江苏省南京市秦淮区五校2022届九年级上学期期中考试数学试卷

数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x3+2x+1＝0 B．x2+1＝2x+1 C．＝1 D．x2+y＝1

2．用配方法解方程x2﹣2x＝1时，原方程应变形为（　　）

A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2

3．如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（　　）

A．5 B．6 C．10 D．12

4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆

的半径是13，小圆的半径是5，则AB的长为（　　）

A．10 B．12 C．20 D．24

5．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（　　）

A．（40﹣x）（20+2x）＝1250 B．（40﹣2x）（20+x）＝1250 

C．（40+x）（20﹣2x）＝1250 D．（40+2x）（20﹣x）＝1250

6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

7．方程x2＝5的解是 　              　．

8．一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间卖出情况如表：

鞋店经理最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是 　   　．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）

9．若一个正方形的半径是4，则这个正方形的边长是 　            　．

10．如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠1＝　   　°．

11．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　 　．

12．将圆锥的侧面沿一条母线剪开并展平，可以得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，圆锥的母线长l＝12cm，则扇形的圆心角的度数是 　    　°．

13．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：

如果将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按4：3：1的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 　   　分．

14．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝　    　．

15．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：

①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；

②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；

③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；

④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．

其中所有正确结论的序号是 　   　．

16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝　   　°．

三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解方程x2﹣3x﹣2＝0．

18．解方程（x﹣1）2＝4（1﹣x）．

19．阅读下面解方程的途径．

方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程．

（1）请用“转化”的数学思想，填写下面的空格．

（2）求方程＝x的解．

20．某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：

信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．

信息二：第三组的成绩（单位：分）为：

76  76  76  73  72  75  74  71  73  74  78  76

根据信息解答下列问题：

（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；

（2）第三组竞赛成绩的众数是 　 　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 　 　分；

（3）若该校共有2000名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．

21．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证：PB＝PD．

22．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是﹣2，求2021﹣m2+4m的值．

23．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝26°，请用两种方法求∠P的度数．

24．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；

（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．

25．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）若AE＝1，∠F＝30°，则阴影部分的面积为 　 　．

26．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元，该店在8月份售出“天问一号”模型400个，“嫦娥五号”模型200个．该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，

9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．

（1）用含有a的代数式填表（不需化简）：

（2）据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．

27．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：

（1）这样的点A唯一吗？

（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“勇攀高峰”学习小组的同学们通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），……．其中小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为 　 　；②△ABC面积的最大值为 　 　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A'，请你利用图1证明∠BA'C＞30°．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合）且∠OPC＝45°，且小明探索发现P点的个数随着点B的位置变化而变化……请你继续探索，并直接写出P点的个数及对应的m的取值范围．