2022-2023学年四川省巴中市高三上学期零诊考试数学（理科）试题含解析

四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试

数学（理科）试题

一、单选题

1．设全集，若集合满足．则（       ）

A． B． C． D．

2．若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（       ）

A． B． C．3 D．－3

3．已知直线：，：，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

5．已知，是两个不同的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（       ）

A． B．4 C． D．

7．函数在区间上的图象为（       ）

A． B．

C． D．

8．已知等差数列的前项和为，若，且，则（       ）

A．0 B．1 C．2022 D．2023

9．已知点在直角的斜边上，若，，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

10．设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

11．已知定义在上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

12．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，若，则______．

14．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元．

15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______．

三、双空题

16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则______，的取值范围为______．

四、解答题

17．已知数列的前项和为，若，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

18．自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的，45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的．

(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；

(2)现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为，求的分布列及数学期望．

附：

，其中．

19．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

20．已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．

21．已知函数，其导函数为．

(1)证明：当时，函数有零点；

(2)若对任意正数，且，总存在正数使得．试探究与的大小，并说明理由．

22．在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线相交于A，两点，求的值．

23．已知函数．

(1)解不等式；

(2)设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．

参考答案：

1．B【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断

【详解】由题意得，故B正确

故选：B

2．D【分析】先化简复数为，可求虚部.

【详解】因为，所以；

所以复数的虚部为.

故选：D.

3．A【分析】先求出时的的取值，然后利用条件的定义进行判定.

【详解】因为直线：，：，

若，则，即；

所以“”是“”的充分不必要条件；

故选：A.

4．D【分析】利用焦点到渐近线的距离得出，再求得后可得离心率

【详解】由双曲线可得，一条渐近线：，

设双曲线的右焦点为，则点到直线的距离，

所以，离心率.

故选：D

5．C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一判断即可.

【详解】对于A，若，，则或，错误；

对于B，若，，还需要条件而不是才能得到，错误；

对于C，若，，则或，又因为，则，正确；

对于D，若，，，还需要条件才能得到，错误.

故选：C.

6．A【分析】由二倍角公式与三角函数的定义求解

【详解】由题意得，得，

而在终边上，故，得

故选：A

7．D【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.

【详解】，

为奇函数，排除A；

又，排除B；

，即，排除C，

故选：D

8．A【分析】根据等差数列的前项和公式，判断出是等差数列，利用等差数列的通项公式进行求解.

【详解】设等差数列的公差为，则，；

因为，所以是等差数列；

因为，所以，

所以；

故选：A

9．D【分析】设，则可用表示，从而可求其范围.

【详解】设，其中，

则，从而，

故

，

故选：D.

10．B【分析】先求出平移后函数的解析，再根据两个图象重合可求的解析式，从而可求其最值.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为：

，

但该函数图象与的图象重合，故，

故，但，故，

故选：B.

11．B【分析】根据递推关系以及所给解析式，求出相关区间的解析式，利用可求答案.

【详解】因为当时，，所以；

当时，，；

当时，，；

令，得或（舍）；

若对任意，都有，则的取值范围是.

故选：B.

12．C【分析】根据式子的结构两边取对数后构造函数及，再利用单调性可求解

【详解】由，，可得，则，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，又，

所以当时，，

所以，所以在上单调递减，从而，

所以，即，从而可知.

由，,可得，则，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，又，

所以当时，，

所以，所以在上单调递减，从而，

所以，即，从而可知.

综上可得.

故选：C

13．【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】.

故答案为：.

14．【分析】计算出样本中心后可求，从而可求广告费用为8万元时销售额.

【详解】，，

所以，，

所以广告费用为8万元时销售额（万元）

故答案为：

15．【分析】由题意可推出AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，三棱锥的外接球即该长方体的外接球，由此可求答案.

【详解】因为平面，平面，

故,

又，，，

故 , ,

所以 ,即 ,

故AD,CD,BD两两垂直，故以AD,CD,BD为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体，如图：

则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，外接球半径为 ，

所以三棱锥的外接球的体积为 ，

故答案为：

16．     ##；     【分析】由正弦定理结合即可求出，进而求出；先切化弦将转化为，再由结合三角恒等变换得，结合的范围及正弦函数的性质求得的范围，即可求解.

【详解】由正弦定理得，又，

则，又，则，则，则；

，由可得，

又为锐角三角形，则，可得，

则，

又，则，则，即，

则.

故答案为：；.

17．(1)；

(2).

【分析】（1）利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递推关系，从而可求其通项.

（2）利用错位相减法可求.

（1）

因为，故，

故即.

而，故，故，

故，且，故，

所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.

（2）

,

故，

故，

所以，

所以.

18．(1)完善表格见解析；有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；

(2)分布列见解析，数学期望.

【分析】（1）根据样本总数200，以及所给比例可完善表格，计算卡方，结合临界值进行判断；

（2）先根据分层抽样明确各层人数，然后确定的所有取值，逐个求解概率，写出分布列，计算数学期望.

（1）

，所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；

（2）

由题意知，从45岁及以下的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民5人，一周内健步走的步数少于5万步市民的3人；

从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0,1,2.

，，；

所以分布列为

数学期望.

19．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）先由证得∥平面，同理证得∥平面，进而证得平面∥平面，即可证得平面；

（2）先证得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角余弦公式即可求解.

（1）

由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，

，平面，平面，∥平面，，平面，

平面∥平面，平面，平面；

（2）

平面平面，平面平面，平面，则平面，

又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，

的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：

，则，

设平面的法向量为，则，取得，

又易得平面的一个法向量为，则，

又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)，此时直线的斜率为

【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出，再利用算出直接写出椭圆方程即可；

（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长，当斜率存在时，切线方程为 与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解.

（1）

由椭圆可得，所以，解得，

因为椭圆经过点，故得到，解得，

所以椭圆的方程为

（2）

当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，

代入椭圆得解得，所以；

当切线不垂直轴时，设切线方程为即，

所以圆心到切线的距离，得，

把代入椭圆方程，整理得

设，则，

设，则，则

，

所以，

综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用零点存在定理可证明函数有零点；

（2）利用导数可证明：，从而可证.

（1）

，

当时，，

故，

由零点存在定理可得当时，函数有零点.

（2）

因为，

，

整理得到，

下证：，即证，

令，则，即证：，

设，则，

故为上的增函数，故，即，

故，故，

即，所以，

故，

整理得到：，

但，故，所以，

所以.

22．(1)，（t为参数）；

(2)

【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.

（1）

因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），

即，（t为参数）；

由可得，

即，将代入，

可得曲线的直角坐标方程为；

（2）

设A,B两点对应的参数为 ，将直线l的参数方程代入，

即中，得：，

整理得，此时，

故.

23．(1)；

(2)证明见解析

【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；

（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.

（1）

当时，，由可得，则；

当时，，由可得显然成立，则；

当时，，由可得，则；

综上：不等式的解集为；

（2）

，当且仅当即时取等，，则，

又，，均为正数，则

，当且仅当，即时等号成立，则.