高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后测评-教习网|<title>
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    1.2空间向量基本定理 同步训练-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含答案)
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后测评

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后测评,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( )
    A.2a B.2b
    C.2a+3b D.2a+5c
    2.如图,设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若eq \(OG,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+yeq \(OB,\s\up6(→))+zeq \(OC,\s\up6(→)),则(x,y,z)为( )

    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4),\f(1,4),\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),\f(3,4),\f(3,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),\f(1,3),\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3),\f(2,3),\f(2,3)))
    3.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cs〈a,a+b〉=( )
    A.-eq \f(31,35) B.-eq \f(19,35)
    C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)
    4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AC,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,用a,b,c表示向量eq \(MN,\s\up6(→))为( )

    A.eq \f(1,3)a+eq \f(1,3)b-c B.a+eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c C.eq \f(1,3)a-eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)a+eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c
    5.已知{e1,e2,e3}为空间向量的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,
    d=e1+2e2+3e3,且d=αa+βb+γc,则α,β,γ的值为( )
    A.α=eq \f(5,2),β=-1,γ=-eq \f(1,2) B.α=-1,β=eq \f(5,2),γ=-eq \f(1,2)
    C.α=-eq \f(1,2),β=eq \f(5,2),γ=-1 D.α=-1,β=-eq \f(1,2),γ=eq \f(5,2)
    6.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC与BD交于点O,G为BD上一点,BG=2GD,eq \(PA,\s\up6(→))=a,eq \(PB,\s\up6(→))=b,eq \(PC,\s\up6(→))=c,用基底{a,b,c}表示向量eq \(PG,\s\up6(→))=( )

    A.eq \f(2,3)a-eq \f(1,3)b+eq \f(2,3)c B.eq \f(2,3)a+eq \f(2,3)b-eq \f(1,3)c C.-eq \f(1,3)a+eq \f(2,3)b+eq \f(2,3)c D.a+b+c
    7.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是( )
    A.(12,14,10) B.(14,12,10)
    C.(10,12,14) D.(12,10,14)
    8.(多选)(2021年张家口期中)下列说法中正确的是( )
    A.空间向量的一个基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3一定都是非零向量
    B.在空间向量基本定理中,若a=0,则λ1=λ2=λ3=0
    C.若单位向量e1,e2的夹角为eq \f(2π,3),则e1在e2方向上的投影向量是-eq \f(1,2)e2
    D.空间的基底是唯一的
    9.(多选)(2021年青岛月考)已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\(MA,\s\up6(→)),\(MB,\s\up6(→)),\(MC,\s\up6(→))))成为空间的一个基底的是( )
    A.eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→)) B.eq \(MA,\s\up6(→))=eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(MC,\s\up6(→))
    C.eq \(OM,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)) D.6eq \(OM,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+2eq \(OB,\s\up6(→))+3eq \(OC,\s\up6(→))
    二、填空题
    10.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,PB,PC上分别取eq \(PQ,\s\up6(→))=a,eq \(PR,\s\up6(→))=b,eq \(PS,\s\up6(→))=c,点G在PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,则eq \(GH,\s\up6(→))=________(用a,b,c表示).
    11.已知在四面体ABCD中,eq \(AB,\s\up6(→))=a-2c,eq \(CD,\s\up6(→))=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则eq \(EF,\s\up6(→))=________
    12.若{a,b,c}是空间向量的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条件是________
    13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若向量eq \(AE,\s\up6(→))在以{eq \(AA1,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))}为单位正交基底下的坐标为(1,x,y),则x=________,y=________
    三、解答题
    14.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,M是PC的中点,问向量eq \(PA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MD,\s\up6(→))是否可以组成一个基底,并说明理由.

    15.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
    (1)用向量a,b,c表示eq \(D1B,\s\up6(→)),eq \(EF,\s\up6(→));(2)若eq \(D1F,\s\up6(→))=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.

    参考答案:
    一、选择题
    1.D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.A 7.A 8.ABC 9.AC
    二、填空题
    10.答案:-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c 11.答案:3a+3b-5c 12.答案:x=y=z=0 13.答案:eq \f(1,2),eq \f(1,2)
    三、解答题
    14.解:eq \(PA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.
    理由如下:如图,连接AC,BD相交于点O,连接OM.
    因为ABCD是平行四边形,所以O是AC,BD的中点.
    在△BDM中,eq \(MO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(MD,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))),
    在△PAC中,M是PC的中点,O是AC的中点,
    则eq \(MO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→)),即eq \(PA,\s\up6(→))=eq \(MD,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→)),即eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(MD,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→))共面.所以eq \(PA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.
    15.解:(1)eq \(D1B,\s\up6(→))=eq \(D1D,\s\up6(→))+eq \(DB,\s\up6(→))=-eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))=a-b-c,
    eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(EA,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(D1A,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))=-eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)(a-c).
    (2)eq \(D1F,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(D1D,\s\up6(→))+eq \(D1B,\s\up6(→)))=eq \(D1D,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))=eq \(A1A,\s\up6(→))+eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→)))=-eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=-c+eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b,
    所以x=eq \f(1,2),y=-eq \f(1,2),z=-1.
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