江苏省南京市秦淮区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市秦淮区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京市秦淮区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣＝0 B．3x2＝1 C．2x﹣y＝5 D．y2+x+2＝0
3．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（　　）
A．3π B．6π C．12π D．24π
4．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣8）2＝21 B．（x﹣8）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11
5．如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为（　　）

A．4 B．3 C． D．
6．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（　　）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．方程x2＝9的根是 　 　．
8．关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是 　 　．
9．已知一扇形的半径为2cm，其弧长为3πcm，则该扇形的面积是　 　cm2．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为　 　．

11．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m﹣2022的值是 　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BC的长是　 　．

13．某企业2020年盈利2000万元，2022年盈利2420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程 　 　．
14．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为　 　．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．若P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是 　 　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．⊙C的半径长为1，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P的位置有4个，则m的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．解方程x2﹣2x﹣1＝0．
18．解方程（x+2）2＝3（x+2）．
19．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求方程的根．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．
（1）若∠ABC＝70°，求∠BAD的度数；
（2）求证：＝．

21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O过点B、C且与AB、AC分别相交于点D、E．求证：BD＝CE．

22．如图所示，面积为4500m2的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大10m，求绿化区的面积．

23．已知α、β是关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0的两个实数根．
（1）若α＝β，则m与n满足关系 　 　；
（2）若β＜α＜0，求m+n的范围．
24．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，
①求图中阴影部分面积；
②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为　 　．

25．商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？
26．【习题再现】

（教材P74第10题）如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．BD和ID相等吗？为什么？
（1）完成原习题；
【逆向思考】
（2）如图②，I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．若DB＝DI＝DC，求证：I为△ABC的内心．
【迁移运用】
（3）如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出△ABC的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）

27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的动点，AC＝6，BC＝8，经过 C、D的⊙O交AC边于点M，交BC边于点N，且点M、N不与点C重合．

（1）若点D运动到AB的中点．
①如图①，当点M与点A重合时，求线段MN的长；
②如图②，连接MN，若MN∥AB，求线段MN的长；
（2）如图③，点D在运动过程中，⊙O半径r的范围为 　 　．



参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
解：∵⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣＝0 B．3x2＝1 C．2x﹣y＝5 D．y2+x+2＝0
【分析】一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程．
解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该方程是二元一次方程，故本选项不合题意；
D．该方程是二元二次方程，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
3．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（　　）
A．3π B．6π C．12π D．24π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法．
4．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣8）2＝21 B．（x﹣8）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
解：x2﹣8x+5＝0，
x2﹣8x＝﹣5，
x2﹣8x+16＝﹣5+16，
（x﹣4）2＝11，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为（　　）

A．4 B．3 C． D．
【分析】如图，连接OC，设OC＝OE＝OF＝r．利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．
解：如图，连接OC，设OC＝OE＝OF＝r．
∵EF⊥CD，EF是直径，
∴CM＝MD＝1，
在Rt△COM中，OC2＝OM2+CM2，
∴r2＝12+（5﹣r）2，
∴r＝，
故选：C．

【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（　　）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，

∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，
∴∠OBF＝∠ABC＝30°，
∴OB＝＝＝，
∴△ABC的外接圆的半径为；
B、∵△ABC是等腰三角形，

过A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，
∵AB＝AC＝10，
∴＝，BD＝CD＝BC＝2，
∴AE是⊙O的直径，AD＝＝＝4，
∴∠ABE＝∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ADB∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴外接圆半径为；
C、作AD⊥BC于点D，作直径AE，连接CE，

在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，
在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即42﹣BD2＝82﹣（10﹣BD）2，
解得BD＝，
由勾股定理得，AD＝＝，
∵AE为圆的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ADB＝∠ACE，又∠B＝∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴＝，即＝，
解得AE＝，
则外接圆半径＝，
D、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．方程x2＝9的根是 　x1＝3，x2＝﹣3　．
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
解：x2＝9，
x＝±3，
所以x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
8．关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是 　a≥1　．
【分析】根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，
∴a﹣1≥0，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的条件，列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
9．已知一扇形的半径为2cm，其弧长为3πcm，则该扇形的面积是　3π　cm2．
【分析】扇形的面积＝弧长×半径．
解：利用扇形面积公式可知该扇形的面积是＝3πcm2．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为　35°　．

【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝55°，
∴∠DAB＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BCD＝∠DAB＝35°．
故答案为：35°．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
11．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m﹣2022的值是 　﹣2021　．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m﹣2的值．
解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m﹣2022＝1﹣2022＝﹣2021．
故答案为：﹣2021．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BC的长是　1+　．

【分析】如图，连接AD．在Rt△ABD与Rt△ACD中，利用勾股定理分别求得BD、CD的长度，然后易求BC＝BD+CD．
解：如图，设线段BC与⊙O相切于点D，连接AD．
∵BC是⊙O的切线，D是切点，
∴AD⊥BC，AD＝1．
∴在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝1，∠ADB＝90°，BD＝＝＝．
在Rt△ACD中，AC＝，AD＝1，∠ADC＝90°，CD＝＝＝1．
∴BC＝BD+CD＝1+．
故答案是：1+．

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
13．某企业2020年盈利2000万元，2022年盈利2420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程 　2000（1+x）2＝2420　．
【分析】设年平均增长率为x，则2021年人均收入为20000（1+x）万元，2022年则为20000（1+x）（1+x）万元，再由条件“2022年盈利2420万元”进而可得方程．
解：设年平均增长率为x，
根据题意：2000（1+x）2＝2420，
故答案为：2000（1+x）2＝2420．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为　　．
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，
∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．
故答案为：．

【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．若P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是 　3﹣　．

【分析】在AB、CD上分别截取BE＝CF＝BC＝2，连接CE、BF，两线交于点O，连接EF，则四边形BCFE为正方形，作四边形BCFE的外接圆⊙O，则所有符合条件的点P形成的区域为边AD、AE、DF、围成的封闭图形，根据矩形的面积公式，扇形面积公式，弓形面积公式进行计算便可．
解：在AB、CD上分别截取BE＝CF＝BC＝2，连接CE、BF，两线交于点O，连接EF，则四边形BCFE为正方形，作四边形BCFE的外接圆⊙O，

∴∠BOC＝90°，
当点P在上时，∠BPC＝45°，
∵P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，
∴所有符合条件的点P形成的区域为边AD、AE、DF、围成的封闭图形，
∴所有符合条件的点P形成的区域的面积为：S矩形ADFE﹣S弓形EPF＝2×1﹣（）＝3﹣．
故答案为：3﹣．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，圆的性质，扇形的面积公式，弓形面积公式，关键是构造辅助圆确定P点运动区域．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．⊙C的半径长为1，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P的位置有4个，则m的取值范围是 　＜m＜　．

【分析】作CE⊥AB于点E，作EF切⊙C于点F，连接CF，先由勾股定理求得AB＝4，列面积等式×4CE＝×2×2＝S△ABC，求得CE＝，再根据勾股定理求得EF＝，作BD切⊙C于点D，连接BD，求得BD＝，观察图形可知，点P的位置有4个需要满足的条件是EF＜m＜BD，即可求得＜m＜．
解：作CE⊥AB于点E，作EF切⊙C于点F，连接CF，则CF＝1，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴AB＝＝＝4，
∴×4CE＝×2×2＝S△ABC，
∴CE＝，
∵EF⊥OF，
∴∠CFE＝90°，
∴EF＝＝＝；
作BD切⊙C于点D，连接BD，则CD＝1，
∵BD⊥CD，
∴∠CDB＝90°，
∴BD＝＝＝，
观察图形可知，点P的位置有4个需要满足的条件是EF＜m＜BD，
∴m的取值范围是＜m＜，
故答案为：＜m＜．

【点评】此题重点考查圆的切线的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．解方程x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】先把常数项﹣1移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：x2﹣2x﹣1＝0，
移项，得x2﹣2x＝1，
配方，得x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
，
∴，．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
18．解方程（x+2）2＝3（x+2）．
【分析】提公因式法因式分解解方程即可．
解：（x+2）2＝3（x+2），
移项，得（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣3）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
19．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）利用k的取值范围得到k的正整数为1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
解：（1）根据题意得Δ＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）＞0，
解得k＜2，
所以k的取值范围为k＜2；
（2）∵k为正整数，
∴k＝1，
此时方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．
（1）若∠ABC＝70°，求∠BAD的度数；
（2）求证：＝．

【分析】（1）根据OA＝OB，∠ABC＝70°可得∠ABO＝∠BAO＝70°，根据三角形的内角和定理得出∠BOA＝40°，根据平行线的性质求出∠C＝∠BOA＝40°，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数即可；
（2）连接OD，根据OC＝OD，可得∠ODC＝∠OCD，根据平行线的性质可得∠AOB＝∠AOD，从而证得结论．
【解答】（1）解：∵OA＝OB，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝∠BAO＝70°，
∴∠BOA＝40°，
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠BOA＝40°，
∵四边形ABCD是O的内接四边形，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝140°；
（2）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵OA∥CD，
∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，
∴∠AOB＝∠AOD，
∴．

【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O过点B、C且与AB、AC分别相交于点D、E．求证：BD＝CE．

【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而可得＝，然后利用等式的性质可得＝，即可解答．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴BD＝EC．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
22．如图所示，面积为4500m2的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大10m，求绿化区的面积．

【分析】设小正方形的边长为xm，则大正方形的边长为（x+10）m，绿化区的面积为10xm2，根据矩形广场的面积为4500m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入10x中即可求出绿化区的面积．
解：设小正方形的边长为xm，则大正方形的边长为（x+10）m，绿化区的面积为10xm2，
依题意得：（x+10+x）（x+10）＝4500，
整理得：x2+15x﹣2200＝0，
解得：x1＝40，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），
∴10x＝10×40＝400．
答：绿化区的面积为400m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．已知α、β是关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0的两个实数根．
（1）若α＝β，则m与n满足关系 　m＝n+2　；
（2）若β＜α＜0，求m+n的范围．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根分别为m，n+2，结合方程的两根相等，即可得出m＝n+2；
（2）由（1）可得出方程的两根分别为m，n+2，结合方程的两根α，β满足β＜α＜0，可得出m+n+2＜0，解之即可得出结论．
解：（1）∵（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0，
∴（x﹣m）（x﹣n﹣2）＝0，
∴方程的两根分别为m，n+2．
∵α、β是关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0的两个实数根，且α＝β，
∴m＝n+2．
故答案为：m＝n+2．
（2）由（1）可知：方程的两根分别为m，n+2，
∵方程的两根α，β满足β＜α＜0，
∴m+n+2＜0，
∴m+n＜﹣2．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法，求出原方程的两个实数根是解题的关键．
24．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，
①求图中阴影部分面积；
②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为　　．

【分析】（1）连接OC、OP，由切线的性质得出∠PAO＝90°，证明△PCO≌△PAO得出∠PCO＝∠PAO＝90°，得出PC⊥OC．即可得出结论；
（2）①作CM⊥AP于点M，连接OD、AC；证出四边形CMAE是矩形．得出AM＝证出△PCA是等边三角形．由三角函数求出OC＝2．由直角三角形的性质得出OE＝OC＝1，
S阴影＝扇形OCBD的面积﹣△OCD的面积，即可得出结果；
②由等边三角形的性质得出PM＝AM＝，求出CM＝PM＝3，由等边三角形的性质得出CI＝CM＝2，在Rt△CEI中，由勾股定理得：IE＝＝即可．
【解答】（1）证明：连接OC、OP，如图1所示：
∵点C在⊙O上，
∴OC为半径．
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO＝90°．
在△PCO和△PAO中，
∴△PCO≌△PAO（SSS），
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
∴PC⊥OC．
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：①作CM⊥AP于点M，连接OD、AC；如图2所示：
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝，∠CEA＝90°．
∴四边形CMAE是矩形．
∴AM＝，
∴PM＝AM．
∴PC＝AC．
∵PC＝PA，
∴△PCA是等边三角形．
∴∠PAC＝60°．
∴∠CAB＝30°．
∴∠COE＝60°．
∴∠COD＝120°．
在Rt△COE中，sin60°＝，
∴OC＝2．
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴OE＝OC＝1，
∴S阴影＝﹣×2×1＝π﹣．
②如图3所示：
∵△PCA是等边三角形，
∴PM＝AM＝，
∴CM＝PM＝3，
∵△PAC的内切圆圆心为I，则CI＝CM＝2，
在Rt△CEI中，由勾股定理得：IE＝＝；
故答案为：．



【点评】本题考查了三角形的内切圆、切线的性质与判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和切线的判定与性质是解题的关键．
25．商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？
【分析】设销售单价应为x元，根据按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，列方程即可得到结论．
解：设销售单价应为x元，
根据题意得，（x﹣30）[600﹣（x﹣50）]＝15000，
解得x1＝60，x2＝80，
答：销售单价应为60元或80元；
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润×销售数量＝总利润列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
26．【习题再现】

（教材P74第10题）如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．BD和ID相等吗？为什么？
（1）完成原习题；
【逆向思考】
（2）如图②，I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．若DB＝DI＝DC，求证：I为△ABC的内心．
【迁移运用】
（3）如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出△ABC的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）

【分析】（1）连接BI，根据I是△ABC的内心可得出∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC，再由圆周角定理可知∠DBC＝∠DAC，BID是△ABI的一个外角可知∠BID＝∠BAD+∠ABI，故可得出∠IBD＝∠BID，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）连接BI，由BD＝CD可得出＝，故可得出AD平分∠BAC．再由BD＝DI可知∠IBD＝∠BID，根据∠BID是△ABI的一个外角可知∠BID＝∠BAD+∠ABI．再由∠IBD＝∠DBC+∠CBI得出∠ABI＝∠CBI，即BI平分∠ABC，故可得出结论．
（3）先做出△ABC的外接圆，再做BC的垂直平分线与圆相交与点D，在垂直平分线上截取DI＝DB，且使点I在△ABC的内部即可．
【解答】（1）证明：如图①，连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC．
∵∠DBC，∠DAC是所对的圆周角，
∴∠DBC＝∠DAC，
∴∠DBC＝∠BAD．
根据角之间的关系可知∠IBD＝∠DBC+∠IBC．
又∵∠BID是△ABI的一个外角，
∴∠BID＝∠BAD+∠ABI，
∴∠IBD＝∠BID，
∴BD＝BI．
（2）证明：连接BI，
∵BD＝CD，
∴＝，
∴∠BAD＝∠DBC＝∠CAD，即AD平分∠BAC．
∵BD＝DI，
∴∠IBD＝∠BID．
∵∠BID是△ABI的一个外角，
∴∠BID＝∠BAD+∠ABI．
∵∠IBD＝∠DBC+∠CBI，
∴∠ABI＝∠CBI，即BI平分∠ABC，
∴I为△ABC的内心．
（3）如图②，点I即为△ABC的内心．


【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到圆的内心，三角形外角的性质及角平分线的性质，尺规作图等知识综合性较强，难度较大．
27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的动点，AC＝6，BC＝8，经过 C、D的⊙O交AC边于点M，交BC边于点N，且点M、N不与点C重合．

（1）若点D运动到AB的中点．
①如图①，当点M与点A重合时，求线段MN的长；
②如图②，连接MN，若MN∥AB，求线段MN的长；
（2）如图③，点D在运动过程中，⊙O半径r的范围为 　2.4≤r≤5　．

【分析】（1）①连接AN，DN，证明MN＝NB，在RtACN中，设MN＝NA＝x，根据勾股定理列出方程求解即可；
②连接CD，MN于E，证明，MN是直径，点E与点O重合，可得CD为直径，即可求出MN的长；
（2）D在AB上运动时，当CF⊥AB，且以CF为直径时，出现⊙O半径r最小值，当以AB为直径时，出现⊙O半径r最大值，分别求出CF和AB的值，即可求出⊙O半径r的范围．
解：（1）①如图①所示：连接AN，DN，
∵∠C＝90°，
∴AN是⊙O的直径，
∴∠NDA＝90°，
∴ND⊥AB，
∵D是AB的中点，
∴MN＝NB，
设MN＝NA＝x，则CN＝BC﹣NB＝8﹣x，
在RtACN中，∠C＝90°，根据勾股定理列方程可得，
62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝6.25，
∴MN＝6.25，
∴线段MN的长为6.25；

②如图②所示：连接CD，MN于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠DCN＝∠B，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠CMN，∠B＝∠CNM，
∴∠ACD＝∠CMN，∠DCN＝∠CNM，
∴ME＝CE，CE＝NE，
∴ME＝NE＝CE，
∵∠C＝90°，
∴MN是直径，
∴点E与点O重合，
∴CD是直径，
∴MN＝CD＝AB＝×10＝5；

（2）如图③所示：①D在AB上运动时，当CF⊥AB，且以CF为直径时，出现⊙O半径r最小值，2r＝CF，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵S△ABC＝AC•BC，S△ABC＝AB•BCF，
∴AC•BC＝AB•CF，
∴AC•BC＝AB•CF，
∴CF＝＝＝4.8，
∴2r＝CF＝4.8，
∴r＝2.4；
②D在AB上运动时，当以AB为直径时，出现⊙O半径r最大值，2r＝AB，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴2r＝AB＝10，
∴r＝5；
综上所述，⊙O半径r的范围为：2.4≤r≤5．
故答案为：2.4≤r≤5．

【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理等知识点，用分类讨论方法是解本题的关键，综合性较强，难度较大．