2020-2021学年第六章 立体几何初步4 平行关系本节综合与测试多媒体教学ppt课件

这是一份2020-2021学年第六章 立体几何初步4 平行关系本节综合与测试多媒体教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了平行关系的判定，线线平行，线面平行，观察与猜想，直线与平面平行的画法，反思领悟，线不在多重在相交，符号表示，图形表示，结论结论等内容，欢迎下载使用。

直线与平面α相交a∩ α= A有且只有一个交点
直线a与平面α平行a∥α无交点
我们知道，一条直线和一个平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.
在生活中，注意到门扇的两边是平的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．
观察门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系．
观察:球门线BC、立柱AB、支柱GF、横梁AD所在直线与地面的关系.
那么，如何判定一条直线和一个平面平行呢？
观察下图所示的长方体，我们可以知道：直线a不在平面α内,直线b在平面α内,a∥b,这时a∥α.
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
直线和平面平行的判定定理
把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形一边平行.
家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需要使镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，显然用到了这个判定定理；安装教室里的日光灯，也用到了这个判定定理.你还能举出生活中应用此判定定理的其他例子吗？
例1 空间四边形ABCD中，E、F分别为AB，AD的中点.判断EF与平面BCD的位置关系.
解 设由相交直线BC，CD所确定的平面为α，如图，连接BD.易见，EF不在平面α内.由于E，F分别为AB,AD的中点，所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.
1. 线面平行，通常可以转化为线线平行来处理.
2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定来完成.
3. 证明的书写:三个条件“内”、“外”、“平行” 缺一不可.
思考，空间两平面有哪些位置关系？
反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β
两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题。
若平面α∥β，则α中所有直线都平行β
平面α内有一条直线 a 平行于平面β,则α∥β吗? 请举例说明.
平面α内有两条直线a , b 平行于平面β, 则α∥β吗? 请举例说明.
问题3 平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥β吗?
问题3 平面α内有两条相交直线 a , b 平行平面β, 则α∥ β吗?
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
两个平面平行的判定定理：
ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1//平面C1BD.
证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以 BD∥B1D1.
因此，平面AB1D1∥平面C1BD.
又B1D1 平面AB1D1， 从而BD∥平面AB1D1
同理可证 BC1∥平面AB1D1.又直线BD与直线BC1交于点B.
1 判断下列说法是否正确：
（2）若直线a//b ， a//c ，且 ，则 .
（4）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有直线平行.
（3）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数条直线平行.
2．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是( )A．③④     B．①②   C．②③    D．①④
3.α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A.α，β都平行于直线a，b
B.α内有三个不共线点到β的距离相等
C.a,b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D.a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
解：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A，B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D．
所以，BE∥AF，BE 平面PAD，AF 平面PAD， 根据线面平行的判定定理可得BE∥平面PAD.
4.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，求证BE∥平面PAD.
证明：取PD的中点F，连接EF，AF，由E，F为中点，所以EF∥CD且EF= CD，又AB∥CD，CD=2AB，故EF∥AB，且EF=AB，从而四边形ABEF为平行四边形，
5、在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.
证明：连接PD并延长交AB于点M连接PE并延长交BC于点N，连接PF并延长交AC于O，连接MN，MO∵D，E分别为△PAB、△PBC的重心∴ DE∥MN又∵DE 面ABC，MN 面ABC∴DE∥面ABC，同理：DF∥面ABC又∵DE∩DF=D∴面DEF∥面ABC
（1）线面平行的判定定理：
（将空间问题转化为平面问题）
（2）线面平行的判定方法；
（3）面面平行的定义；
（4）面面平行的判定定理；
（5）面面平行判定定理的应用：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行;在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决.
前面我们知道了如何来判断直线与平面平行，那么，已知直线和平面平行，我们又能有怎样的结论呢？
探究1:如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？
探究2:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？
有无数条，这些直线之间互相平行.
探究3:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面α有几种位置关系？
探究4:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
平行.因为a∥α,所以a 和α没有公共点.又因为b在α 内，所以b和a也没有公共点.而a和b都在平面β内，又没有公共点，所以a∥b.
探究5:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.
定理5.3 如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.
上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？
直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？
提供了作平行线的方法，并且是判断线线平行的依据.
直线和平面平行的判定定理:
直线和平面平行的性质定理.
　　平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
例1 如图A,B,C,D在同一平面内，AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别交于点C,D求证:AC=BD.
证明 连接CD.因为A,B,C,D在同一平面内，AB∥平面α，
所以AB∥CD.又因为AC∥BD,
所以四边形ABCD是平行四边形因此 AC=BD.
例2 如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
解　如右图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO.
又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，∴AP∥GH.
又∵MO 平面BDM，PA 平面BDM，∴PA∥平面BDM.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴MO∥PA.
例2 如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.
　已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.求证：a∥b.
证明：过a作平面δ，δ∩β＝c，∵a∥β，∴a∥c.过a作平面γ，γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.由公理4得c∥d.∵d α，c α，∴c∥α.又∵c β，α∩β＝b，∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
　 　如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线就和它们的交线平行．
5、如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α.
证明 过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.
因为a//b,所以,b//c.又因为c⊂α, b α,所以 b// α.
因为a//α,a⊂β,α∩β=c,所以 a// c. 
1、教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
答:只需由灯管两端向地面引两条平行线,过两条平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线.
1．已知直线l∥平面α，直线mα，则直线l和m的位 置关系是 (　　) A．相交　　　　　　　　　B．平行 C．异面 D．平行或异面 解析：l与m平行或异面． 答案：D
2．如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点 B、C、D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于 点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝4， 则EG＝________.
2．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为(　 　)A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，a α，则a∥βC．若α∥β，a α，b β，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
【解析】A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，a α，则a与β无公共点，∴a∥β.
3．已知α∥β，a α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　 　)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线
【解析】因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
线线平行 线面平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
回想一下，平面与平面的判定定理是什么？
平面与平面的判定定理解决了平面与平面平行的条件问题，反之，在平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？
探究1:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
结论:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
探究2:如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？
结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.
探究3:若 ，直线l与平面α相交，那么直线l与平面β的位置关系如何？
探究4:若α∥β，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
平行.由于两条交线a,b分别在两个平行平面α，β内，所以a与b不相交.又因为a,b都在同一平面γ内，由平行线的定义可知a∥b.
探究5:综上分析，在平面与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.
定理5.4 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
上述定理通常称为平面与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？
想一想:平面与平面平行的性质定理可简述为“面面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？
功能作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
平面和平面平行的判定定理:
平面和平面平行的性质定理
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面；2、平行于同一平面的两平面平行；3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行；4、夹在两平行平面间的平行线段相等.
例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.求证:AB=CD.
证明 因为AB//CD,所以过AB,CD可作平面γ,且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.
因为α//β,所以BD//AC.因此,四边形ABDC是平行四边形.所以AB=CD.
例2 如图，平面α，β，γ两两平行，且直线l与α，β，γ分别交于点A,B,C,直线m与α，β，γ分别交于点D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的长.
解 1,当直线m与l共面时，该平面与α，β，γ分别交于直线AD,BE,CF,因为α，β，γ两两平行，所以AD∥BE∥CF,故
2,当直线m与l不共面时，连接DC.设DC与β相交于点G,则平面ACD与α，β分别相交于直线AD,BG,平面DCF与β，γ分别交于直线GE,CF.
因为α，β，γ两两平行，所以BG∥AD,GE∥CF.因此
所以 又因为AB=6,BC=2,EF=3,所以,DE=9.
[例2]　已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求当S在α，β之间时SC的长．
1、设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面；B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面；C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面；D．不论A、B如何移动都共面.
2．过长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．
【解析】如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4条，连接MN，则MN∥面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括MN).
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、F为棱B1C1，C1D1和B1B的中点，试过E、M作一平面与平面A1FC平行．
解 如图，取CC1中点G，连接B1G，取C1G中点H，连接EH.则EH∥B1G∥FC.同理，连接MH.则MH∥A1F.连接EM，又MH∩EH=H，∴面EMH∥面A1FC，即面EHM为所求平面．
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.