高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.3 正态分布优秀精练

第8章 概率

8.3正态分布

知识点01  正态曲线

1. 定义∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”，称为正态曲线（钟形曲线），它对应的函数为，其中μ=E（X），σ=.

2.性质∶

（1）正态曲线关于x=μ对称（即μ决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点；

（2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；

（3）σ决定正态曲线的“胖瘦”∶σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

3.面积∶正态曲线与x轴在区间[μ，μ+σ]内所围的面积约为0.3413，在区间[μ+σ，μ+2σ]内所围的面积约为0.1359，在区间[μ+2σ，μ+3σ]内所围的面积约为0.0215.r如图：

注意：（1）二项分布分布列的直观图的特点∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的性质.

（2）参数u是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；o是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

【即学即练1】（2022·上海·华师大二附中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．对任意正数，

D．对任意正数，

【即学即练2】（2022·全国·）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）

（注：正态曲线的函数解析式为，）

A．甲类水果的平均质量

B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大

D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数

知识点02  正态分布 

1.定义：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于μ，σ（x）对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X~N（u，σ2），此时μ，σ（x）称为X的概率密度函数，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差.

2. 正态分布在四个特殊区间内取值的概率若X~N（μ，σ2）则

（1）P（X≤μ）=P（X≥μ）=50%；

（2）P（|X-μ|≤σ）=P（u- σ≤X≤μ+σ）≈68.3%；

（3）P（|X-μ|≤2σ）=P（u- 2σ≤X≤μ+2σ）≈95.4%；

（4）P（|X-μ|≤3σ）=P（u- 3σ≤X≤μ+3σ）≈99.7%.

1.正态分布的3σ原则

由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上面可知在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率为4.6%，在(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%，于是正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．

由3σ原则我们可以知道，随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率是非常小的，这种事件我们称为小概率事件．通常情况下，我们认为小概率事件是不可能发生的，一旦发生就认为系统有问题或不正常．

【即学即练3】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

【即学即练4】正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布（单位：m），，则（    ）

A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9

知识点03  标准正态分布

1.定义∶μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布.

2.（a）的概念∶如果X~N（0，1），那么对于任意a，通常记（a）=P（X<a），即（a）表示N~（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（- ∞，a）内所围的面积.

3.（a）的性质：（- a）+（a）=1.

【即学即练5】（2020·黑龙江实验中学）如图是正态分布的正态曲线图，下面个式子中：①；②；③；等于图中阴影部分面积的个数为（    ）注：

A．0 B．1 C．2 D．3

【即学即练6】(多选)（2022·江苏·滨海县五汛中学）（多选）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ）

A． B．

C． D．

◆考点01 正太曲线及其性质的应用

【典例1】（2022·全国·）已知随机变量，令，，则下列等式正确的序号是（    ）

①        ②

③    ④

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③

【典例2】（2022·全国·）已知随机变量服从正态分布，，，则的最小值为____________．

【典例3】（2022·全国·）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从．若，则______．

◆考点02 3原则

【典例4】（2022·全国·）随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（    ）

附：

A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759

【典例5】（2022·浙江·宁波市北仑中学）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）

附：若，则，.

A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413

◆考点03 正太分布的应用

【典例6】（2022·湖南·安仁县第一中学）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；

(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；

(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

【典例7】（2021·辽宁·沈阳二十中）从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．

(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数

①利用该正态分布，求．

②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求．

附：．若随机变量服从正态分布，则，，.

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：

甲：；

乙：；

丙：；

丁：

如果只有一个假命题，则该命题为（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

2．某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（    ）

A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09

3．若，则（    ）

（参考数据：，）

A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865

4．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（    ）（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）

A．17 B．23 C．34 D．46

5．若随机变量，其中，则下列等式中成立的是（    ）．

A． B． C． D．

6．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ）

A．越大，男生成绩在的概率越小

B．越大，男生成绩大于72的概率为0.5

C．越大，男生成绩小于71.99与大于72.01的概率相等

D．越大，男生成绩落在与落在的概率相等

二、多选题

7．已知随机变量服从二项分布，其方差，随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A． B．

C． D．

8．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则（    ）

A．该校学生成绩的期望为

B．该校学生成绩的标准差为

C．该校学生成绩的标准差为

D．该校学生成绩及格率超过

9．已知随机变量，函数，则

A．当时，取得最大值

B．曲线关于直线对称

C．轴是曲线的渐近线

D．曲线与轴之间的面积小于1

10．已知，，则下列结论中正确的是（     ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

三、填空题

11．设随机变量服从正态分布，若，则____________．

12．已知随机变量X~N（1，），且P=2P，则P=__________.

13．已知随机变量，，且，，则_________.

四、解答题

14．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．

(1)求和；

(2)已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．

参考数据：若，则：

，，

，．

15．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．

(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；

(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．

参考数值：，， ．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8

2．设随机变量，且，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

4．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（    ）

（注：若，，，）

A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755

5．已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（    ）

[附：若，则，

．]

A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413

6．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（    ）

（参考数据：①；②；③）

A．这次考试成绩超过100分的约有500人

B．这次考试分数低于70分的约有27人

C．

D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为

二、多选题

7．已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则（    ）

A．P(25.35<<25.45)=0.8 B．E(X)=2.4

C．D(X)=0.48 D．

8．已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ）

（参考数据：①；②；③）

A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分

B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多

C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人

D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为

9．通过长期调查知，人类汗液中指标的值服从正态分布.则（    ）

参考数据：若，则；.

A．估计人中汗液指标的值超过的人数约为

B．估计人中汗液指标的值超过的人数约为

C．估计人中汗液指标的值不超过的人数约为

D．随机抽检人中汗液指标的值恰有人超过的概率为

10．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（    ）

参考数据: 若 , 则

，

A．

B．对于任意的正数，有

C．

D．

三、填空题

11．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．

12．已知随机变量服从正态分布，且，则___________.（附：若，则，，）

13．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．

四、解答题

14．为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.

(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

(2)可以认为这次竞赛成绩近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为，的近似值），已知样本标准差，如有的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？

(3)从的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.

参考数据：若，则.

15．第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar．2022）足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：

(1)求这100份试卷成绩的平均数；

(2)假设此次知识竞赛成绩X服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知s的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？

(3)知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．

参考数据：若，则：；；．

题组C  培优拔尖练

网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.

（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；

②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？

（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.