江苏省南京市建邺区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市建邺区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。）
1．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
2．某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为（　　）
A．88分 B．87.5分 C．87分 D．86分
3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA＝50°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5．三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）
7．方程x2＝3x的解为：　 　．
8．如表中24位营销人员某月销量的中位数是 　 　件．
每人销售量/件
600
5o0
400
350
300
200
人数

4
4
6
7
2
9．2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为S，则S　 　S（填“＞”、“＜”或“＝”）．

10．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1•x2＝﹣2，则b＝　 　，c＝　 　．
11．若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是　 　．
12．如图，半圆O的直径AD＝8cm，B、C是半圆上的两点，且∠ABC＝110°，则的长度为 　 　cm．

13．如图，正九边形的对角线AF、CH相交于点P，则∠CPF＝　 　．

14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
15．某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，且第一年的增长率是第二年的两倍．如果设第二年的增长率为x，则可列方程为 　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P在AB边上运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥PC，交射线CA于点Q，则线段CQ长度的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．
18．体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛．在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如表（单位：cm）：
甲
585
596
609
610
595
乙
580
603
613
585
624
（1）已知甲运动员的平均成绩是599cm，求乙运动员的平均成绩；
（2）从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩．
19．把一根长80cm的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于250cm2，应该怎样剪？
20．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB、AC分别与小圆分别相切于点D、E．求证：∠B＝∠C．

21．某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出：如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张．要使门票收入达到36750元，票价应定为多少元？
22．求证：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．

证明：作直径AE，连接BE、DE．
所以∠ABE＝∠ADE＝90°．
因为∠CBE＝∠CDE，（①）
所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．
同理∠DAB+∠BCD＝180°．
（1）证明过程中依据①是 　 　；
（2）请给出另一种证明方法．

23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且＝，BE分别交CD、AC于点F、G．
（1）求证：∠CAB＝∠DCB；
（2）求证：F是BG的中点．

24．已知关于x的一元二次方程是x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值．
25．如图，已知点D在△ABC边AC上，且AD＝AB，以AB为直径的⊙O与BC相切，与AC相交于点E．
（1）求证：∠BAD＝2∠DBC；
（2）当AD＝3，CD＝2时，求BD的长．

26．用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图，点P为⊙O内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕（保留痕迹，给出必要的文字说明）．
（1）折叠后圆弧经过点O、P；
（2）折叠后圆弧与过点P的直径相切，切点为P．

27．【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（﹣b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．

【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（﹣b﹣m）2，AB2＝（1﹣c）2+b2．在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2所以12+m2+c2+（﹣b﹣m）2＝（1﹣c）2+b2．
化简得：m2+bm+c＝0．同理可得：　 　．
所以m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2﹣3x﹣2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（﹣b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 　 　．



参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。）
1．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．
解：（x﹣1）2＝6，
x2﹣2x+1﹣6＝0，
x2﹣2x﹣5＝0，
即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
2．某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为（　　）
A．88分 B．87.5分 C．87分 D．86分
【分析】根据学期数学总成绩＝期中数学成绩×所占的百分比+期末数学成绩×所占的百分比即可求得学期总成绩．
解：他的数学学期总成绩为85×40%+90×60%＝88（分），
故选：A．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．解题的关键是根据期中、期末两次成绩所占的比例，列出算式，是一道基础题．
3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE＝BE＝3，根据勾股定理得出关于r是方程，再求出方程的解即可．
解：连接OA，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，

∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝32+（r﹣1）2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径是5，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA＝50°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA＝50°，根据三角形内角和定理求得∠AOC＝80°，由圆周角定理即可求出∠ABC的度数．
解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣（OAC+∠OCA）＝80°，
∴∠ABC＝∠AOC＝40°，
故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
5．三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为进行计算即可．
解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径r＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．
6．关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣
【分析】根据一元二次方程根的定义：将x＝2022代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以2022，可得结论．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，
∴20222a+2022b＝c，
∴a+＝，
∴﹣＝a，
∴x＝﹣是方程cx2+bx＝a的实数根．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。）
7．方程x2＝3x的解为：　x1＝0，x2＝3　．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案是：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．
8．如表中24位营销人员某月销量的中位数是 　350　件．
每人销售量/件
600
5o0
400
350
300
200
人数

4
4
6
7
2
【分析】根据求中位数的方法求即可．
解：表中的数据是按从小到大的顺序排列的，处于中间位置的是350和350，
因而中位数是＝350，
故答案为：350．
【点评】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9．2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为S，则S　＞　S（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【分析】根据气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温的波动要小，由方差的意义知，波动越小，数据越稳定，即方差越小．
解：观察气温统计图可知：这七天最低气温比较稳定，波动较小；故最低气温的方差小．
所以S＞S．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1•x2＝﹣2，则b＝　10　，c＝　﹣4　．
【分析】根据根与系数的关系解答．
解：∵x1+x2＝＝5，x1•x2＝＝﹣2，
∴b＝10，c＝﹣4．
故答案是：10；﹣4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
11．若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是　8π　．
【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为2，则底面周长＝4π，侧面展开图是半圆，则母线长＝4π×2÷2π＝4，
∴圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．
故答案为：8π．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键．
12．如图，半圆O的直径AD＝8cm，B、C是半圆上的两点，且∠ABC＝110°，则的长度为 　　cm．

【分析】连接OC，CD，由∠ABC＝110°，得∠D＝180°﹣110°＝70°，根据OC＝OD，所以∠OCD＝∠D＝70°，∠COD＝40°，即可求出答案．
解：如图，连接OC，CD，

∵∠ABC＝110°，
∴∠D＝180°﹣110°＝70°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D＝70°，
∴∠COD＝40°，
∴弧CD的长度为＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟记弧长公式和正确求出∠COD＝40°是关键．
13．如图，正九边形的对角线AF、CH相交于点P，则∠CPF＝　100°　．

【分析】设正九边形外接圆的外心为O，连接OA，OB，OC，AH，根据正多边形的性质得到∠AOB＝∠BOC＝＝40°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
解：设正九边形外接圆的外心为O，连接OA，OB，OC，AH，
则∠AOB＝∠BOC＝＝40°，
∴∠AOC＝80°，
∴∠AHC＝AOB＝40°，
同理∠PAH＝40°，
∴∠CPF＝∠APH＝180°﹣∠PAH﹣∠PHA＝100°，
故答案为：100°．

【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　钝角　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
【分析】利用判别式的意义得到a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，则b2+c2＜a2，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC是钝角三角形．
解：根据题意得a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0，
即b2﹣a2+c2＜0，
所以b2+c2＜a2，
所以△ABC是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，且第一年的增长率是第二年的两倍．如果设第二年的增长率为x，则可列方程为 　3000（1+2x）（1+x）＝3630　．
【分析】由第一年及第二年增长率间的关系，可得出第一年的增长率为2x，根据该农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵第一年的增长率是第二年的两倍．第二年的增长率为x，
∴第一年的增长率为2x．
依题意得：3000（1+2x）（1+x）＝3630．
故答案为：3000（1+2x）（1+x）＝3630．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P在AB边上运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥PC，交射线CA于点Q，则线段CQ长度的最小值为 　3　．

【分析】先取QC的中点O，连接PO，根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系可以得到OP和CQ的关系，然后可以得到当OP取得最小值时，CQ就可以取得最小值，然后根据题意可知，当OP⊥AB时取得最小值，再根据相似三角形的判定和性质可以得到OP的值，从而可以得到CQ的最小值．
解：取QC的中点O，连接PO，如图所示，
∵PQ⊥PC，
∴OP＝CQ＝OQ＝OC，
如果线段CQ长度的最小，只要OP的长度最小即可，故当OP⊥AB时，OP取得最小值，
设OP＝x，则AO＝4﹣x，
∵∠OAP＝∠BAC，∠APO＝∠ACB，
∴△APO∽△ACB，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴，
解得x＝，
∴CQ＝2x＝3，
即CQ的最小值为3，
故答案为：3．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2，
（x﹣3）2﹣（2x﹣1）2＝0，
[（x﹣3）+（2x﹣1）][（x﹣3）﹣（2x﹣1）]＝0，
∴3x﹣4＝0或﹣x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18．体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛．在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如表（单位：cm）：
甲
585
596
609
610
595
乙
580
603
613
585
624
（1）已知甲运动员的平均成绩是599cm，求乙运动员的平均成绩；
（2）从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩．
【分析】（1）根据平均数的计算公式进行解答即可；
（2）从中位数和平均数两方面进行分析，即可得出乙运动员的跳远成绩好．
解：（1）乙运动员的平均成绩是×（580+603+613+585+624）＝601（分）；

（2）把甲运动员的成绩从小到大排列为：585，595，596，609，610，
中位数是596分；
把甲运动员的成绩从小到大排列为：580，585，603，613，624，
中位数是603分；
从中位数来看，乙运动员的跳远成绩好，从平均成绩来看，也是乙运动员的跳远成绩好．
【点评】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
19．把一根长80cm的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于250cm2，应该怎样剪？
【分析】利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可．
解：设剪成的一段为xcm，则另一段就为（80﹣x）cm，
由题意得（）2+（）2＝250；
解得：x1＝42，x2＝38．
答：剪成的一段为42 cm，则另一段就为38 cm．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．
20．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB、AC分别与小圆分别相切于点D、E．求证：∠B＝∠C．

【分析】连接OD、OE，OA，如图，先根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，再根据垂径定理得到AD＝BD，AE＝CE，则利用勾股定理可证明AD＝AE，所以AB＝AC，然后根据等腰三角形的性质得到结论．
【解答】证明：连接OD、OE，OA，如图，
∵大圆弦AB、AC分别与小圆分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AD＝，AE＝，
∴AD＝AE，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．
21．某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出：如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张．要使门票收入达到36750元，票价应定为多少元？
【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数＝获得门票收入，即可列出一元二次方程解题．
解：设票价应定为x元，依题意有
x[1200﹣30（x﹣30）]＝36750，
30x2﹣2100x+36750＝0，
解得：x1＝x2＝35．
答：票价应定35元．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22．求证：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．

证明：作直径AE，连接BE、DE．
所以∠ABE＝∠ADE＝90°．
因为∠CBE＝∠CDE，（①）
所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．
同理∠DAB+∠BCD＝180°．
（1）证明过程中依据①是 　在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等　；
（2）请给出另一种证明方法．

【分析】（1）根据圆周角定理可得答案；
（2）连接BO，DO，根据圆周角定理证得∠A＝∠2，∠C＝∠1，进而根据∠1+∠2＝360°，证得∠A+∠C＝180°即可证得结论．
【解答】证明：连接BO，DO，
由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，
∵∠1+∠2＝360°，
∴∠A+∠C＝180°，
同理∠B+∠D＝180°．
即圆内接四边形的对角互补．

【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且＝，BE分别交CD、AC于点F、G．
（1）求证：∠CAB＝∠DCB；
（2）求证：F是BG的中点．

【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，所以∠CAB＝∠DCB；
（2）由弧CE＝弧BC，∠CBE＝∠CAB，所以∠CBE＝∠BCD，FB＝FC，再根据∠CGB+∠CBG＝∠DCG+∠BCF＝90°，得∠CGB＝∠DCG，所以FC＝FG，即可得FB＝FG．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAB+∠ACD＝90°，
∴∠CAB＝∠DCB；
（2）∵弧CE＝弧BC，
∴∠CBE＝∠CAB，
∵∠CAB＝∠DCB，
∴∠CBE＝∠BCD，
∴FB＝FC，
∵∠CGB+∠CBG＝∠DCG+∠BCF＝90°，
∴∠CGB＝∠DCG，
∴FC＝FG，
∴FB＝FG，
∴F是BG的中点．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径对的圆周角是直角．
24．已知关于x的一元二次方程是x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；
（2）设方程有两个实数根x1，x2，根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，且x1＝2x2得出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×1×（m+1）
＝m2+4m+4﹣4m﹣4
＝m2≥0，
∴无论m取何值，此方程总有两个实数根；
（2）解：设方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝m+1，且x1＝2x2
∴3x2＝，2＝m+1，
∴m2﹣14m﹣14＝0，
∴m＝．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
25．如图，已知点D在△ABC边AC上，且AD＝AB，以AB为直径的⊙O与BC相切，与AC相交于点E．
（1）求证：∠BAD＝2∠DBC；
（2）当AD＝3，CD＝2时，求BD的长．

【分析】（1）连接AF，如图，根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，则利用等腰三角形的性质得到AF平分∠BAD，所以∠BAD＝2∠BAF，再根据切线的性质得到∠ABC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BAF＝∠DBC，从而得到∠BAD＝2∠DBC；
（2）连接BE，如图，先利用勾股定理计算出BC＝4，再利用面积法计算出BE＝＝，接着利用勾股定理计算出AE＝，所以DE＝，然后在Rt△BDE中利用勾股定理可计算出BD．
【解答】（1）证明：连接AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥BD，
∵AB＝AD，
∴AF平分∠BAD，
即∠BAD＝2∠BAF，
∵以AB为直径的⊙O与BC相切，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠DBC＝90°，
∴∠BAF＝∠DBC，
∴∠BAD＝2∠DBC；
（2）解：连接BE，如图，
∵AD＝3，CD＝2，
∴AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵BE•AC＝AB•BC，
∴BE＝＝，
∴AE＝＝＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
在Rt△BDE中，BD＝＝＝．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．
26．用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图，点P为⊙O内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕（保留痕迹，给出必要的文字说明）．
（1）折叠后圆弧经过点O、P；
（2）折叠后圆弧与过点P的直径相切，切点为P．

【分析】（1）连接OP，作线段O判定垂直平分线交⊙O于点T，连接OT，作线段OT的垂直平分线交⊙O于点E，F，以T为圆心作即可；
（2）连接PO，延长PO交⊙O于点K，作线段PK的垂直平分线交⊙O于点R，J，作即可．
解：（1）如图①中，折痕TQ，即为所求．
（2）如图②中，折痕RJ，即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（﹣b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．

【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（﹣b﹣m）2，AB2＝（1﹣c）2+b2．在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2所以12+m2+c2+（﹣b﹣m）2＝（1﹣c）2+b2．
化简得：m2+bm+c＝0．同理可得：　n2+bn+c＝0　．
所以m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2﹣3x﹣2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（﹣b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 　ax2+bx+c＝0　．

【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可；
（2）用尺规作图法做出以AB为直径的圆即可；
（3）先根据题意得出方程x2﹣6x+9＝0，再根据判别式Δ＝0，得出圆与x轴的位置关系；
（4）由题意直接得出结论．
解：（1）AN2＝12+n2，BN2＝c2+（﹣b﹣n）2，AB2＝（1﹣c）2+b2，
在Rt△ABM中，AN2+BN2＝AB2，
∴12+n2+c2+（﹣b﹣n）2＝（1﹣c）2+b2，
化简得：n2+bn+c＝0，
故答案为：n2+bn+c＝0；
（2）先在坐标系内找到A（0，1），B（3，﹣2），连接AB，
分别A，B为圆心，以大于AB为半径画弧，连接两弧的交点与AB交于点P，
以P为圆心，以AB为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．
如图所示：

（3）由题意得：x2﹣6x+9＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，
∴方程x2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，
∴⊙C与x轴只有一个交点，即⊙C与x轴相切；
（4）由题意得，以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是ax2+bx+c＝0．
故答案为：ax2+bx+c＝0．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用，关键是对一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法的理解和运用．