2023届四川省巴中市高三上学期零诊考试数学(理)试题含解析
展开2023届四川省巴中市高三上学期零诊考试数学(理)试题
一、单选题
1.设全集,若集合满足.则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断
【详解】由题意得,故B正确
故选:B
2.若复数满足(为虚数单位),则复数的虚部为( )
A. B. C.3 D.-3
【答案】D
【分析】先化简复数为,可求虚部.
【详解】因为,所以;
所以复数的虚部为.
故选:D.
3.已知直线:,:,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出时的的取值,然后利用条件的定义进行判定.
【详解】因为直线:,:,
若,则,即;
所以“”是“”的充分不必要条件;
故选:A.
4.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用焦点到渐近线的距离得出,再求得后可得离心率
【详解】由双曲线可得,一条渐近线:,
设双曲线的右焦点为,则点到直线的距离,
所以,离心率.
故选:D
5.已知,是两个不同的平面,,是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( )
A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
【答案】C
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一判断即可.
【详解】对于A,若,,则或,错误;
对于B,若,,还需要条件而不是才能得到,错误;
对于C,若,,则或,又因为,则,正确;
对于D,若,,,还需要条件才能得到,错误.
故选:C.
6.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,且,则( )
A. B.4 C. D.
【答案】A
【分析】由二倍角公式与三角函数的定义求解
【详解】由题意得,得,
而在终边上,故,得
故选:A
7.函数在区间上的图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性,然后代入计算,从而得正确答案.
【详解】,
为奇函数,排除A;
又,排除B;
,即,排除C,
故选:D
8.已知等差数列的前项和为,若,且,则( )
A.0 B.1 C.2022 D.2023
【答案】A
【分析】根据等差数列的前项和公式,判断出是等差数列,利用等差数列的通项公式进行求解.
【详解】设等差数列的公差为,则,;
因为,所以是等差数列;
因为,所以,
所以;
故选:A
9.已知点在直角的斜边上,若,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设,则可用表示,从而可求其范围.
【详解】设,其中,
则,从而,
故
,
故选:D.
10.设,若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先求出平移后函数的解析,再根据两个图象重合可求的解析式,从而可求其最值.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为:
,
但该函数图象与的图象重合,故,
故,但,故,
故选:B.
11.已知定义在上的函数满足,当时,.若对任意,都有,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据递推关系以及所给解析式,求出相关区间的解析式,利用可求答案.
【详解】因为当时,,所以;
当时,,;
当时,,;
令,得或(舍);
若对任意,都有,则的取值范围是.
故选:B.
12.已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据式子的结构两边取对数后构造函数及,再利用单调性可求解
【详解】由,,可得,则,
令,则,
令,则,
所以在上单调递减,又,
所以当时,,
所以,所以在上单调递减,从而,
所以,即,从而可知.
由,,可得,则,
令,则,
令,则,
所以在上单调递减,又,
所以当时,,
所以,所以在上单调递减,从而,
所以,即,从而可知.
综上可得.
故选:C
二、填空题
13.已知,若,则______.
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】.
故答案为:.
14.某智能机器人的广告费用(万元)与销售额(万元)的统计数据如下表:
广告费用(万元) | 2 | 3 | 5 | 6 |
销售额(万元) | 28 | 31 | 41 | 48 |
根据上表可得回归方程,据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元.
【答案】
【分析】计算出样本中心后可求,从而可求广告费用为8万元时销售额.
【详解】,,
所以,,
所以广告费用为8万元时销售额(万元)
故答案为:
15.在三棱锥中,平面,,,,则三棱锥的外接球的体积为______.
【答案】
【分析】由题意可推出AD,CD,BD两两垂直,故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体,三棱锥的外接球即该长方体的外接球,由此可求答案.
【详解】因为平面,平面,
故,
又,,,
故 , ,
所以 ,即 ,
故AD,CD,BD两两垂直,故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体,如图:
则三棱锥的外接球即该长方体的外接球,外接球半径为 ,
所以三棱锥的外接球的体积为 ,
故答案为:
三、解答题
16.已知数列的前项和为,若,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递推关系,从而可求其通项.
(2)利用错位相减法可求.
【详解】(1)因为,故,
故即.
而,故,故,
故,且,故,
所以为等比数列,且首项为2,公比为2,从而.
(2),
故,
故,
所以,
所以.
17.自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来,越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质.某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况,在市民中随机抽取了200人进行调查,部分结果如下表所示,其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的,45岁以上(含45岁)的人数占样本总数的.
| 一周内健步走万步 | 一周内健步走<5万步 | 总计 |
45岁以上(含45岁) | 90 |
|
|
45岁以下 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
(1)请将题中表格补充完整,并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关;
(2)现从样本中45岁以上(含45岁)的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈,然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷,记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为,求的分布列及数学期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
,其中.
【答案】(1)完善表格见解析;有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关;
(2)分布列见解析,数学期望.
【分析】(1)根据样本总数200,以及所给比例可完善表格,计算卡方,结合临界值进行判断;
(2)先根据分层抽样明确各层人数,然后确定的所有取值,逐个求解概率,写出分布列,计算数学期望.
(1)
| 一周内健步走万步 | 一周内健步走<5万步 | 总计 |
45岁以上(含45岁) | 90 | 30 | 120 |
45岁以下 | 50 | 30 | 80 |
总计 | 140 | 60 | 200 |
,所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关;
(2)由题意知,从45岁及以下的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民5人,一周内健步走的步数少于5万步市民的3人;
从这8人随机抽取2人,则的所有取值为0,1,2.
,,;
所以分布列为
0 | 1 | 2 | |
数学期望.
18.如图,正方形和直角梯形所在平面互相垂直,,,且,.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)先由证得∥平面,同理证得∥平面,进而证得平面∥平面,即可证得平面;
(2)先证得两两垂直,建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,由向量夹角余弦公式即可求解.
【详解】(1)由正方形的性质知:,又平面,平面,∥平面,
,平面,平面,∥平面,,平面,
平面∥平面,平面,平面;
(2)
平面平面,平面平面,平面,则平面,
又,则平面,又,则两两垂直,以为原点,
的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,由得:
,则,
设平面的法向量为,则,取得,
又易得平面的一个法向量为,则,
又二面角为锐角,则二面角的余弦值为.
19.已知椭圆:的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,且直线的斜率与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点,求的最大值及此时直线的斜率.
【答案】(1)
(2),此时直线的斜率为
【分析】(1)根据斜率之积为定值可求出,再利用算出直接写出椭圆方程即可;
(2)分类讨论当直线斜率不存在时,可求出弦长,当斜率存在时,切线方程为 与椭圆联立,根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解.
【详解】(1)由椭圆可得,所以,解得,
因为椭圆经过点,故得到,解得,
所以椭圆的方程为
(2)当切线垂直轴时,的横坐标为1或-1,由于椭圆的对称性,不妨设的横坐标为1,
代入椭圆得解得,所以;
当切线不垂直轴时,设切线方程为即,
所以圆心到切线的距离,得,
把代入椭圆方程,整理得
设,则,
设,则,则
,
所以,
综上所述,,此时,因为,所以直线的斜率为
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤:
(1)得出直线方程,设交点为;
(2)联立直线与曲线方程,得到关于或的一元二次方程;
(3)写出韦达定理;
(4)将所求问题或题中关系转化为形式;
(5)代入韦达定理求解.
20.已知函数,其导函数为.
(1)证明:当时,函数有零点;
(2)若对任意正数,且,总存在正数使得.试探究与的大小,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)利用零点存在定理可证明函数有零点;
(2)利用导数可证明:,从而可证.
【详解】(1),
当时,,
故,
由零点存在定理可得当时,函数有零点.
(2)
因为,
,
整理得到,
下证:,即证,
令,则,即证:,
设,则,
故为上的增函数,故,即,
故,故,
即,所以,
故,
整理得到:,
但,故,所以,
所以.
21.在直角坐标系中,直线经过点,倾斜角为.以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线相交于A,两点,求的值.
【答案】(1),(t为参数);
(2)
【分析】(1)由直线经过点,倾斜角为,可直接写出其参数方程;利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程;
(2)将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.
【详解】(1)因为直线经过点,倾斜角为,故直线的参数方程为,(t为参数),
即,(t为参数);
由可得,
即,将代入,
可得曲线的直角坐标方程为;
(2)设A,B两点对应的参数为 ,将直线l的参数方程代入,
即中,得:,
整理得,此时,
故.
22.已知函数.
(1)解不等式;
(2)设函数的最小值为,若正数,,满足,证明:.
【答案】(1);
(2)证明见解析
【分析】(1)分,,三种情况讨论解不等式,最后再取并集即可;
(2)先由绝对值三角不等式求出,再由结合基本不等式求解即可.
【详解】(1)当时,,由可得,则;
当时,,由可得显然成立,则;
当时,,由可得,则;
综上:不等式的解集为;
(2),当且仅当即时取等,,则,
又,,均为正数,则
,当且仅当,即时等号成立,则.
四、双空题
23.在锐角中,角,,的对边分别为,,,若,则______,的取值范围为______.
【答案】 ;
【分析】由正弦定理结合即可求出,进而求出;先切化弦将转化为,再由结合三角恒等变换得,结合的范围及正弦函数的性质求得的范围,即可求解.
【详解】由正弦定理得,又,
则,又,则,则,则;
,由可得,
又为锐角三角形,则,可得,
则,
又,则,则,即,
则.
故答案为:;.
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