北师大版 (2019)必修 第二册3.2 复数乘除运算的几何意义复习练习题

5.2复数的四则运算北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式．根据欧拉公式，表示复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 已知，分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点．若，则一定是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

5. 已知方程有两个虚根，若，则的值是(    )

A. 或 B.  C.  D.

6. 在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根．已知方程的一个根为为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知复数满足且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知与是共轭复数，以下个命题一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列命题正确的是．(    )

A. 若复数的模相等，则是共轭复数
B. 都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数
C. 复数是实数的充要条件是是的共轭复数
D. 已知复数，，是虚数单位，它们对应的点分别为，，，为坐标原点，若，则

11. 已知复数，，其中，则下列结论正确的是(    )

A. 的虚部为
B. 的共轭复数
C. 是关于的方程的一个根
D. 若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆

12. 任何一个复数其中，，为虚数单位都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是(    )

A.
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，，则          ．
14. 计算：          ．
15. 已知，则          ．
16. 计算          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

计算．

18. 本小题分
    求的值；
    若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．
19. 本小题分

已知为虚数单位．

计算：；

若，求复数．

20. 本小题分
    已知关于的方程的两个根是，．
    若为虚数且，求实数的值；
    若，求实数的值．
21. 本小题分
    已知复数其中为虚数单位，若复数的共轭复数为，且．
    求复数；

若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．

22. 本小题分
    已知复数是关于的方程的一个根，求的值；
    已知复数，，，求．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，虚数单位的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
根据虚数单位的幂运算性质和复数的运算法则化简式子，求得，再根据复数与复平面内对应点之间的关系就求得结果．

【解答】

解：由，得，，
在复平面内的对应点的坐标为，
显然位于第三象限，
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的欧拉公式、特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，再由复数运算法则以及复数的求模公式求解即可．

【解答】

解：因为，
所以，
则．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的概念，以及复数的加减计算．
根据题意计算与，可得且，从而的得结果．

【解答】

解：根据题意得，为实数，为纯虚数，

所以且，

解得，，

故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数几何意义，根据条件转化为向量是解决本题的关键．
利用复数的几何意义，结合向量的性质进行判断即可．

【解答】

解：，
由复数加减运算的几何意义知：以、为邻边的平行四边形是矩形．
是直角三角形．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程根与系数关系、以及复数范围内的方程的根，分类讨论的思想，考查数学运算能力，属于基础题．
根据给定条件可得 与 互为共轭复数，即 ，设 由韦达定理可知 ，即可求解．

 

【解答】

解：因方程 有两个虚根 ，则 与 互为共轭复数，
因此方程判别式小于，即 ，

设由韦达定理可知

所以，即

，  即，  所以

所以

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，熟练掌握相关知识点和运算法则是解决此类问题的关键，属于中档题．
先将根代入方程中求出，再利用四则运算求出结果即可．

【解答】

解：方程的一个根为，
，
则，
解得，，
则
，
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的除法运算及共轭复数，是基础题．

【解答】

解：，故．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数乘法运算的三角表示及其几何意义、共轭复数、复数的模及其几何意义、复数的乘法运算，属于中档题．
设，代入条件求得复数，利用复数乘法运算的三角表示，即可求出的值．

【解答】

解：设，故，
，将其代入，得，
所以，即，
因为，所以，
当时，，
则，
当时，，
则．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，考查共轭复数的概念，考查复数的模，考查复数的四则运算，是基础题．
根据题意设，则，代入选项计算一一验证即可．

【解答】

解：根据题意设，则，
对于，，，
当时，是虚数，
不能与比较大小，所以A错误；
对于，，，
所以，即B正确；
对于，，所以C正确；
对于，当时，显然错误．
故选BC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，共轭复数，几何意义，本题的关键是正确理解复数的有关概念，属于中等题．
对于选项根据共轭复数的定义，举例判断；对于选项根据是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断选项；对于选项分别判断充分和必要条件；对于选项利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得，的值．

【解答】

解：对于选项模相等的复数不一定是共轭复数，比如：，，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故A不正确；
对于选项设， ，，，，，若是虚数，，两个复数的虚部不互为相反数，所以不是的共轭复数，故B正确；
对于选项设，，若，则，所以复数是实数若是实数，则 且，故C正确；
对于选项由条件可知，，，，则，所以 ，解得：，所以，故D不正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则，虚部的定义，方程的根，几何意义，属于中档题
利用复数的定义判断，利用共轭复数的定义判断，利用复数的四则运算判断，利用复数的几何意义判断．

【解答】

解：，复数的虚部为，A错误
的共轭复数为，B正确
当时，，C正确
设，由，得到，
在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆，D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的三角表示式，涉及了复数的模、共轭复数、复数的分类等知识，属中档题．
根据复数的三角表示结合运算规律，再根据相关概念即可得解．

【解答】

解：对于选项，，则，可得
，，选项正确
对于选项，当，时，，则，选项错误
对于选项，当，时，，选项
正确
对于选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，选项错误．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．

【解答】

解：，
可设，，，，
，
．



故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性，属于基础题．
由虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算计算即可．

【解答】

解：由，


，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算与幂运算的周期性求解即可．

【解答】

解：，
，，
，
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了虚数单位的幂的运算，复数的四则运算，属于中等题．
利用复数的运算公式，利用，，，即可化简求值．

【解答】

解：原式



．
故答案为．

17.【答案】解：

．

【解析】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
利用复数的乘除法运算法则以及的幂运算的周期性进行计算．
 

18.【答案】解：
；

由题得
，
因为，

所以，解得
所以．

【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根与分解因式，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
 

19.【答案】解：
；
设，

则由得，
，即或

故或．

【解析】本题考查复数的运算，共轭复数，复数的模及其几何意义，属于中档题．
利用复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性化简运算可得；
设，由可得，利用复数相等列方程组解得即可．
 

20.【答案】解：，
，
又，，
，
，，
 若方程的判别式，即时，则方程的有两个实数根，．
则，
解得，
若方程的判别式，即时，则方程有一对共轭虚根，
则，解得． 

【解析】根据复数的定义可得，解得即可，
根据判别式分类讨论，即可求出的值．
本题考查了方程的实根和虚根的问题，属于中等题．
 

21.【答案】解：因为，
所以，
，
；
若是关于的方程的一个根，则，
即，

得，，
设方程另一复数根为，
得，
即，
得
解得，或，，
所以方程另一根为． 

【解析】本题考查复数的运算以及复数相等的条件，属于中档题．
利用复数的运算法则求出，再由复数的运算求出
把复数代入方程，由复数相等的条件解方程组求得，，设方程的另一个根，代入方程，利用复数相等求得，即可．
 

22.【答案】解：解法一：因为是方程的一个根，
，
，

；

解法二：因为是方程的一个根，

也是方程的一个根，

；

解法一：，，又，

，

；

解法二：，，所以，

所以，，，
由，

所以，

所以．

【解析】本题考查复数范围内方程的根的问题，复数的四则运算，复数的模，属于中档题．
解法一：将代入方程求解即可；
解法二：由复数范围内方程的根的关系可得和均为方程的根，再由根与系数的关系求解即可；
解法一：由进行四则运算再求解复数的模即可；
解法二：先求，，，再由计算即可．