【教培专用】四年级上册秋季数学奥数培优讲义-第12讲 等积变形 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、等积变形（四上）

      上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目．再利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线去构造、寻找同底等高的三角形，进而进行面积转化．
 

       数学的一门分支就是混沌论，混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别．混沌理论最为人知的就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克赛斯州的一场龙卷风．西方流传的一首民谣形象地代表了“蝴蝶效应”：丢失了一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国．
 

一、 平行四边形与三角形面积关系

1、已知平行四边形ABCD，E是任意一点，三角形AED和三角形EBC的面积之和是64平方厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？

【答案】
64

【解析】
过E点做AB的平行线，阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，所以空白部分面积也是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积等于空白部分等于64平方厘米．

2、如图所示，平行四边形ABCD中，AD的长度为20厘米，高CH的长度为9厘米；E是底边BC上的一点，且BE长6厘米，那么两个阴影三角形的面积之和是________平方厘米？

【答案】
90平方厘米

【解析】
在平行四边形ABCD中，厘米，厘米．

△ABE在BE边上的高和△FEC在EC边上的高都等于平行四边形ABCD的高CH，都等于9厘米．所以，两个阴影三角形的面积和为平方厘米．

二、 狗牙模型

3、（金帆五年级秋季）如图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．

【答案】
6

【解析】
图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即平方厘米．

4、如图所示，ABEF、FEGH、HGCD都是长方形，EF的长是16厘米，AD的长是125厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】
1000

【解析】
根据一半模型，整个阴影部分的面积是整个长方形面积的一半，所以阴影部分的面积是．

三、 等积变形

5、如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点。已知DE和AB平行，那么与△ADC面积相等的三角形一共有几个？

【答案】
2个

【解析】
图中一共有两组平行线，通过观察知道一共两组三角形与△ADC面积相等．

6、在图中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？

【答案】
8；18

【解析】
如下图，在两个图形中分别连接正方形的对角线AE、EF．

（1）四边形ADEB和ECFG都是正方形，因此对角线AE和CG平行．

观察△ACG和△ECG，它们有公共底边CG，且CG边上的高相等，于是这两个三角形的面积也相等．即：．

（2）与第一问类似，有BD平行于EF．

观察△BDF和△BDE，它们有公共底边BD，且BD边上的高相等，于是这两个三角形的面积也相等．即：．

7、如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和是70，AB=8，AD=15，那么四边形EFGO的面积是多少？

【答案】
40

【解析】
去掉共同部分的面积得到，四边形的面积等于左右两个阴影部分的面积，所以四边形的面积等于整个阴影部分的面积减去上面部分的阴影面积=．

8、图中的两个三角形都是等边三角形，面积分别是20平方厘米和30平方厘米．B点和C点都是三角形边上的中点．求阴影部分的面积．

【答案】
10

【解析】
图中的虚线部分与AB是平行的，根据等积变形，阴影三角形的面积是左边小正三角形面积的一半等于10．

9、如图所示，一共有两个梯形，分别是ABDE、ACDE．已知其中五边形ABCDE面积为2013，三角形ADF面积为200，那么三角形EBC的面积为多少？

【答案】
1613

【解析】
连接EF，AE与BD平行可以得到三角形AFD的面积与三角形EFD的面积相等，ED平行AC可以得到三角形EFD的面积等于三角形AED的面积等于200，ABE的面积等于CED的面积等于200，所以三角形EBC的面积是．

10、画一画：请把如下的多边形改成面积相等的三角形．

【答案】
 

【解析】
连接一条对角线，做出两个三角形的高如下图

．

1、已知平行四边形ABCD的面积是68平方厘米，E是任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？

【答案】
34

【解析】
阴影面积等于平行四边形面积的一半，等于平方厘米．

2、如图平行四边形的ABCD底边AD长14厘米，高CH为6厘米，E是底边BC上任意一点，阴影部分面积是多少平方厘米？

【答案】
42

【解析】
阴影面积等于平行四边形面积的一半，等于平方厘米．

3、如图所示，平行四边形ABCD的面积为120平方厘米，EF平行于AB，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？

【答案】
60

【解析】
阴影面积等于平行四边形面积的一半，等于平方厘米．

4、如图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？

【答案】
8个三角形，面积面积相等的一共三对

【解析】
一共8个三角形，三角形AOB与三角形COD的面积相等；三角形ABC与三角形BCD的面积相等；三角形ABD与三角形ACD的面积相等．

1、如图，在平行四边形ABCD中，三角形ABE的面积是32平方厘米，三角形CDE的面积是20平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积是_____________平方厘米．

【答案】
104

【解析】
三角形BEC的面积是平行四边形面积的一半，剩余的两个三角形的面积和也是平行四边形面积的一半，所以平行四边形的面积是．

2、如图，长方形ABCD的面积为6，平行四边形BECF的面积为_____________．

【答案】
6

【解析】
三角形BFC的面积是长方形的面积的一半，也是平行四边形面积的一半，所以平行四边形的面积等于长方形的面积等于6．

3、如图，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？

【答案】
22

【解析】
黄色三角形的底和高分别对应上面长方形的长与宽，绿色三角形的底和高分别对应下面长方形的长与宽．于是这两个三角形的面积和就是整个大长方形面积的一半．同样道理，红色、蓝色两个的面积和也是整个大长方形面积的一半，与黄色、绿色两个三角形的面积和相等，因此蓝色三角形的面积等于平方厘米．

4、如图，长方形的长为16，宽为5．那么，阴影三角形的面积和为_____________．

【答案】
40

【解析】
阴影面积是长方形面积的一半等于．

5、正方形ABCD的边长是4，E、F为BC和AD的中点，P、Q为正方形内两点，阴影部分的面积是_____________．

【答案】
8

【解析】
连接EF则正方形被分成两个一样的小长方形，等于长方形ABEF面积的一半，等于，同样右边两个阴影三角形的面积也是4，所以整个阴影部分的面积是8．

6、如图，直角梯形ABCD中，CD=30，BD=40．BD和CD垂直．那么三角形ABC的面积为_____________．

【答案】
600

【解析】
根据等积变形三角形ABC的面积等于三角形BCD的面积，等于．

7、如图，大正方形的面积是40平方厘米，小正方形的面积是30平方厘米．那么阴影部分的面积是_____________平方厘米．

【答案】
15

【解析】
等积变形，阴影部分的面积可以转化为小正方形面积的一半，等于15

．

8、如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE的面积是_____________平方厘米．

【答案】
50

【解析】
三角形的地和高都是10，所以三角形的面积是．

9、如图所示，O是边长为10的正方形的中心，，阴影部分的面积是___________．

【答案】
40

【解析】
四个三角形的面积相等，底都是4，高都是5，所以整个阴影部分的面积是．

10、如图，ABED与AECD都是平行四边形，请找出图中与三角形ABE面积相等的三角形

【答案】
三角形ADE；三角形CDE；三角形BED；三角形ACE；三角形ABD；三角形ACD．

【解析】
三角形ADE；三角形CDE；三角形BED；三角形ACE；三角形ABD；三角形ACD．