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    5.2复数的四则运算练习 北师大版(2019)高中数学必修第二册(含答案解析)
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    北师大版 (2019)必修 第二册3.2 复数乘除运算的几何意义复习练习题

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第二册3.2 复数乘除运算的几何意义复习练习题,共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    5.2复数的四则运算北师大版(   2019)高中数学必修第二册

    I卷(选择题)

     

    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1. 已知复数满足,则复数在复平面内对应的点在(    )

    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

    1. 欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的,他将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数理论中占有非常重要的地位,特别是当时,被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式,表示复数,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 复数,若它们的和为实数,差为纯虚数,则(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 已知分别是复数在复平面内对应的点,是坐标原点.若,则一定是(    )

    A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

    1. 已知方程有两个虚根,若,则的值是(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根.已知方程的一个根为为虚数单位,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 已知复数,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 已知复数满足,则的值为(    )

    A.  B.  C.  D.

     

    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

    1. 已知是共轭复数,以下个命题一定正确的是(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 下列命题正确的是(    )

    A. 若复数的模相等,则是共轭复数
    B. 都是复数,若是虚数,则不是的共轭复数
    C. 复数是实数的充要条件是的共轭复数
    D. 已知复数是虚数单位,它们对应的点分别为为坐标原点,若,则

    1. 已知复数,其中,则下列结论正确的是(    )

    A. 的虚部为
    B. 的共轭复数
    C. 是关于的方程的一个根
    D. ,则在复平面内对应的点的集合是以为圆心,为半径的圆

    1. 任何一个复数其中为虚数单位都可以表示成:的形式,通常称之为复数的三角形式法国数学家棣莫弗发现:,我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息,下列说法正确的是(    )

    A.
    B. 时,
    C. 时,
    D. 时,若为偶数,则复数为纯虚数

    II卷(非选择题)

     

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    1. 已知,则          
    2. 计算:          
    3. 已知,则          
    4. 计算          

     

    四、解答题(本大题共6小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    1. 本小题

    计算

    1. 本小题
      的值;
      若关于的一元二次方程的一个根是,其中是虚数单位,求的值.
    2. 本小题

    已知为虚数单位.

    计算:

    ,求复数

    1. 本小题
      已知关于的方程的两个根是
      为虚数且,求实数的值;
      ,求实数的值.
    2. 本小题
      已知复数其中为虚数单位,若复数的共轭复数为,且
      求复数

    是关于的方程的一个根,求实数的值,并求出方程的另一个复数根.

    1. 本小题
      已知复数是关于的方程的一个根,求的值;
      已知复数,求

    答案和解析

     

    1.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查复数的运算,虚数单位的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题.
    根据虚数单位的幂运算性质和复数的运算法则化简式子,求得,再根据复数与复平面内对应点之间的关系就求得结果.

    【解答】

    解:由,得
    在复平面内的对应点的坐标为
    显然位于第三象限,
    故选C

      

    2.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查了复数的欧拉公式、特殊角的三角函数值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    ,再由复数运算法则以及复数的求模公式求解即可.

    【解答】

    解:因为
    所以

    故选B

      

    3.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题主要考查复数的概念,以及复数的加减计算.
    根据题意计算,可得,从而的得结果.

    【解答】

    解:根据题意得,为实数,为纯虚数,

    所以

    解得

    故选A

      

    4.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题主要考查复数几何意义,根据条件转化为向量是解决本题的关键.
    利用复数的几何意义,结合向量的性质进行判断即可.

    【解答】

    解:
    由复数加减运算的几何意义知:以为邻边的平行四边形是矩形.
    是直角三角形.
    故选B

      

    5.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查一元二次方程根与系数关系、以及复数范围内的方程的根,分类讨论的思想,考查数学运算能力,属于基础题.
    根据给定条件可得  互为共轭复数,即 ,设 由韦达定理可知 ,即可求解.

     

    【解答】

    解:因方程 有两个虚根 ,则  互为共轭复数,
    因此方程判别式小于,即 

    由韦达定理可知

    所以

        所以

    所以

    故选:

      

    6.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题主要考查了复数的四则运算,熟练掌握相关知识点和运算法则是解决此类问题的关键,属于中档题.
    先将根代入方程中求出,再利用四则运算求出结果即可.

    【解答】

    解:方程的一个根为


    解得


    故选B

      

    7.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查复数的除法运算及共轭复数,是基础题.

    【解答】

    解:,故

      

    8.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查复数乘法运算的三角表示及其几何意义、共轭复数、复数的模及其几何意义、复数的乘法运算,属于中档题.
    ,代入条件求得复数,利用复数乘法运算的三角表示,即可求出的值.

    【解答】

    解:设,故
    ,将其代入,得
    所以,即
    因为,所以
    时,

    时,

    故选:

      

    9.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查复数的概念,考查共轭复数的概念,考查复数的模,考查复数的四则运算,是基础题.
    根据题意设,则,代入选项计算一一验证即可.

    【解答】

    解:根据题意设,则
    对于
    时,是虚数,
    不能与比较大小,所以A错误;
    对于
    所以,即B正确;
    对于,所以C正确;
    对于,当时,显然错误.
    故选BC

      

    10.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查复数的概念,共轭复数,几何意义,本题的关键是正确理解复数的有关概念,属于中等题.
    对于选项根据共轭复数的定义,举例判断;对于选项根据是虚数,判断两个复数的虚部的关系,判断选项;对于选项分别判断充分和必要条件;对于选项利用向量,复数,坐标的关系,利用向量相等求得的值.

    【解答】

    解:对于选项模相等的复数不一定是共轭复数,比如:,这两个复数的模相等,但不是共轭复数,故A不正确;
    对于选项 ,若是虚数,,两个复数的虚部不互为相反数,所以不是的共轭复数,故B正确;
    对于选项,若,则,所以复数是实数是实数,则 ,故C正确;
    对于选项由条件可知,则,所以 ,解得:,所以,故D不正确.
    故选:

      

    11.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查了复数的运算法则,虚部的定义,方程的根,几何意义,属于中档题
    利用复数的定义判断,利用共轭复数的定义判断,利用复数的四则运算判断,利用复数的几何意义判断

    【解答】

    解:复数的虚部为A错误
    的共轭复数为B正确
    时,C正确
    ,由,得到
    在复平面内对应的点的集合是以为圆心,为半径的圆,D正确.
    故选:

      

    12.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题主要考查了复数的三角表示式,涉及了复数的模、共轭复数、复数的分类等知识,属中档题.
    根据复数的三角表示结合运算规律,再根据相关概念即可得解.

    【解答】

    解:对于选项,,则,可得
    选项正确
    对于选项,时,,则选项错误
    对于选项,时,选项
    正确
    对于选项,
    ,则为偶数,则不是纯虚数,选项错误.

      

    13.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查复数的运算法则和模的计算公式,属于基础题.
    利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出.

    【解答】

    解:
    可设





    故答案为

      

    14.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查了复数的四则运算,虚数单位的幂运算的周期性,属于基础题.
    由虚数单位的幂运算的周期性,复数的四则运算计算即可.

    【解答】

    解:由



    故答案为

      

    15.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查虚数单位的幂运算的周期性,复数的四则运算,属于基础题.
    利用复数的四则运算与幂运算的周期性求解即可.

    【解答】

    解:


    故答案为

      

    16.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查了虚数单位的幂的运算,复数的四则运算,属于中等题.
    利用复数的运算公式,利用,即可化简求值.

    【解答】

    解:原式




    故答案为

      

    17.【答案】解:

     

    【解析】本题主要考查了复数的运算,属于基础题.
    利用复数的乘除法运算法则以及的幂运算的周期性进行计算.
     

    18.【答案】解:

    由题得

    因为

    所以,解得
    所以

     

    【解析】本题考查复数相等的充要条件,虚数单位的幂运算的周期性,复数的四则运算,复数范围内方程的根与分解因式,考查运算化简的能力,属于中档题.
    根据虚数单位的幂运算的周期性,复数的四则运算化简可得;
    代入方程,利用复数的四则运算,复数相等的充要条件,解得可得结论.
     

    19.【答案】解:

    则由
    ,即

     

    【解析】本题考查复数的运算,共轭复数,复数的模及其几何意义,属于中档题.
    利用复数的四则运算,虚数单位的幂运算的周期性化简运算可得;
    ,由可得,利用复数相等列方程组解得即可.
     

    20.【答案】解:




     若方程的判别式,即时,则方程的有两个实数根

    解得
    若方程的判别式,即时,则方程有一对共轭虚根
    ,解得 

    【解析】根据复数的定义可得,解得即可,
    根据判别式分类讨论,即可求出的值.
    本题考查了方程的实根和虚根的问题,属于中等题.
     

    21.【答案】解:因为
    所以


    是关于的方程的一个根,则



    设方程另一复数根为



    解得
    所以方程另一根为 

    【解析】本题考查复数的运算以及复数相等的条件,属于中档题.
    利用复数的运算法则求出,再由复数的运算求出
    把复数代入方程,由复数相等的条件解方程组求得,设方程的另一个根,代入方程,利用复数相等求得即可.
     

    22.【答案】解:解法一:因为是方程的一个根,

    解法二:因为是方程的一个根,

    也是方程的一个根,

    解法一:,又

    解法二:,所以

    所以

    所以

    所以

     

    【解析】本题考查复数范围内方程的根的问题,复数的四则运算,复数的模,属于中档题.
    解法一:将代入方程求解即可;
    解法二:由复数范围内方程的根的关系可得均为方程的根,再由根与系数的关系求解即可;
    解法一:由进行四则运算再求解复数的模即可;
    解法二:先求,再由计算即可.
     

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