2023巴中高三上学期零诊考试（9月）数学（文）含解析
展开巴中市普通高中 2020 级 “零诊” 考试
数学（文科）
( 满分 150 分 120 分钟完卷)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置.
2.答选择题时请使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题答题时必须用毫米黑色墨迹签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置,在规定的答题区域以外答题无效,在试题卷上答题无效.
3.考试结束后,考生将答题卡交回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.设全集,若集合满足,则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足(为虚数单位),则复数的虚部为( )
A. B. C. D. 3
3. 已知直线,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 2 , 则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5. 已知 是两个不同的平面, 是两条不重合的直线, 则下列命题中正确的是 ( )
A. 若 , 则
B. 若 , 则
C. 若 , 则
D. 若 , 则
6.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,且,则
A. B. C. 4D.
7. 函数 在区间 上的图象为 ( )
8. 设等差数列 的前 项的和为 , 若 , 则
A. 17B. 34C. 51D. 102
9.已知点在直角的斜边上,若,则的取值范围为()
A.B. C. D.
10.设,若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数,则下列关于函数性质描述错误的是( )
A. 函数 有两个极值点
B. 函数 有三个零点
C. 点 是曲线 的对称中心
D. 直线 与曲线 的相切
12. 已知 , 则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题: 本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 抛物线 的焦点 到其准线 的距离为.
14. 某智能机器人的广告费用 （万元）与销售额 （万元）的统计数据如下表:
广告费用x(万元) | 2 | 3 | 5 | 6 |
销售额y(万元) | 28 | 31 | 41 | 48 |
根据上表可得回归方程 ，据此模型预报广告费用为 8 万元时销售额为万元.
15. 在三棱锥 中, 平面 , 则三棱锥 的外接球的体积为.
16. 在 中, 角 的对边分别为 , 若 , 则 ， 的取值范围为. ( 第一空 2 分, 第二空 3 分)
三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 题为必考 题, 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.
(一) 必考题: 60 分.
17. ( 12 分)
已知数列 的前 项和为 , 若 , 且 .
( 1 ) 求数列 的通项公式;
( 2 ) 若数列 满足 , 求数列 的前 项和 .
18. ( 12 分)
自《“健康中国 2030” 规划纲要》颁布实施以来, 越来越多的市民加入到绿色运动 “健步走” 行列以提高自身的健康水平与身体素质. 某调查小组为了解本市不同年龄段的 市民在一周内健步走的情况, 在市民中随机抽取了 200 人进行调查, 部分结果如下表所示, 其中一周内健步走少于 5 万步的人数占样本总数的 岁以上（含 45 岁) 的人数占样 本总数的 .
| 一周内健步走≥5万步 | 一周内健步走<5万步 | 总计 |
45岁以上(含45岁) | 90 |
|
|
45岁以下 |
|
|
|
总计 |
|
| 200 |
（1）请将题中表格补充完整, 并判断是否有 90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关;
(2) 现从样本中 45 岁以上(含 45 岁)的人群中按一周内健步走的步数是否少于 5 万 步用分层抽样法抽取 8 人做进一步访谈, 然后从这 8 人中随机抽取 2 人填写调查问卷, 求 抽取的 2 人中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步的概率.
附:
P(²≥0) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 |
0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
19. ( 12 分 )
如图, 正方形 和直角梯形 所在平面互相垂直,, 且 .
(1) 证明: 平面 ;
(2) 求四面体 的体积.
20. (12 分)
已知函数 , 其导函数为 .
(1) 若函数 在 时取得极大值, 求曲线 在点 处的切线 方程;
(2) 证明: 当 时, 函数 有零点.
21. ( 12 分)
已知椭圆 的左、右顶点分别为 , 点 在椭圆 上, 且直线 的斜率与直线 的斜率之积为 .
( 1 ) 求椭圆 的方程;
(2) 若圆 的切线 与椭圆 交于 两点, 求 | | 的最大值及此时 直线 的斜率.
（二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做, 则按所做的 第一题记分.
22.【选修 4-4: 坐标系与参数方程 】(10 分)
在直角坐标系 中, 直线 经过点 , 倾斜角为 . 以坐标原点 为极点, 以 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 .
(1) 求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程;
(2) 设直线 与曲线 相交于 两点, 求 的值.
23.【选修 4-5 不等式选讲】(10 分)
已知函数 .
(1) 解不等式 ;
(2) 设函数 的最小值为 , 若正数 满足 , 证明 : .
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