2021鹤壁淇滨高级中学高二下学期第三次周考数学（文）试卷含答案

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鹤壁市淇滨高中2020-2021学年下学期第三次周考高二文科数学试卷考试时间：120分钟 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共12题60分）1．若集合，则（ ）A． B． C． D．2．“”是“直线与直线平行”的（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A．（1，2） B．（1，5） C．（2，3） D．（2，5）4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）A． B． C． D．5．已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．6．已知函数（，，均为正常数），相邻两个零点的差为，对任意，恒成立，则下列结论正确的是（ ）A． B．C． D．7．已知，则（ ）A． B． C． D．58．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）A．3 B．6 C．9 D．129．如果点在平面区域上，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．10．已知函数，有如下四个结论：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴为；③，都有，则的最小值为；④，使得，则的最大值为.其中所有正确结论的编号是（ ）A．①② B．①③ C．①④ D．②③11．设是定义在R上的偶函数，且时，当时，，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（ ）A． B． C． D．12．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共4道题20分）13．不等式≥0的解集为_______．14．设实数，，满足约束条件，则的最小值为___________．15．已知向量，则与的夹角大小为___________.16．给出下列4个命题，其中正确命题的序号____________.①；②函数有5个零点；③函数的图象关于点对称.④已知复数满足，且，则.三、解答题（每题12分，共60分）17．已知全集，集合，，（1）求，；（2）已知集合，若，求实数a的取值范围．18．如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.19．随着科技的发展，近年看电子书的国人越来越多；所以近期有许多人呼呼“回归纸质书”，目前出版物阅读中纸质书占比出现上升现随机选出200人进行采访，经统计这200人中看纸质书的人数占总人数.将这200人按年龄分成五组：第l组，第2组，第3组，第4组，第5组，其中统计看纸质书的人得到的频率分布直方图如图所示.（1）求的值及看纸质书的人的平均年龄；（2）按年龄划分，把年龄在的称青壮年组，年龄在的称为中老年组，若选出的200人中看电子书的中老年人有10人，请完成下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为看书方式与年龄层有关？附：（其中）.20．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上位于轴上方一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为2.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程.21．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若存在实数，使得对于任意的恒成立，求实数m的取值范围.四、选做题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，(α为参数)，直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.23．已知，.（1）求证：；（2）若，求的最小值.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案1．C【分析】先解一元二次不等式化简集合A，再进行交集运算即可.【详解】由解得或，故或，又，所以.故选：C.2．A【分析】由直线平行的判定有，求得m值，注意验证直线是否平行而非重合，根据等价原则判断条件间的充分、必要性.【详解】若直线与直线平行，则，∴，当时，两条直线都为，即重合，舍掉；当时，直线分别为、，符合题意；故“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：A.3．A【分析】作出函数图象，有2个实根，故方程有3个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围.【详解】由，得或，作出的图象，如图所示，由图可知，方程有2个实根，故方程有3个实根，故m的取值范围为.故选：A【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解4．C【分析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.在上单调递减，故错误；C.因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；D.因为，所以函数是偶函数，故错误；故选： C．5．A【分析】如图，取的中点，连接，则由题意可得为异面直线与所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可【详解】解：设正四面体的棱长为，如图，取的中点，连接，因为点为棱的中点，所以∥，，所以为异面直线与所成的角或其补角，因为正四面体的棱长为，所以，所以，故选：A6．A【分析】根据正弦型函数图象的性质得出解析式，再由正弦函数的单调性得出大小关系.【详解】解：函数（，，均为正常数）相邻两个零点的差为，所以，所以对任意，恒成立即，故所以．故，由于，函数在上单调递减故．故选：A．【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦函数的单调性比较大小，从而得出大小关系.7．B【分析】根据，求得的坐标，然后利用数量积运算求解.【详解】因为，所以，所以，故选：B8．A【分析】根据等差数列的求和公式求出公差即可求解.【详解】因为等差数列中，，所以，所以，则.故选：A9．A【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，通过数形结合即可的得到结论.【详解】如图，先作出点所在的平面区域.表示动点P与定点连线的斜率.联立，解得.于是.因此.故选：A.10．B【分析】化简函数解析式，构造新函数，利用函数的奇偶性的定义判断①，化简函数解析式求解对称轴以及定义域判断②，利用基本不等式求解函数的最值判断③④.【详解】函数.①令，，因为，所以是奇函数，所以函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称；所以①正确；②函数，当时，函数取得最大值，但是函数的定义域为：，定义域不关于对称，所以判断函数的图象的一条对称轴为不正确，所以②不正确；③，都有，即，当时， ，因为，所以，当且仅当时取等号，当时，因为，所以，当且仅当时取等号，综上，，所以，所以的最小值为，所以③正确；④，使得，即，所以，的最大值为，所以④不正确；故选：B.【点睛】利用恒成立问题求解参数范围时，一般利用参变分离法将不等式变形为或恒成立，再转化为求解函数的最大（小）值，然后根据函数的性质或者基本不等式求解最大（小）值.11．D【分析】根据已知条件判断函数周期性，结合函数性质画出函数图象，把方程根的问题转化为两个函数图象的交点问题，再利用数形结合的思想求得参数取值范围即可.【详解】∵是偶函数，∴，又，∴对于任意的，都有，所以，所以函数是一个周期函数，且，又因为当时，，且函数是定义在R上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则函数与在区间上有四个不同的交点，作函数和的图象，如图所示，需，又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是. 故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法：（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组）解出参数取值范围即可.12．B【分析】函数在区间上有三个零点转化为与在区间上有三个交点，借助斜率求解即可.【详解】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.又，所以结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.13．；【分析】把分式不等式转化整式不等式，再利用一元二次不等式的结论求解．【详解】．故答案为：．14．【分析】作出可行域，再将直线变形为，结合图像判断出直线过点C时取最小值，代入计算.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，则变形得，由图可知，当直线过点C时，取最小值，计算得点C坐标为，代入计算得.故答案为：.15．【分析】由向量数积的坐标公式，可求得答案.【详解】由向量，则， 则，由与的夹角的范围为.与的夹角大小为 故答案为：16．②③【分析】①分别与比较大小，即可得大小关系；②作出函数图象判断交点个数；③计算即可判断；④设，表示出，解得或，再分别讨论即可.【详解】对①，因为，，，所以，故①不正确；对②，有五个零点，即函数与有五个交点，做出函数图象如图所示，可知②正确；对③，因为，所以函数关于点对称，故③正确；对④，设，由题意，，所以，得或，当时，，解得或（舍去），此时；当时，，解得，，则，故④不正确.故答案为：②③【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．17．（1）；；（2）【分析】（1）解不等式求得集合，再利用集合的交集、补集以及并集运算求得结果；（2）先求集合补集，结合数轴确定实数取值范围，解不等式可得实数的取值范围.【详解】（1） 又，，（2）， 当时，，满足，即，解得当时，，要满足，结合数轴：由数轴可知，，解得：综上可知，实数a的取值范是：【点睛】易错点睛：本题考查利用集合的并集结果确定参数问题，易错点是要注意：的补集时全集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用线面平行的判定定理证明即可．【详解】（1）证明：因为在直三棱柱中，底面，所以，又因为，，所以平面.（2）取的中点，因为为的中点，所以，且，因为为的中点，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.19．（1）,；（2）列联表见解析，能.【分析】（1）由频率分布直方图均值公式计算求解即可；（2）计算各段的人数完成列联表，利用公式求解的值求解，对照临界值表判断下结论即可【详解】（1）由图可得：，得所以看纸质书的人的平均年龄为：.（2）由题意得看纸质书和电子书的人数分别为：，.所以看纸质书的160人中，青壮年组、中老年组的人数分别为：.所以列联表为：计算得的观测值为，所以我们能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为看书方式与年龄层有关.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验的应用，考查运算求解能力，是中档题20．（1）；（2）.【分析】（1）设线段的中点为，则由题意可得，，从而可得，再由的面积为2，可求出，再利用勾股定理可求得，从而可求出，进而可得椭圆的方程；（2）先判断出直线的斜率不为0，则直线的方程为，，，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系数的关系，由可得，从而可求出的值，进而可求出直线方程【详解】解：（1）设线段的中点为，则，又是的中位线，所以，，由椭圆的定义知，因为面积为，解得，因为，解得，所以，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率为0时，此时，不合题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，，由（1）知，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线过点，不符合题意，所以直线的方程为.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由得，再结合根与系数的关系可求出直线方程，考查计算能力，属于中档题21．（1）增区间为，减区间为，；（2）.【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后通过判断导函数的正负可求得函数的单调区间；（2）由题意可得对于任意的恒成立，即，令，即对于任意的恒成立，然后利用导数求的最大值，使其小于等于零，从而可求出实数m的取值范围【详解】解：（1）定义域为，，，当时，令，得，所以的增区间为，减区间为，（2），即即存在，使得，故对于任意的恒成立，即，令，即对于任意的恒成立，，设，，当时，，在单调递增，又，，所以存在唯一的，使得，当时，，则，是减函数，所以，不符合题意，所以，下证当时，恒成立，，所以，即在上单调递减，综上，.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为对于任意的恒成立，即，然后构造函数，利用导数解决，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题22．（1）：ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0，：；（2）.【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求.【详解】（1）曲线C1的参数方程为(α为参数)，直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直线C2的方程为y=，极坐标方程为；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣(2+2)ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴=.23．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）根据条件得，从而证明不等式成立；（2）根据条件得，然后利用基本不等式，即可求的最小值，注意等号成立的条件.【详解】（1）证明：∵，.∴，∴.（2）∵，，，∴，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为3.二．填空题（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写每题5分共20分）13. ______________________ 14. _______________________ 15.______________________ 16.______________________三．解答题（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！17题（12分）18题（12分） 19题（12分） 20题（12分）21题（12分）22、□ 23、□（10分）鹤壁市淇滨高中2020-2021学年高二下学期第三次周考数学（文科）答题卷考号 ______________ 姓名______________班级________________ 一．选择题（用2B铅笔涂黑选项每题5分共60分）考生须知考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。选择题作答时，必须用2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔作答。严格按照答题要求，在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用 0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。保持卷面清洁，不要将答题卷折叠，弄破。