九年级数学上册华师版·吉林省长春市九上期末试卷附答案

东师附中新城学校九年级数学期末试题

一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（   ）

A. 1 B.  C.  D.

2. 若＝，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 若关于一元二次方程的一个根是1，则的值为（   ）

A. 2 B. 1 C. 0 D.

4. 将抛物线向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（   ）

A. （1,2） B. （2,1） C. （1,5） D. （1，）

5. 下列计算正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知直线∥∥，直线、分别与直线、、交于点、、、、、，若＝3，＝8，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为，＝2，则树高为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 二次函数图像如图所示，下列结论：①；②；③；④当＞0时，随的增大而减小，其中正确的有（ ）

A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④

二、填空题（每小题3分，共18分）

9. 计算：＝____________．

10. 一元二次方程根的判别式的值是__________．

11. 如图是用卡钳测量容器内径示意图，现量得卡钳上，两个端点之间的距离为，，则容器的内径是______．

12. 如图，在平面直角坐标系中，△与△是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3:2.点的坐标为（3，），则点的坐标是_________．

13. 如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．

14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、，若△为等腰直角三角形，则的值是________．

三、解答题（本大题10小题，共78分）

15. 计算：．

16. 如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图像后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．

17. 某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．

18. 如图，在四边形中，∠＝90°，∥，对角线⊥．

（1）求证：△∽△．

（2）若＝2，＝3，求△与△的面积比．

19. 图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．

（1）在图①中边上找到格点，并连接，使将△面积两等分；

（2）在图②中△的内部找到格点，并连接、，使△是△面积的．

（3）在图③中△外部画一条直线，使直线上任意一点与、构成的三角形的面积是△的．

20. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点0处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）

21. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；

（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？

22. 【教材呈现】

下图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容．

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．

【结论应用】

（1）在图①中，若AB=2，∠AOD=120°，则四边形EFGH面积为______．

（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，O是其内任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，EO=2AE，EF∥AB∥GH，且EF=GH，若△EFO与△GHO的面积和为，则菱形ABCD的周长为______．

23. 如图，在△中，∠＝90°，＝20，＝15，动点从点出发（动点不与△的顶点重合），沿折线—以每秒5个单位的速度向终点运动，过点作⊥于点，以点为直角顶点作△，使与点所在的直角边平行，设点的运动时间为（秒）．

（1）求的长；

（2）当点落在△的直角边上时，求的值；

（3）当△的两条直角边所在的直线截△所得的三角形全等时，求△与△重叠部分图形的周长 ；

（4）设为边中点，作射线，当将△分成面积比为1:3两部分时，直接写出的值．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点在轴上，点是抛物线上任意一点，过点作⊥轴，交直线于点，连接，设点的横坐标为，△的边与边上的高之差为．

（1）求此抛物线解析式.

（2）求点的横坐标（用含的代数式表示）；

（3）∠为锐角.

①求关于的函数关系式；

②当△的顶点到的最短距离等于时，直接写出的值．

参考答案

一、1~5：BAADC       6~8:BDC

二、9.11     10.    11.     12.     13.12     14.  

三、15. 原式=

16. 解：用A表示祖冲之，用B表示杨辉，用C表示赵爽，列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的有1种结果，

所以抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率为．

17. 解：设平均每年投资增长的百分率是，

由题意得：，

解得，（不合题意舍去）．

答：这两年投资年平均增长率为．

18.解：（1）∵⊥， ∠ B ＝90°，

∴，即：，

又∵∥，

∴，

∴△∽△；

（2）∵△∽△，

∴相似比为，

∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，

∴．

19.如图所示：

（1）D在格点上，也为AB的中点，故CD即为所求；

（2）当点E在直线m上，且三角形内部时，均满足题意，如图△BCE，此时答案不唯一，符合要求即可；

（3）如图，直线l即为所求．

20. 解：如图作AH⊥CN于H

在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，BH=10.5﹣2.5=8（m），

∴AH=BH=8（m），

在Rt△AHC中，tan65°，

∴CH=8×2.1≈17（m），

∴BC=CH﹣BH=17﹣8=9（m）．

21. 解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（a≠0），

将（3，0）代入，得：4a+3=0，

解得：，

∴水柱所在抛物线的函数表达式为（0＜x＜3）．

（2）当时，有，

∵

∴不会被淋湿．

22. 解：教材呈现：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴OA=OC=OB=OD．

∵AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，

∴OE=OF=OG=OH，

∴四边形EFGH是矩形．

∵EG=FH，

∴四边形EFGH是矩形．

结论应用：

（1）∵AB=2，

∴EF=．

∵∠BAD=90°，

∴∠FEH=90°．

∵∠AOD=120°，

∴∠EOF=60°，

∴△OEF为等边三角形，

∴∠EFO=60°，

∴，

∴四边形EFGH的面积为1×．

故答案为：．

（2）过点G作GN⊥EF于点N，

∵EF∥GH，且EF=GH，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∴FG∥BC．

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠EFG=60°，

设EF=x，则NG=．

∵△EFO与△GHO的面积和为4，

∴，

解得：x=4，∴EF=4．

∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，

∴．

∵EO=2AE，

∴，

∴AB=6，

∴菱形ABCD的周长为24．

故答案为：24．

23. 解：（1）∵△ABC是直接三角形，＝20，＝15，

∴

∴；

（2）①当点P在AC上时，由题意可知：此时存在点E落在BC上，如图1所示，

∵动点P的运动速度为5个单位/s，

∴AP=5t，

∵⊥，

∴∠ADP=∠ACB=90°

又∠A=∠A

∴△APD∽△ABC

∴

∴

∴

∴DB=AB－AD=25－4t

∵∠ADP=∠EPD=90°

∴AD∥PE

又∵

∴△BDE∽△BAC，四边形APED为平行四边形

∴，DE=AP=5t

∴

解得：

此时；

②当点P在BC上时，由题意可知：此时存在点E落在AC上，如图2所示，

∵动点P的运动速度为5个单位/s，

∴AC＋CP=5t

∴BP=AC＋CB－5t=35－5t，

∵⊥，

∴∠BDP=∠C=90°

又∠B=∠B

∴△BPD∽△BAC

∴

∴

∴

∴AD=AB－BD=3t＋4

∵∠BDP=∠EPD=90°

∴BD∥PE

又∵

∴△ADE∽△ABC，四边形DEPB为平行四边形

∴，DE=BP=35－5t

∴

解得：

此时；

综上：当点落在△的直角边上时，或；

（3）①当点P在AC上时，由（2）中①可知：AP=5t，四边形APED是平行四边形，PE=AD=4t，DE=AP=5t，设直线PE与BC的交点为

∴∠A=∠CPE，PC=AC－AP=20－5t

∵∠ADP=∠C=90°，结合已知条件可知：△APD≌△

∴=AP=5t＞PE

∴点E在△ABC内部，即此时△与△重叠部分图形周长即为△的周长，如下图所示，

∵△APD≌△

∴AD=PC，

即

解得，

∴PE=4×=，DE=AP=5×=

∴DP=

∴此时重叠部分的周长为；

②当点P在BC上时，由（2）中②可知：BP=35－5t，四边形DEPB为平行四边形，PE=BD=，DE=BP=35－5t，设直线PE与AC的交点为

∴∠B=∠CPE，PC=BC－BP=5t－20

∵∠BDP=∠C=90°，结合已知条件可知：△BPD≌△

∴=BP＞BD=PE

∴点E在△ABC内部，即此时△与△重叠部分图形的周长即为△的周长

如下图所示，

∵△BPD≌△

∴BD=PC，

即

解得，

∴PE==，DE= 35－5×=

∴DP=

∴此时重叠部分的周长为；

综上：当△的两条直角边所在的直线截△所得的三角形全等时，求△与△重叠部分图形的周长或；

（4）①当点P在AC上时，连接PQ，设CQ与PE交于点K

由图可知：此时S△EKQ＜S△EPQ= S△EPD

∴当CQ将△PDE分成面积比为1：3的两部分时，即S△EKQ：S四边形PKQD=1:3

∴=

∵点Q为DE中点

∴KQ恰为△PDE的中位线，

∴KQ∥PD

∵四边形APED为平行四边形，PC=20－5t

∴DE=AP=5t，

∴DQ=DE=

∵DE∥AC

∴四边形PCQD是平行四边形

∴PC=DQ

∴20－5t=

解得：；

②当点P在CB上时，连接PQ，设CQ与PE交于点K

由图可知：此时S△EKQ＜S△EPQ=S△EPD

∴当CQ将△PDE分成面积比为1：3的两部分时，即S△EKQ：S四边形PKQD=1:3

∴=

∵点Q为DE中点

∴KQ恰为△PDE的中位线，                                                                                                                                                                                                                                                                   

∴KQ∥PD，

∵四边形DEPB为平行四边形，PC=5t－20

∴DE=BP=35－5t，

∴DQ=DE=

∵DE∥BC

∴四边形PCQD是平行四边形

∴PC=DQ

∴5t－20=

解得：；

综上：当将△分成面积比1:3两部分时，或．

24. 解：（1）由直线可知，A(3，0)，B(0，3)，

将A(3，0)，B(0，3)代入得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）由题可知，P、Q的纵坐标相等，

∵P的横坐标为m，且是抛物线上任意一点，

∴P的纵坐标为，

∴Q的纵坐标为，

又∵Q在直线上，

∴将代入得：

，解得：，

∴Q的横坐标为；

（3）①由题意，，

由（2）可知：

当m＜0时，d=（m2-2m-m）-[3-（-m2+2m+3）]=-m．

当0＜m＜2时，d=[m-（m2-2m）]-[（-m2+2m+3）-3]=m．

②由题可知：△为等腰直角三角形，其顶点为O，

则O到PQ的距离为，

当△的顶点到的最短距离等于时，

，

解得：，

∵∠为锐角，

∴．