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高中数学9.1线性回归分析课堂检测
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这是一份高中数学9.1线性回归分析课堂检测，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
9.1线性回归分析苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是( )
A. 在经验回归方程y=2−0.5x中，若解释变量x增加1个单位，则预测值y平均减少0.5个单位
B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线
C. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r就越接近于1
D. 若甲、乙两个模型的决定系数R2分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好
2. 相关变量x,y的散点图如图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y=b1x+a1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：y=b2x+a2，相关系数为r2.则( )
A. 0
A. r1=r2 B. r1r2 D. 无法判定
4. 样本数据1的所有点(xi,yi)在散点图中都在直线y=−2x+3上，其相关系数为r1，样本数据2的所有点(mi,ni)在散点图中都在直线y=2x−3上，其相关系数为r2，则r1与r2的关系是( )
A. r2<0
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售y
11
10
8
6
5
y与x的回归直线方程是：y=−3.2x+a，相关系数|r|=0.986，下列说法错误的是( )
A. a=40 B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点(9.5,10)的残差约为−0.4 D. 当x=8时，y的估计值为14.4
6. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y(单位：千件)与售价x(单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：
x
5
6
7
8
9
y
8
6
4.5
3.5
3
根据表中的数据可得回归直线方程y=−1.25x+13.75，以下说法正确的是( )
A. x，y具有负相关关系，相关系数r=−1.25
B. x每增加一个单位，y平均减少13.75个单位
C. 第二个样本点对应的残差e2=0.25
D. 第三个样本点对应的残差e3=−0.5
7. 已知下列命题：①回归直线y=bx+a恒过样本点的中心(x,y)，且至少过一个样本点；
②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；
③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；
④在回归直线方程y=2-0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量y平均减少0.5；
⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；
⑥对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
则正确命题的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y=ebx−0.5，其一组数据如下表所示：
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e5
若x=5，则预测y的值可能为( )
A. e152 B. e112 C. e7 D. e5
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论正确的有( )
A. 若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=2D(ξ)+1
B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 若样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,n)线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点(x,y)
D. 样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
10. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成年份序号x(2012年作为第1年)的函数.运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的为( )
注：其中R2=1−i=1nyi−yi2i=1nyi−y2，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
A. 销售额y与年份序号x呈正相关关系
B. 销售额y与年份序号x线性相关不显著
C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D. 根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元
11. 下列说法中正确的是( )
A. 对于独立性检验，X2的值越大，说明两事件的相关程度越大
B. 以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c,k的值分别是e4和0.3
C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y=a+bx中，b=2,x=1,y=3，则a=1
D. 通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可以精确反映变量的取值和变化趋势
12. 为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y=cekx拟合比较合适.令z=lny，得到z=1.3x+a，经计算发现x, z满足下表：
天数x(天)
2
3
4
5
6
z
1.5
4.5
5.5
6.5
7
则( )
A. c=e−0.2 B. k=1.3 C. c=e0.2 D. k=−1.3
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (1)已知复数z=2+i，则z1+i在复平面上对应的点坐标为______．
(2)已知随机变量X+η=8，若X～B(10,0.6)，则E(η) = ________，D(η)=_____．
(3)已知下列命题：
①在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；
②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
③在回归直线方程∧ =−0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量∧ 平均减少0.5个单位；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中正确命题的序号是__________．
(4)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______．
14. 下列说法：
①线性回归方程y=bx+a必过x,y；
②命题“∀x≥1,x2+3≥4”的否定是“∃x<1,x2+3<4”
③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2=8.079，则有99％的把握认为这两个变量间有关系；
其中正确的说法是__________.(把你认为正确的结论都写在横线上)
本题可参考独立性检验临界值表：
15. 用指数模型y=c·ekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，变换后得到线性回归直线方程z=0.3x+4，则常数c的值为_________．
16. 在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx+a的周围，令z=lny，求得回归直线方程z∧=0.25x-2.58，则该模型的回归方程为
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第x年为这台设备支出的年度保养维修费y(单位：千元)的部分数据：
x
2
3
4
5
6
y
2.1
3.4
5.9
6.6
7.0
画出散点图如下：
通过计算得y与x的相关系数r≈0.96.由散点图和相关系数r的值可知，y与x的线性相关程度很高．
(1)建立y关于x的线性回归方程y=bx+a；
(2)若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据(1)得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
附：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
18. (本小题12.0分)
20个工业企业某年的平均固定资产价值与总产值(单位：百万元)如表所示．
企业编号
年平均固定资产价值
年总产值
企业编号
年平均固定资产价值
年总产值
1
36
32.0
11
50
45.5
2
43
40.2
12
70
65.0
3
50
47.5
13
62
56.0
4
40
41.5
14
58
55.0
5
55
51.0
15
58
55.0
6
58
53.4
16
63
57.0
7
38
33.8
17
64
54.2
8
45
42.8
18
53
56.5
9
47
45.6
19
54
50.2
10
42
40.8
20
56
49.2
设年平均固定资产价值为x，年总产值为y，单位均为百万元.试画出散点图，计算相关系数．
19. (本小题12.0分)
科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
x(年龄/岁)
26
27
39
41
49
53
56
58
60
61
y(脂肪含量/%)
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根据上表的数据得到如下的散点图．
根据上表中的样本数据及其散点图：
(1)求x;
(2)计算样本相关系数(精确到0.01)，并刻画它们的相关程度．
参考数据y=27，i=110xiyi=13527.8，i=110xi2=23638，i=110yi2=7759.6，43≈6.56，2935≈54.18
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nx·yi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2
20. (本小题12.0分)
一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据：
x
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
y
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
(1)通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；
②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？(均精确到0.001)
附注：①参考数据：i=110xi=14.45, i=110yi=27.31，i=110xi2−10x2=0.850, i=110yi2−10y2=1.042,b=1.222，
②参考公式：相关系数r=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2，回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2, a=y−bx．
21. (本小题12.0分)
家族中兄弟或姐妹的智商是否有相关性一直是教育工作者、社会学家、生理学家关注的一个问题，日本学者在1989年曾对45对兄弟的智商进行测试，得出下表的结果，其中，X表示“哥哥的智商分数”，Y表示“弟弟的智商分数”．
X
78
77
112
114
104
99
92
80
113
Y
114
68
116
123
107
81
76
90
91
X
99
97
80
84
89
100
111
75
94
Y
95
106
99
82
77
81
111
80
98
X
67
46
106
99
102
127
113
91
91
Y
82
56
117
98
89
113
112
103
93
X
96
100
97
82
43
77
109
99
99
Y
90
102
104
92
43
100
90
100
103
X
100
56
56
67
71
66
78
95
38
Y
103
67
67
67
66
63
76
86
64
(1)请画出散点图，并求Y与X间的样本相关系数;
(2)建立Y关于X的线性回归方程，并预测当X为110时Y的值．
22. (本小题12.0分)
某企业为了提升行业竞争力，加大了科技研发资金投入．该企业连续6年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下：
科技投入x
2
4
6
8
10
12
收益y
5.6
6.5
12.0
27.5
80.0
129.2
并根据数据绘制散点图如图所示：
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y=c·2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
y
z
i=16(xi−x)(yi−y)
i=16(xi−x)(zi−z)
i=16(yi−y)2
i=16(xi−x)2
43.5
4.5
854.0
34.7
12730.4
70.0
其中zi=log2yi，z=16i=16zi．
(1)①请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(保留一位小数)；
②根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿元，则科技投入的费用至少要多少？(其中log25≈2.3)
(2)乙认为样本点分布在二次曲线y=mx2+n的周围，并计算得回归方程为y=0.92x2−12.0，以及该回归模型的相关指数R2=0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．
附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=i=1n(ui−u)(vi−v)i=1n(ui−u)2，α=v−βu，相关指数：R2=1−i=1n(vi−vi)2i=1n(vi−v)2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查统计初步知识的应用问题，主要是线性回归直线的特征和决定系数、相关指数和模型拟合的效果，属于中档题．
根据“线性回归方程 y=2−0.5x即可判断A；根据回归直线的几何意义判断B；由相关系数r与变量的相关性的关系，可判断C；由模型的R 2与效果的关系，可判断D．
【解答】
解：对于A，回归直线方程 y=2−0.5x中，当解释变量 x增加1个单位时，预报变量 y平均减少0.5个单位，正确；
对于B，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确，回归直线也可能不过任何一个点；
对于C，如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1，不正确，应为相关系数r的绝对值就越接近于1；
对于D，甲、乙两个模型的R 2分别约为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好，不正确，应为模型甲的拟合效果更好．
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了利用散点图判断两个变量的相关关系，线性回归直线方程，相关系数，是基础题．
由散点图可知，线性负相关，故r1<0，r2<0，点(10,21)较偏离整体，剔除后，相关性更强，由此得出结论．
【解答】
解：由图可知变量x，y负相关，
所以r1<0，r2<0，
剔除点(10,21)后，剩下的点的数据更具有线性相关性，r2更接近−1，
所以−1
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．
根据A、B两组样本数据的散点图分布特征，即可得出r1、r2的大小关系．
【解答】
解：根据A、B两组样本数据的散点图知，
A组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
∴相关系数为r1应最接近1，
B组数据分散在一条直线附近，也成正相关，
∴相关系数为r2满足r2r2．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查散点图及相关系数的概念、性质，是基础题．
根据相关系数的概念进行判断．
【解答】
解：因为样本数据1的所有点(xi,yi)在散点图中都在直线y=−2x+3上，所以r1=−1，
样本数据2的所有点(mi,ni)在散点图中都在直线y=2x−3上，所以r2=1，
则r2=−r1=1，
故选B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差公式，属于中档题．
根据相关系数判断A选项；利用样本中心点判断B选项；将x=8.5代入回归直线方程，由此判断C选项；求得x=10.5时y的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D选项．
【解答】
解：对A，价格平均x=159+9.5+10+10.5+11=10，销售量y=1511+10+8+6+5=8．
故回归直线恒过定点10,8，故8=−3.2×10+a⇒a=40，故A正确．
对B，由表可知y随x增大而减少，可认为变量x，y线性负相关，且由相关系数r=0.986可知相关性强，故B正确．
对C，相应于点9.5,10的残差10−(−3.2×9.5+40)=0.4，故C不正确．
对D，当x=8时，y=−3.2×8+40=14.4，故D正确．
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查回归直线方程，是基础题．
x的系数为−1.25，y与x具有负相关关系；相关系数的范围属于[−1,1]；由相关关系的特点可知，把x=6，7代入回归方程所得的y值，不是准确值，而是一个估计值，综合可得答案．
【解答】
解：由y=−1.25x+13.75，x的系数为−1.25，y与x具有负相关关系，相关系数r∈−1,1，故A错误；
x每增加一个单位，y平均减少1.25个单位，故B错误；
当x=6时，y=−1.25×6+13.75=6.25，第二个样本点对应的残差e2=6−6.25=−0.25，故C错误；
当x=7时，y=−1.25×7+13.75=5，第三个样本点对应的残差e3=4.5−5=−0.5，故D正确；
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点，线性相关性的强弱和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．
逐一判断即可．
【解答】
解：对于①，回归直线y∧=b∧x+a∧恒过样本点的中心(x,y)，可以不过任一个样本点，故①错误；
对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；
对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；
对于④，在回归直线方程y∧=2−0.5x中，当解释变量x每增加一个单位时，
预报变量y∧平均减少0.5个单位，故④正确；
对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；
对于⑥，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故⑥错误；
对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．其中正确个数为4．
故选B．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查可线性化的回归方程，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
将y=ebx−0.5两边同时取对数，得lny=bx−0.5，设z=bx−0.5，由样本中心x,z必在回归直线z=bx−0.5上，可求出b，从而即可求解．
【解答】
解：由题意，将y=ebx−0.5两边同时取对数，得lny=bx−0.5，
设z=bx−0.5，则
x
1
2
3
4
z
1
3
4
5
x=1+2+3+44=2.5，z=1+3+4+54=3.25，
由z=bx−0.5，得3.25=2.5b−0.5，解得b=1.5，
所以y=e1.5x−0.5，
所以当x=5时，y=e1.5×5−0.5=e7，
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查随机变量的方差的性质，残差、散点图与模型的拟合效果，最小二乘法，相关系数，属于中档题．
依据方差的性质判定A；根据残差的定义，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，判定B；回归直线经过该组数据的中心点(x,y)，判定C；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判定D．
【解答】
解：对于A，依据方差的性质判定，若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，D(η)=4D(ξ)，故A错误；
对于B，根据残差的定义可知，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，故B正确;
对于C，用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点(x,y)，故C正确；
对于D，统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱.线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故D错误．
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了散点图、相关系数及线性回归方程的应用，属于中档题．
根据散点图可得销售额y与年份序号x呈正相关关系，再根据决定系数的定义判断B、C，根据三次函数回归曲线，代入x=10，即可预测2021年“年货节”期间的销售额，从而判断D；
【解答】
解：由题图可知，散点从左下到右上分布，所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，A正确；
∵R2=0.936接近于1，∴销售额y与年份序号x线性相关显著，故B错误；
∵0.999>0.936，∴三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，C正确；
由三次函数y=0.168x3+28.141x2−29.027x+6.889知，当x=10时，y=2698.719，故D错误．
故选AC．
11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了回归分析、独立性检验就等知识，解题时抓住相关概念即可，为中档题．
根据，回归分析，以及独立性检验等知识，对选项进行逐一分析即可．
【解析】
解：对于A，根据独立性检验的性质知，χ2的值越大，说明两个分类变量相关程度越大，A正确；
对于B，由y=cekx，两边取自然对数，可得lny=lnc+kx，
令z=lny，得z=kx+lnc，∵z=0.3x+4，
∴lnc=4,k=0.3，则c=e4,k=0.3，B正确；
对于C，回归直线方程y=a+bx中，
a=y−b·x=3−2×1=1，C正确；
对于D，通过回归直线y=a+bx及回归系数b，可估计和预测变量的取值和变化趋势，D错误．
故选ABC．
12.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查非线性回归分析，线性回归方程，考查散点图，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
根据题意得到z=1.3x+a的中心点为(4,5)，进而得到k=1.3，lnc=a=−0.2即可．
【解答】
解：因为x=2+3+4+5+65=4，
z=1.5+4.5+5.5+6.5+75=5，
所以z=1.3x+a的中心点为(4,5)，
代入z=1.3x+a，可得a=5−1.3×4=−0.2．
由z=ln y，y=cekx，
则z=lncekx=kx+lnc，
所以k=1.3，lnc=a=−0.2，即c=e−0.2．
故选AB．
13.【答案】(1)12,−32
(2)2;2.4
(3)①②③
(4)420
【解析】
(1)【分析】
本题考查复数运算以及几何意义，属于基础题.先将z1+i化简计算，再写出它复平面上对应的点坐标即可．
【解答】
解：复数z=2+i，则z=2−i，则z1+i=2−i1+i=1−i2−i2=2−i−2i−12=1−3i2=12−32i，所以z1+i在复平面上对应的点坐标为12,−32．
故答案为12,−32．
(2)【分析】
本题考查二项分布的均值与方差的求解，难度一般．
【解答】
解：因为随机变量X+η=8，若X～B(10,0.6)，则EX=8×0.6=6，则E(η) =8−6=2，因为DX=10×0.6×0.4=2.4，所以D(η)=2.4．
故答案为2;2.4．
(3)【分析】
本题考查线性回归分析以及独立性检验的应用，难度一般.根据相关知识逐项分析判断即可．
【解答】
解：由线性回归分析知：①在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，正确；
②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；
③在回归直线方程∧ =−0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量∧ 平均减少0.5个单位，正确；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大，错误，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．
故答案为①②③．
(4)【分析】
本题考查排列组合的应用，难度一般.分类讨论：①当1,2,3号区间共用2种颜色；
②当1,2,3共用3种颜色时，分别求出其方法种数，相加即可求解．
【解答】
解：将区域标注数字序号如下图：
当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时
共有涂色方法：A52C31C31=180种
当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：A53C21C21=240种
则不同的涂色方案总数为：180+240=420种.
故答案为420．
14.【答案】①④
【解析】
【分析】
本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、独立性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题．
根据性回归方程，独立性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果．
【解答】
解：①线性回归方程y=bx+a必过样本中心点x,y，故①正确．
②命题“∀x⩾1,x2+3⩾4”的否定是“∃x⩾1,x2+3<4”故②错误
③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故③不正确；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2=8.079>6.635，则有99％的把握认为这两个变量间有关系，故④正确．
故答案为①④．
15.【答案】e4
【解析】
【分析】
本题考查了线性回归方程，对数的运算性质，是中档题．
由y=c·ekx两边取对数，可得lny=lnc+kx，则z=lnc+kx，结合题意可得lnc=4，求出c的值．
【解答】
解：由y=cekx两边取对数，可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx，
由z=lny，可得z=lnc+kx．
∵z=0.3x+4，∴lnc=4，∴c=e4．
故答案为e4．
16.【答案】y=e0.25x−2.58
【解析】
【分析】
本题考查了非线性回归分析，线性回归方程的应用问题，熟练掌握对数的运算性质，是解题的关键．
根据对数的运算性质，结合题意，求出k、a的值即可．
【解答】
解：∵y=ekx+a，
∴两边取对数，可得lny=ln(ekx+a)=(kx+a)lne=kx+a，
令z=lny，可得z=kx+a，
∵z=0.25x−2.58，
∴k=0.25，a=−2.58，
∴y=e0.25x−2.58．
故答案为y=e0.25x−2.58．
17.【答案】解：(1)x=15×2+3+4+5+6=4，
y=15×2.1+3.4+5.9+6.6+7=5．
b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=1310=1.3．
∴a=y−bx=5−1.3×4=−0.2
∴线性回归方程为y=1.3x−0.2．
(2)设这台设备有x年状态正常，由已知得y≤19.3，即1.3x−0.2≤19.3．
解1.3x−0.2≤19.3得x≤15．
∴估计该设备有15年状态正常．
【解析】本题考查散点图以及线性回归方程，属中档题，
(1)根据表格信息求得x，y，即可得到b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2，a=y−bx，即可求解，
(2)设这台设备有x年状态正常，由(1)线性回归方程为y=1.3x−0.2，所以y≤19.3，求解即可，
18.【答案】解：散点图如图所示．
由表中数据可得
i=120xi=1036，i=120yi=972.2，i=120xiyi=51752.3，
i=120xi2=55314，i=120yi2=48590.2．
根据r=ni=1nxiyi−(i=1nxi)(i=1nyi)[ni=1nxi2−(i=1n(xi)2][ni=1nyi2−(i=1nyi)2],
可得相关系数为r≈0.9396．
【解析】本题考查散点图，计算相关系数的求解，属于中档题．
作出散点图，并根据公式求出相关系数r即可．
19.【答案】解：根据上表中的样本数据及其散点图得
(1)x=26+27+39+41+49+53+56+58+60+6110=47，
(2)r=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2
=13527.8−10×47×2723638−10×472·7759.6−10×272
=13527.8−1269023638−22090·7759.6−7290
=837.81548×469.6
=8378643×42935．
因为43≈6.56，2935≈54.18，所以r≈0.98．
由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
【解析】本题考查利用样本的相关系数判断相关性强弱，涉及平均数，属中档题．
(1)利用所给表格数据计算平均数即可；
(2)利用所给参考数据计算相关系数r，进而判断即可．
20.【答案】解：(1)画出散点图：
由已知条件得r=b·i=110xi2−10x2i=110yi2−10y2，
所以r=1.222×0.851.042=0.997，
这说明y与x正相关，且相关性很强．
(2)①由已知求得x=1.445,y=2.731，
a=y−bx=2.731−1.222×1.445=0.965，
故所求回归方程为y=1.222x+0.965；
②当x=1.98时，y=1.222×1.98+0.965=3.385万元，
估计某月产量为1.98万件时产品的总成本约为3.385万元．
【解析】本题考查了回归直线方程，相关系数，属于中档题．
(1)先画出散点图，r=1.222×0.851.042=0.997，这说明y与x正相关，且相关性很强；
(2)①由已知求得x=1.445,y=2.731，a=y−bx=2.731−1.222×1.445=0.965，得出回归方程；
②把x=1.98代入回归方程即可得出结果．
21.【答案】解：(1)散点图如图所示，
r=x1y1+x2y2+…+xnyn−nx−y−x12+x22+…+xn2−nx−2⋅y12+y22+…+yn2−ny−2
=368435−45×88.2×89.8367999−45×88.22⋅377629−45×89.82≈0.8．
故Y与X间的线性相关系数为0.8．
(2)由最小二乘法可得b≈0.726,a=25.767，
所以Y关于X的线性回归方程是Y=25.767+0.726X，
当X=110时，Y=25.767+0.726×110≈106．
【解析】(1)根据表格中的数据作出散点图即可，利用相关系数的计算公式求解即可；
(2)用最小二乘法可算得b≈0.726,a=25.767，然后得到线性回归方程，把X=110代入回归方程计算即可得解．
本题考查线性相关系数、线性回归方程，计算量越大，考查学生的作图能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1) ①依题意：x=2+4+6+8+10+126=7，
令z=log2y=bx+log2c;
再令a=log2c，则z=bx+a．
根据最小二乘估计可知：b=i=16(xi−x)(zi−z)i=16(xi−x)2=34.770≈0.5，
得a=z−bx=4.5−0.5×7=1，
所以回归方程为z=0.5x+1，即y=20.5x+1．
②设20.5x+1≥200，解得0.5x+1≥log2200，即x≥4+4log25≈13.2．
所以科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿．
(2)甲建立的回归模型的残差为：
yi
5.6
6.5
12.0
27.5
80.0
129.2
yi
4
8
16
32
64
128
yi−yi
1.6
−1.5
−4
−4.5
16
1.2
则i=16(yi−yi)2=298.5，
从而R2=1−298.512730.4≈1−0.02=0.98>0.94．
所以甲建立的回归模型拟合效果更好．
【解析】本题考查回归分析及其应用，属于中档题．
(1) ①求出x，令z=log2y=bx+log2c，再令a=log2c，先求出z和x的回归直线方程，即可求得y关于x的回归方程；
②解20.5x+1≥200即可；
(2)列出残差表，求出R2，即可判断甲建立的回归模型拟合效果更好．
9.1线性回归分析苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是( )
A. 在经验回归方程y=2−0.5x中，若解释变量x增加1个单位，则预测值y平均减少0.5个单位
B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线
C. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r就越接近于1
D. 若甲、乙两个模型的决定系数R2分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好
2. 相关变量x,y的散点图如图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y=b1x+a1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：y=b2x+a2，相关系数为r2.则( )
A. 0
A. r1=r2 B. r1
4. 样本数据1的所有点(xi,yi)在散点图中都在直线y=−2x+3上，其相关系数为r1，样本数据2的所有点(mi,ni)在散点图中都在直线y=2x−3上，其相关系数为r2，则r1与r2的关系是( )
A. r2<0
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售y
11
10
8
6
5
y与x的回归直线方程是：y=−3.2x+a，相关系数|r|=0.986，下列说法错误的是( )
A. a=40 B. 变量x，y线性负相关且相关性较强
C. 相应于点(9.5,10)的残差约为−0.4 D. 当x=8时，y的估计值为14.4
6. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y(单位：千件)与售价x(单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：
x
5
6
7
8
9
y
8
6
4.5
3.5
3
根据表中的数据可得回归直线方程y=−1.25x+13.75，以下说法正确的是( )
A. x，y具有负相关关系，相关系数r=−1.25
B. x每增加一个单位，y平均减少13.75个单位
C. 第二个样本点对应的残差e2=0.25
D. 第三个样本点对应的残差e3=−0.5
7. 已知下列命题：①回归直线y=bx+a恒过样本点的中心(x,y)，且至少过一个样本点；
②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；
③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；
④在回归直线方程y=2-0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量y平均减少0.5；
⑤在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；
⑥对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
则正确命题的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y=ebx−0.5，其一组数据如下表所示：
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e5
若x=5，则预测y的值可能为( )
A. e152 B. e112 C. e7 D. e5
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论正确的有( )
A. 若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=2D(ξ)+1
B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 若样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,n)线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点(x,y)
D. 样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
10. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成年份序号x(2012年作为第1年)的函数.运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的为( )
注：其中R2=1−i=1nyi−yi2i=1nyi−y2，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
A. 销售额y与年份序号x呈正相关关系
B. 销售额y与年份序号x线性相关不显著
C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D. 根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元
11. 下列说法中正确的是( )
A. 对于独立性检验，X2的值越大，说明两事件的相关程度越大
B. 以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c,k的值分别是e4和0.3
C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y=a+bx中，b=2,x=1,y=3，则a=1
D. 通过回归直线y=bx+a及回归系数b，可以精确反映变量的取值和变化趋势
12. 为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y=cekx拟合比较合适.令z=lny，得到z=1.3x+a，经计算发现x, z满足下表：
天数x(天)
2
3
4
5
6
z
1.5
4.5
5.5
6.5
7
则( )
A. c=e−0.2 B. k=1.3 C. c=e0.2 D. k=−1.3
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (1)已知复数z=2+i，则z1+i在复平面上对应的点坐标为______．
(2)已知随机变量X+η=8，若X～B(10,0.6)，则E(η) = ________，D(η)=_____．
(3)已知下列命题：
①在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；
②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
③在回归直线方程∧ =−0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量∧ 平均减少0.5个单位；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中正确命题的序号是__________．
(4)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______．
14. 下列说法：
①线性回归方程y=bx+a必过x,y；
②命题“∀x≥1,x2+3≥4”的否定是“∃x<1,x2+3<4”
③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2=8.079，则有99％的把握认为这两个变量间有关系；
其中正确的说法是__________.(把你认为正确的结论都写在横线上)
本题可参考独立性检验临界值表：
15. 用指数模型y=c·ekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，变换后得到线性回归直线方程z=0.3x+4，则常数c的值为_________．
16. 在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx+a的周围，令z=lny，求得回归直线方程z∧=0.25x-2.58，则该模型的回归方程为
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第x年为这台设备支出的年度保养维修费y(单位：千元)的部分数据：
x
2
3
4
5
6
y
2.1
3.4
5.9
6.6
7.0
画出散点图如下：
通过计算得y与x的相关系数r≈0.96.由散点图和相关系数r的值可知，y与x的线性相关程度很高．
(1)建立y关于x的线性回归方程y=bx+a；
(2)若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据(1)得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
附：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
18. (本小题12.0分)
20个工业企业某年的平均固定资产价值与总产值(单位：百万元)如表所示．
企业编号
年平均固定资产价值
年总产值
企业编号
年平均固定资产价值
年总产值
1
36
32.0
11
50
45.5
2
43
40.2
12
70
65.0
3
50
47.5
13
62
56.0
4
40
41.5
14
58
55.0
5
55
51.0
15
58
55.0
6
58
53.4
16
63
57.0
7
38
33.8
17
64
54.2
8
45
42.8
18
53
56.5
9
47
45.6
19
54
50.2
10
42
40.8
20
56
49.2
设年平均固定资产价值为x，年总产值为y，单位均为百万元.试画出散点图，计算相关系数．
19. (本小题12.0分)
科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
x(年龄/岁)
26
27
39
41
49
53
56
58
60
61
y(脂肪含量/%)
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根据上表的数据得到如下的散点图．
根据上表中的样本数据及其散点图：
(1)求x;
(2)计算样本相关系数(精确到0.01)，并刻画它们的相关程度．
参考数据y=27，i=110xiyi=13527.8，i=110xi2=23638，i=110yi2=7759.6，43≈6.56，2935≈54.18
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nx·yi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2
20. (本小题12.0分)
一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据：
x
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
y
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
(1)通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；
②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？(均精确到0.001)
附注：①参考数据：i=110xi=14.45, i=110yi=27.31，i=110xi2−10x2=0.850, i=110yi2−10y2=1.042,b=1.222，
②参考公式：相关系数r=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2，回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2, a=y−bx．
21. (本小题12.0分)
家族中兄弟或姐妹的智商是否有相关性一直是教育工作者、社会学家、生理学家关注的一个问题，日本学者在1989年曾对45对兄弟的智商进行测试，得出下表的结果，其中，X表示“哥哥的智商分数”，Y表示“弟弟的智商分数”．
X
78
77
112
114
104
99
92
80
113
Y
114
68
116
123
107
81
76
90
91
X
99
97
80
84
89
100
111
75
94
Y
95
106
99
82
77
81
111
80
98
X
67
46
106
99
102
127
113
91
91
Y
82
56
117
98
89
113
112
103
93
X
96
100
97
82
43
77
109
99
99
Y
90
102
104
92
43
100
90
100
103
X
100
56
56
67
71
66
78
95
38
Y
103
67
67
67
66
63
76
86
64
(1)请画出散点图，并求Y与X间的样本相关系数;
(2)建立Y关于X的线性回归方程，并预测当X为110时Y的值．
22. (本小题12.0分)
某企业为了提升行业竞争力，加大了科技研发资金投入．该企业连续6年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下：
科技投入x
2
4
6
8
10
12
收益y
5.6
6.5
12.0
27.5
80.0
129.2
并根据数据绘制散点图如图所示：
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y=c·2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：
y
z
i=16(xi−x)(yi−y)
i=16(xi−x)(zi−z)
i=16(yi−y)2
i=16(xi−x)2
43.5
4.5
854.0
34.7
12730.4
70.0
其中zi=log2yi，z=16i=16zi．
(1)①请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(保留一位小数)；
②根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿元，则科技投入的费用至少要多少？(其中log25≈2.3)
(2)乙认为样本点分布在二次曲线y=mx2+n的周围，并计算得回归方程为y=0.92x2−12.0，以及该回归模型的相关指数R2=0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．
附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=i=1n(ui−u)(vi−v)i=1n(ui−u)2，α=v−βu，相关指数：R2=1−i=1n(vi−vi)2i=1n(vi−v)2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查统计初步知识的应用问题，主要是线性回归直线的特征和决定系数、相关指数和模型拟合的效果，属于中档题．
根据“线性回归方程 y=2−0.5x即可判断A；根据回归直线的几何意义判断B；由相关系数r与变量的相关性的关系，可判断C；由模型的R 2与效果的关系，可判断D．
【解答】
解：对于A，回归直线方程 y=2−0.5x中，当解释变量 x增加1个单位时，预报变量 y平均减少0.5个单位，正确；
对于B，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确，回归直线也可能不过任何一个点；
对于C，如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1，不正确，应为相关系数r的绝对值就越接近于1；
对于D，甲、乙两个模型的R 2分别约为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好，不正确，应为模型甲的拟合效果更好．
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了利用散点图判断两个变量的相关关系，线性回归直线方程，相关系数，是基础题．
由散点图可知，线性负相关，故r1<0，r2<0，点(10,21)较偏离整体，剔除后，相关性更强，由此得出结论．
【解答】
解：由图可知变量x，y负相关，
所以r1<0，r2<0，
剔除点(10,21)后，剩下的点的数据更具有线性相关性，r2更接近−1，
所以−1
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．
根据A、B两组样本数据的散点图分布特征，即可得出r1、r2的大小关系．
【解答】
解：根据A、B两组样本数据的散点图知，
A组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
∴相关系数为r1应最接近1，
B组数据分散在一条直线附近，也成正相关，
∴相关系数为r2满足r2
故选：C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查散点图及相关系数的概念、性质，是基础题．
根据相关系数的概念进行判断．
【解答】
解：因为样本数据1的所有点(xi,yi)在散点图中都在直线y=−2x+3上，所以r1=−1，
样本数据2的所有点(mi,ni)在散点图中都在直线y=2x−3上，所以r2=1，
则r2=−r1=1，
故选B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差公式，属于中档题．
根据相关系数判断A选项；利用样本中心点判断B选项；将x=8.5代入回归直线方程，由此判断C选项；求得x=10.5时y的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D选项．
【解答】
解：对A，价格平均x=159+9.5+10+10.5+11=10，销售量y=1511+10+8+6+5=8．
故回归直线恒过定点10,8，故8=−3.2×10+a⇒a=40，故A正确．
对B，由表可知y随x增大而减少，可认为变量x，y线性负相关，且由相关系数r=0.986可知相关性强，故B正确．
对C，相应于点9.5,10的残差10−(−3.2×9.5+40)=0.4，故C不正确．
对D，当x=8时，y=−3.2×8+40=14.4，故D正确．
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查回归直线方程，是基础题．
x的系数为−1.25，y与x具有负相关关系；相关系数的范围属于[−1,1]；由相关关系的特点可知，把x=6，7代入回归方程所得的y值，不是准确值，而是一个估计值，综合可得答案．
【解答】
解：由y=−1.25x+13.75，x的系数为−1.25，y与x具有负相关关系，相关系数r∈−1,1，故A错误；
x每增加一个单位，y平均减少1.25个单位，故B错误；
当x=6时，y=−1.25×6+13.75=6.25，第二个样本点对应的残差e2=6−6.25=−0.25，故C错误；
当x=7时，y=−1.25×7+13.75=5，第三个样本点对应的残差e3=4.5−5=−0.5，故D正确；
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点，线性相关性的强弱和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．
逐一判断即可．
【解答】
解：对于①，回归直线y∧=b∧x+a∧恒过样本点的中心(x,y)，可以不过任一个样本点，故①错误；
对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，故②错误；
对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；
对于④，在回归直线方程y∧=2−0.5x中，当解释变量x每增加一个单位时，
预报变量y∧平均减少0.5个单位，故④正确；
对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；
对于⑥，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故⑥错误；
对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．其中正确个数为4．
故选B．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查可线性化的回归方程，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
将y=ebx−0.5两边同时取对数，得lny=bx−0.5，设z=bx−0.5，由样本中心x,z必在回归直线z=bx−0.5上，可求出b，从而即可求解．
【解答】
解：由题意，将y=ebx−0.5两边同时取对数，得lny=bx−0.5，
设z=bx−0.5，则
x
1
2
3
4
z
1
3
4
5
x=1+2+3+44=2.5，z=1+3+4+54=3.25，
由z=bx−0.5，得3.25=2.5b−0.5，解得b=1.5，
所以y=e1.5x−0.5，
所以当x=5时，y=e1.5×5−0.5=e7，
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查随机变量的方差的性质，残差、散点图与模型的拟合效果，最小二乘法，相关系数，属于中档题．
依据方差的性质判定A；根据残差的定义，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，判定B；回归直线经过该组数据的中心点(x,y)，判定C；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判定D．
【解答】
解：对于A，依据方差的性质判定，若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，D(η)=4D(ξ)，故A错误；
对于B，根据残差的定义可知，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，故B正确;
对于C，用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点(x,y)，故C正确；
对于D，统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱.线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故D错误．
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了散点图、相关系数及线性回归方程的应用，属于中档题．
根据散点图可得销售额y与年份序号x呈正相关关系，再根据决定系数的定义判断B、C，根据三次函数回归曲线，代入x=10，即可预测2021年“年货节”期间的销售额，从而判断D；
【解答】
解：由题图可知，散点从左下到右上分布，所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，A正确；
∵R2=0.936接近于1，∴销售额y与年份序号x线性相关显著，故B错误；
∵0.999>0.936，∴三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，C正确；
由三次函数y=0.168x3+28.141x2−29.027x+6.889知，当x=10时，y=2698.719，故D错误．
故选AC．
11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了回归分析、独立性检验就等知识，解题时抓住相关概念即可，为中档题．
根据，回归分析，以及独立性检验等知识，对选项进行逐一分析即可．
【解析】
解：对于A，根据独立性检验的性质知，χ2的值越大，说明两个分类变量相关程度越大，A正确；
对于B，由y=cekx，两边取自然对数，可得lny=lnc+kx，
令z=lny，得z=kx+lnc，∵z=0.3x+4，
∴lnc=4,k=0.3，则c=e4,k=0.3，B正确；
对于C，回归直线方程y=a+bx中，
a=y−b·x=3−2×1=1，C正确；
对于D，通过回归直线y=a+bx及回归系数b，可估计和预测变量的取值和变化趋势，D错误．
故选ABC．
12.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查非线性回归分析，线性回归方程，考查散点图，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
根据题意得到z=1.3x+a的中心点为(4,5)，进而得到k=1.3，lnc=a=−0.2即可．
【解答】
解：因为x=2+3+4+5+65=4，
z=1.5+4.5+5.5+6.5+75=5，
所以z=1.3x+a的中心点为(4,5)，
代入z=1.3x+a，可得a=5−1.3×4=−0.2．
由z=ln y，y=cekx，
则z=lncekx=kx+lnc，
所以k=1.3，lnc=a=−0.2，即c=e−0.2．
故选AB．
13.【答案】(1)12,−32
(2)2;2.4
(3)①②③
(4)420
【解析】
(1)【分析】
本题考查复数运算以及几何意义，属于基础题.先将z1+i化简计算，再写出它复平面上对应的点坐标即可．
【解答】
解：复数z=2+i，则z=2−i，则z1+i=2−i1+i=1−i2−i2=2−i−2i−12=1−3i2=12−32i，所以z1+i在复平面上对应的点坐标为12,−32．
故答案为12,−32．
(2)【分析】
本题考查二项分布的均值与方差的求解，难度一般．
【解答】
解：因为随机变量X+η=8，若X～B(10,0.6)，则EX=8×0.6=6，则E(η) =8−6=2，因为DX=10×0.6×0.4=2.4，所以D(η)=2.4．
故答案为2;2.4．
(3)【分析】
本题考查线性回归分析以及独立性检验的应用，难度一般.根据相关知识逐项分析判断即可．
【解答】
解：由线性回归分析知：①在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，正确；
②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；
③在回归直线方程∧ =−0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量∧ 平均减少0.5个单位，正确；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大，错误，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．
故答案为①②③．
(4)【分析】
本题考查排列组合的应用，难度一般.分类讨论：①当1,2,3号区间共用2种颜色；
②当1,2,3共用3种颜色时，分别求出其方法种数，相加即可求解．
【解答】
解：将区域标注数字序号如下图：
当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时
共有涂色方法：A52C31C31=180种
当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：A53C21C21=240种
则不同的涂色方案总数为：180+240=420种.
故答案为420．
14.【答案】①④
【解析】
【分析】
本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、独立性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题．
根据性回归方程，独立性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果．
【解答】
解：①线性回归方程y=bx+a必过样本中心点x,y，故①正确．
②命题“∀x⩾1,x2+3⩾4”的否定是“∃x⩾1,x2+3<4”故②错误
③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故③不正确；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2=8.079>6.635，则有99％的把握认为这两个变量间有关系，故④正确．
故答案为①④．
15.【答案】e4
【解析】
【分析】
本题考查了线性回归方程，对数的运算性质，是中档题．
由y=c·ekx两边取对数，可得lny=lnc+kx，则z=lnc+kx，结合题意可得lnc=4，求出c的值．
【解答】
解：由y=cekx两边取对数，可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx，
由z=lny，可得z=lnc+kx．
∵z=0.3x+4，∴lnc=4，∴c=e4．
故答案为e4．
16.【答案】y=e0.25x−2.58
【解析】
【分析】
本题考查了非线性回归分析，线性回归方程的应用问题，熟练掌握对数的运算性质，是解题的关键．
根据对数的运算性质，结合题意，求出k、a的值即可．
【解答】
解：∵y=ekx+a，
∴两边取对数，可得lny=ln(ekx+a)=(kx+a)lne=kx+a，
令z=lny，可得z=kx+a，
∵z=0.25x−2.58，
∴k=0.25，a=−2.58，
∴y=e0.25x−2.58．
故答案为y=e0.25x−2.58．
17.【答案】解：(1)x=15×2+3+4+5+6=4，
y=15×2.1+3.4+5.9+6.6+7=5．
b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=1310=1.3．
∴a=y−bx=5−1.3×4=−0.2
∴线性回归方程为y=1.3x−0.2．
(2)设这台设备有x年状态正常，由已知得y≤19.3，即1.3x−0.2≤19.3．
解1.3x−0.2≤19.3得x≤15．
∴估计该设备有15年状态正常．
【解析】本题考查散点图以及线性回归方程，属中档题，
(1)根据表格信息求得x，y，即可得到b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2，a=y−bx，即可求解，
(2)设这台设备有x年状态正常，由(1)线性回归方程为y=1.3x−0.2，所以y≤19.3，求解即可，
18.【答案】解：散点图如图所示．
由表中数据可得
i=120xi=1036，i=120yi=972.2，i=120xiyi=51752.3，
i=120xi2=55314，i=120yi2=48590.2．
根据r=ni=1nxiyi−(i=1nxi)(i=1nyi)[ni=1nxi2−(i=1n(xi)2][ni=1nyi2−(i=1nyi)2],
可得相关系数为r≈0.9396．
【解析】本题考查散点图，计算相关系数的求解，属于中档题．
作出散点图，并根据公式求出相关系数r即可．
19.【答案】解：根据上表中的样本数据及其散点图得
(1)x=26+27+39+41+49+53+56+58+60+6110=47，
(2)r=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2
=13527.8−10×47×2723638−10×472·7759.6−10×272
=13527.8−1269023638−22090·7759.6−7290
=837.81548×469.6
=8378643×42935．
因为43≈6.56，2935≈54.18，所以r≈0.98．
由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
【解析】本题考查利用样本的相关系数判断相关性强弱，涉及平均数，属中档题．
(1)利用所给表格数据计算平均数即可；
(2)利用所给参考数据计算相关系数r，进而判断即可．
20.【答案】解：(1)画出散点图：
由已知条件得r=b·i=110xi2−10x2i=110yi2−10y2，
所以r=1.222×0.851.042=0.997，
这说明y与x正相关，且相关性很强．
(2)①由已知求得x=1.445,y=2.731，
a=y−bx=2.731−1.222×1.445=0.965，
故所求回归方程为y=1.222x+0.965；
②当x=1.98时，y=1.222×1.98+0.965=3.385万元，
估计某月产量为1.98万件时产品的总成本约为3.385万元．
【解析】本题考查了回归直线方程，相关系数，属于中档题．
(1)先画出散点图，r=1.222×0.851.042=0.997，这说明y与x正相关，且相关性很强；
(2)①由已知求得x=1.445,y=2.731，a=y−bx=2.731−1.222×1.445=0.965，得出回归方程；
②把x=1.98代入回归方程即可得出结果．
21.【答案】解：(1)散点图如图所示，
r=x1y1+x2y2+…+xnyn−nx−y−x12+x22+…+xn2−nx−2⋅y12+y22+…+yn2−ny−2
=368435−45×88.2×89.8367999−45×88.22⋅377629−45×89.82≈0.8．
故Y与X间的线性相关系数为0.8．
(2)由最小二乘法可得b≈0.726,a=25.767，
所以Y关于X的线性回归方程是Y=25.767+0.726X，
当X=110时，Y=25.767+0.726×110≈106．
【解析】(1)根据表格中的数据作出散点图即可，利用相关系数的计算公式求解即可；
(2)用最小二乘法可算得b≈0.726,a=25.767，然后得到线性回归方程，把X=110代入回归方程计算即可得解．
本题考查线性相关系数、线性回归方程，计算量越大，考查学生的作图能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1) ①依题意：x=2+4+6+8+10+126=7，
令z=log2y=bx+log2c;
再令a=log2c，则z=bx+a．
根据最小二乘估计可知：b=i=16(xi−x)(zi−z)i=16(xi−x)2=34.770≈0.5，
得a=z−bx=4.5−0.5×7=1，
所以回归方程为z=0.5x+1，即y=20.5x+1．
②设20.5x+1≥200，解得0.5x+1≥log2200，即x≥4+4log25≈13.2．
所以科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿．
(2)甲建立的回归模型的残差为：
yi
5.6
6.5
12.0
27.5
80.0
129.2
yi
4
8
16
32
64
128
yi−yi
1.6
−1.5
−4
−4.5
16
1.2
则i=16(yi−yi)2=298.5，
从而R2=1−298.512730.4≈1−0.02=0.98>0.94．
所以甲建立的回归模型拟合效果更好．
【解析】本题考查回归分析及其应用，属于中档题．
(1) ①求出x，令z=log2y=bx+log2c，再令a=log2c，先求出z和x的回归直线方程，即可求得y关于x的回归方程；
②解20.5x+1≥200即可；
(2)列出残差表，求出R2，即可判断甲建立的回归模型拟合效果更好．
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