2023巴中南江中学高三上学期12月月考试题数学（文）含解析

2022-2023学年高三上学期12月阶段考试

数学（文）试题

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 已知复数z满足，则等于（    ）

A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

3. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由

附表：

参照附表，得到的正确结论是（   ）

A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

4. 已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的离心率为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 已知，则最小值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 等于（    ）

A.  B.  C. －1 D. 1

7. 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 把棱长为4cm的正方体表面涂上红色，再将它分割成棱长为1cm的小正方体，在这些小正方体中随机任取一个，则六个面都没有红颜色的小正方体的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知向量，满足，与的夹角为，且实数x、y满足，则的最大值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 已知，用表示，中的最大者，记为：．当，，时，函数的最小值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

11. 已知实数和满足，．则下列关系式中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知点A为曲线上的动点，点B在圆上，则点A和B的距离最小值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若将正整数集中的偶数从小到大排列，它的前n项和为，则的前2023项的和为_____________．

14. 若变量满足则的最大值是____________.

15. 某公司为确定下一年度投入某种产品宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：T）和年利润z（单位：千元）的影响．对近10年的年宣传费和年销售量的数据作了初步处理，得到y关于x的回归方程．且这种产品的年利润z与x、y的关系为；则年宣传费x为_____________时年利润的预报值最大．

16. 已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为_____________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知等比数列的前n项和为，且对，恒成立，，．

（1）求数列的通项公式及前n项和；

（2）设，求证：．

18. 已知．

（1）求最小正周期和最大值；

（2）在△ABC中，三个内角满足，角A满足，，ABC的面积为，求证：ABC是直角三角形．

19. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，为底面的边的中点，且平面．

（1）设为上底面的重心，试在平面内作出过点与平面平行的直线，并说明理由；

（2）证明：（1）中的直线平面．

20. 若的图象过点，且在点P处的切线方程为．

（1）求a、b、c的值；

（2）设，求证：．

21. 已知点E、F坐标分别为、，直线EP和FP相交于点P，且它们的斜率之积为．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过定点任作一条与两坐标轴都不垂直的直线与轨迹C相交于A、B两点，求证；在x轴上存在一个定点M，使得MG为的一条内角平分线，并求点M的坐标．

（3）设过点M与x轴垂直的直线为l，轨迹C上任一点N到点G的距离与点N到直线l的距离之比是否是定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 已知曲线C：和直线l：（t参数）．

（1）求曲线C的参数方程和直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．

23. （1）已知，若时不等式成立，求a的取值范围；

（2）已知，，且，求证：．