故C正确；
对于D，如图4，设Q为所在棱中点，连接PQ，∵P为所在棱中点，∴AB//PQ．
若AB//平面MNP，且PQ与平面MNP有公共点，∴PQ⊂平面MNP，
又∵平面MNP即为平面MNHR，显然点Q∉平面MNHR，这与PQ⊂平面MNP矛盾，∴AB//平面MNP不成立，故D错误．
故选：AC．
10.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定、性质的应用，属中档题．
根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可．
【解答】
解：m//α,m//n，则可能n//α，也可能n⊂α，A错误；
若α,β相交，当m，n都平行于交线时，满足条件，故B错误；
若m//α,m//β,n//α,n//β，m、n是两条异面直线，过m，n的平面分别与α相交于a，b，则a，b必相交，由线面平行的性质定理知：a//m，b//n，
又m//β,n//β，则a//β,b//β，利用面面平行的判定定理知α//β，C正确；
由α//β,m//α，可得m⊂β或m//β，①若m⊂β，结合条件n//m,n⊄β，可得n//β；
②若m//β，又n//m，则n//β或n⊂β，而条件中n⊄β，则n//β．
若α//β,m//α,n//m,n⊄β，则n//β，可得D正确．
故选CD．
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】
解：对于A，由题意知AD1//BC1，AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C，
从而BC1//平面AD1C，
故BC 1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面的三棱锥P−AD1C，即三棱锥A−D1PC的体积不变，
故A正确；
对于B，连接A1B，A1C1，则A1C1//AC，
又AC⊂平面AD1C，A1C1⊄平面AD1C，
∴A1C1//平面AD1C，
由A知：BC1//平面AD1C，BC1∩A1C1=C1，
∴平面BA1C1//平面ACD1，
又A1P⊂平面BA1C1，
∴A1P//平面ACD1．
故B正确；
对于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，
则BC1⊥PC，则P为BC1中点，与P为动点矛盾，
故C错误；
对于D，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥平面ACD1，
又DB1⊂平面PDB1，
∴平面PDB1⊥平面ACD1，
故D正确．
故选ABD．
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属中档题．
利用线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，逐一判定各选项即可．
【解答】
解：
对于A，如图1，因为M，N，P分别为所在棱的中点，所以MN//AC，又MN⊄平面ACBD，AC⊂平面ACBD，所以MN//平面ACBD，同理可得NP//平面ACBD，又MN∩NP=N，MN⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，所以平面MNP//平面ACBD，又因为AB⊂平面ACBD，所以AB//平面MNP，故A正确；
对于B，如图2，若AB//平面MNP，因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面MNP=NO，则AB//NO，又因为N为AE中点，所以O为BE中点，这与正方形中M，P分别为所在边的中点矛盾，所以AB//平面MNP不成立，故B错误；
对于C，如图3，由正方体性质可得AB//FG，因为M，P分别为所在棱的中点，所以MP//FG，所以AB//MP，又因为AB⊄平面MNP，MP⊂平面MNP，所以AB//平面MNP，故C正确；
对于D，如图4，若AB//平面MNP，设Q为所在棱中点，连接PQ，因为P为所在棱中点，所以AB//PQ，AB//平面MNP，且PQ与平面MNP有公共点，所以PQ⊂平面MNP，又因为平面MNP即为平面MNRH，显然点Q不在平面MNRH内，这与PQ⊂平面MNP矛盾，所以AB//平面MNP不成立，故D错误．
故选：AC．
13.【答案】点M在线段FH上(或点M与点H重合)
【解析】
【分析】
本题主要考查线面平行的证明，涉及到面面平行的判定，面面平行的性质，属于基础题．
连接HN，FH，FN，可得平面FHN//平面B1BDD1，根据面面平行的性质，即可得解．
【解答】
解：连接HN，FH，FN，
则FH//DD1，HN//BD，
∴平面FHN//平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN⊂平面FHN，
∴MN//平面B1BDD1．
故M只需满足条件点M在线段FH上时，有MN//平面B1BDD1．
14.【答案】①②③④
【解析】
【分析】
本题考查平面图形的翻折，考查线面、面面间的位置关系，属于中档题．
把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理逐一判断即可．
【解答】
解：把图形还原为一个四棱锥，如图所示，
①因为E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B，根据三角形中位线的性质，
可得EH//AB，
∵EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴EH//平面ABCD，
同理可得GH//平面ABCD，
又EH∩GH=H，EH，GH⊂平面EFGH，
∴平面EFGH//平面ABCD，正确；
②连接AC，BD，交于点O，则O为AC中点，连接OG，G为PC中点，
∵OG//PA，又OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，
∴PA//平面BDG，正确；
③EF//AD//BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴直线EF//平面PBC，正确；
④FH//BD，BD⊂平面BDG，
FH⊄平面BDG，∴FH//平面BDG，正确；
⑤EF//GH，GH与平面BDG相交，
故EF与平面BDG相交，不正确．
故正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
15.【答案】P在线段MN上(M,N分别为棱BB1,B1C1的中点，不含端点)
【解析】
【分析】
本题考查空间中线面平行及轨迹问题，面面平行的判定以及性质，属于中档题．
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，因为P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，所以P必在线段MN上(不含端点)．
【解答】
解：如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，A1M、A1N，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，
∴MN//BC1，EF//BC1，
∴MN//EF，
又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN//平面AEF
∵AA1//NE，AA1=NE，
∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N//AE，
又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A1N//平面AEF，
又A1N∩MN=N，A1N、MN⊂平面A1MN，
∴平面A1MN//平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，
∴P必在线段MN上(不含端点)．
16.【答案】①③④
【解析】
【分析】
本题是中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．
①由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD//EH//FG//BC，且平面AEFB//平面DHGC，由此分析可得结论正确；
②水面四边形EFGH的面积是改变的；
③利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．
【解答】
解：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，
在倾斜的过程中，始终有AD//EH//FG//BC，且平面AEFB//平面DHGC，
故水的形状成棱柱形，故①正确；
水面四边形EFGH的面积是改变的，因为EF是变化的，而EH是不变的，所以四边形EFGH的面积是改变的，故②错误；
因为A1D1//AD//CB//EH，A1D1⊄水面EFGH，EH⊂水面EFGH，
所以A1D1//水面EFGH正确，故③正确；
由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，
即当E∈AA1时，AE+BF是定值．故④正确．
故答案为①③④．
17.【答案】解：(1)结论：BC//l．
证明：∵AD//BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC//平面PAD．
又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
∴BC//l．
(2)结论：MN//平面PAD．
证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，
则NQ//PD，MQ//AD，
∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴NQ//平面PAD．
同理可得MQ//平面PAD．
又∵NQ∩MQ=Q，NQ，MQ⊂平面MNQ，
∴平面MNQ//平面PAD．
又∵MN⊂平面MNQ，
∴MN//平面PAD．
【解析】本题考查线面平行的判定与性质，面面平行的判定与性质，属基础题．
(1)利用线面平行的判定定理可得BC//平面PAD，利用线面平行的性质定理可得BC//l;
(2)取CD的中点Q，连结NQ，MQ，利用面面平行的判定定理可得平面MNQ//平面PAD，然后根据面面平行的性质可得MN//平面PAD．
18.【答案】证明：(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF//A1C1，
∵A1C1⊂ 平面A1C1M，EF⊄平面A1C1M，∴EF//平面A1C1M.
∵F，M分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F=BM，又∵A1F//BM，
∴四边形A1MBF为平行四边形，则BF//A1M，
∵A1M⊂平面A1C1M，BF⊄平面A1C1M，
∴BF//平面A1C1M.
又EF∩BF=F，BF，EF⊂平面BEF，
∴平面A1C1M//平面BEF．
(2)∵平面A1C1M与平面ABC有公共点M，平面A1C1M∩BC=H，
∴平面A1C1M∩平面ABC=MH．
∵平面ABC//平面A1B1C1，平面A1C1M∩平面A1B1C1=A1C1，
∴A1C1//MH，
又A1C1//AC，
∴MH//AC，
∵M为AB的中点，
∴H为BC的中点．
【解析】本题考查平面与平面平行的判定，考查面面平行的性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
(1)由已知可得EF//A1C1，得到EF//平面A1C1M，同理得到BF//平面A1C1M，再由面面平行的判定可得平面A1C1M//平面BEF；
(2)由平面与平面平行的性质得A1C1 // MH，则MH//AC，由M为AB的中点，可得H为BC的中点．
19.【答案】解：(1)方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M．
因为EC⊥AC，OM，EC⊂平面ACC1A1，
所以OM // EC．
又因为EC=2FB=2，EC // FB，O为AE的中点，
所以OM // FB且OM=12EC=FB，
所以四边形OMBF为平行四边形，
所以BM // OF，
因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，
故BM //平面AEF，
此时点M为AC的中点．
方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ．
因为EC=2FB=2，
所以PE // BF且PE=BF，
所以四边形PEFB为平行四边形，
所以PB //EF，
又因为P，Q分别为EC，AC的中点，
所以PQ //AE，
又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ //平面AEF，PB //平面AEF，
因为PB∩PQ=P，PB，PQ⊂平面PBQ，
所以平面PBQ //平面AEF．
又因为BQ⊂平面PBQ，
所以BQ //平面AEF．
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．
(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角，
易求AF=EF=5，MB=OF=3，OF⊥AE，
所以cos∠OFE=OFEF=35=155，
所以BM与EF所成的角的余弦值为155．
【解析】本题考查了线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质、异面直线所成角的相关知识．
(1)方法一：取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M，证明BM // OF，进而可得答案；
方法二：取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，证明平面PBQ //平面AEF，即可得到答案；
(2)根据(1)得出BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角，求解即可．
20.【答案】解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，O是CD中点，M是PC的中点，
∴OM是△CPD的中位线，即OM//PD，
又PD⊂平面PAD，OM⊄平面PAD，∴OM//平面PAD，
∵AB//CD且AB=DO，
∴四边形ABOD是平行四边形，有OB//AD，
∵AD⊂平面PAD，OB⊄平面PAD，∴OB//平面PAD，
又OM⋂OB=O，OM，OB⊂平面OBM
∴平面OBM//平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
∴PA//平面OBM．
(2)连结MA，AC，由AB=BC=CO=OB=2，
∴△ABC的面积S△ABC=3，又PO=2，
∴三棱锥P−ABC的体积为VP−ABC=13×S△ABC×2=13×3×2=233，
VM−ABC=12×VP−ABC=33．
故三棱锥M−PAB的体积为：
VM−PAB=VP−MAB=VP−ABC−VM−ABC=233−33=33．
【解析】本题考查两大点：①应用线面平行、平行四边形的判定及性质证线面平行，再由面面平行的判定和性质证线面平行，②“分割法”求体积，将三棱锥分割为两个棱锥，再由棱锥的组合关系结合棱锥的体积公式求体积，属于中档题．
(1)由中位线性质、线面平行的判定有OM//平面PAD，由平行四边形的判定及性质有OB//AD，结合线面平行的判定有OB//平面PAD，根据面面平行的判定和性质可证PA//平面OBM．
(2)由几何体的组合关系有VM−PAB=VP−MAB=VP−ABC−VM−ABC，结合三棱锥体积的求法求三棱锥M−PAB的体积．
21.【答案】解：(1)取PD的三等分点(靠近D点)E，如图，连接EN，AE，
∵N是PC的三等分点，E是PD的三等分点，
∴EN//DC，EN=23DC
∵M是AB的三等分点，
∴AM=23DC．
又AM//DC，
∴NE//AM，NE=AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN//AE，
∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴MN//平面PAD．
(2)方法一：如图，连接MQ，NQ．
若平面MNQ//平面PAD，
且平面MNQ∩平面PAB=MQ，平面PAD∩平面PAB=PA，
则MQ//PA，
∵M是AB的三等分点，
∴Q是PB的三等分点，
即当Q为PB的三等分点时，平面MNQ//平面PAD．
方法二：当Q为PB的三等分点(靠近B点)时，平面MNQ//平面PAD．
证明如下：如图，连接MQ，NQ．
∵N是PC的三等分点，Q是PB的三等分点，
∴QN//BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，∴QN//AD，
∵QN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴QN//平面PAD，
∵M是AB的三等分点，Q是PB的三等分点，
∴QM//PA，
∵QM⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴QM//平面PAD，
∵QM⊂平面MNQ，QN⊂平面MNQ，QM∩QN=Q，
∴平面MNQ//平面PAD．
【解析】本题主要考查线面平行，面面平行的判定，是高考中常见的题型，属于中等题．
(1)取PD的三等分点(靠近D点)E，然后证明NE//AM,NE=AM，得到AE//MN，即证；
(2)由平面MNQ//平面PAD，得到MQ//PA，所以Q也是PB的三等分点．
22.【答案】证明：(1)∵PM:MA=PQ:QD，∴MQ//AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴MQ//BC，
∵MQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴MQ//平面PBC，
又BN:ND=PQ:QD，∴QN//PB，
∵QN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴QN//平面PBC，
∵MQ∩QN=Q，MQ、QN⊂平面MNQ，∴平面MNQ//平面PBC；
(2)设BD、AC于点O，连接OQ，取PQ中点E，连结ME、BE，
∵PQ:QD=2且E为PQ的中点，∴PE=EQ=QD，∴Q为DE的中点，
又∵点O为BD的中点，∴BE//OQ，
∵BE⊄平面AQC，OQ⊂平面AQC，∴BE//平面AQC，
同理，ME//平面AQC．
∵BE∩ME=E，BE、ME⊂平面BME，∴平面BME//平面AQC，
∵BM⊂平面BME，∴BM//平面AQC．
【解析】本题考查线面平行的判定，面面平行的判定，考查推理能力，属于中档题．
(1)由面面平行的判定定理进行证明即可；
(2)设BD、AC于点O，连接OQ，取PQ中点E，连结ME、BE，再由线面平行的判定定理及面面平行的性质进行证明即可．
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