九年级数学上册人教版· 北京市清华大学附属中学期末试卷附答案

北京市清华附中将台路校区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共20分，每小题2分）

1．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根是﹣1，则m的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3

2．的值是（　　）

A． B． C． D．

3．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）

A．赵爽弦图 B．科克曲线 

C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形

4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

5．在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，是黑球的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（　　）

A．5m B．7m C．7.5m D．21m

7．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（　　）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．＝

8．要得到二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象需将y＝x2的图象（　　）

A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 

B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 

D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

9．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（　　）

A． B．π C． D．

10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

二、填空题（本题共12分，每小题2分）

11．方程x2﹣2x＝0的根是　   　．

12．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于　   　．

13．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝4，tanC＝，则BC＝　   　．

14．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝　   　．

15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　   　．

16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

请回答：该尺规作图的依据是：

①　   　；

②　   　．

三、解答题（本题共68分，第18-21题小题5分，第17、22-28题每小题5分）

17．计算：

（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；

（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°；

（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，tanA＝，BC＝6，求AC的长和sinA的值．

19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．

（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1，请写出点A的对应点A1的坐标；

（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2，写出点B的对应点B2的坐标．

20．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为xm，若苗圃园的面积为192m2，求AB的长度．

21．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．

（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；

（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．

22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．

23．如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，以AC为边作Rt△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，作DE⊥CE．

（1）求证：△ABC∽△CED；

（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长．

24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．

（1）求证：∠A＝∠BCD；

（2）若AB＝10，CD＝8，求BE的长．

25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式．

（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

26．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长．

27．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x＝b，点A（﹣2，m）在直线y＝﹣x+3上．

（1）求m，b的值；

（2）若点D（3，2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；

（3）当二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y＝﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．

28．已知函数y1＝2kx+k与函数y2＝x2﹣2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1．

（1）若k＝2，则新函数y＝　   　；

（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝　   　，b＝　   　；

（3）设新函数y顶点为（m，n）．

①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；

②求n与m的函数解析式．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1． C．

2． A．

3． B．

4． B．

5． A．

6． B．

7．D．

8．A．

9．D．

10．D．

二．填空题（共6小题）

11． x1＝0，x2＝2．

12． 2

13．7．

14．4．

15．（﹣2，0）．

16．由作法得MN垂直平分OP，所以MN为⊙O的切线．

三．解答题

17．解：（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°

＝2×+4×﹣

＝+2﹣

＝2；

（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°

＝2+1﹣4×

＝2+1﹣2

＝1；

（3）3tan30°+cos45°﹣2sin60°

＝3×+﹣2×

＝+﹣

＝．

18．解：∵△ABC中，tanA＝，BC＝6，

∴＝，

∴AC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∴sinA＝＝

19．解：（1）如图，△OA1B1为所作，点A1的坐标为（4，2）；

（2）如图，△O2A2B2为所作，点B2的坐标为（﹣1，﹣1）．

20．解：根据题意知，AD＝40﹣2x．

∵0＜40﹣2x≤18．

∴x的取值范围为：11≤x＜20．

设这个苗圃园垂直于墙的一边AB为xm，

根据题意得：x（40﹣2x）＝192，

整理，得x2﹣20x+96＝0．

解得：x1＝8，x2＝12．

∵11≤x＜20．

当x＝8时，40﹣2x＝40﹣16＝24＞18

∴不合题意，舍去．

∴x＝12，即AB的长度为12米．

答：若苗圃园的面积为192平方米，则AB的长度为12米．

21．解：（1）列表如下：

所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），

则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种；

（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：

其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种，

∴P（甲）＜P（乙），

则该游戏对甲乙双方不公平．

22．解：（1）根据题意得k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k＞0，

解得k＜9且k≠0；

（2）k的最大整数为8，此时方程化为8x2﹣6x+1＝0，

（2x﹣1）（4x﹣1）＝0，

所以x1＝，x2＝．

23．（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，

∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．

∴∠BAC＝∠DCE．

∴△ABC∽△CED．

（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，

∴AC＝＝2，

∵CE＝AC，

∴CE＝2，

∵CD＝5，

∵△ABC∽△CED，

∴＝，

∴＝，

解得DE＝．

24．（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，

∴弧BC＝弧BD．

∴∠A＝∠BCD；

（2）连接OC

∵直径AB⊥弦CD，CD＝8，

∴CE＝ED＝4．

∵直径AB＝10，

∴CO＝OB＝5．

在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝4，

∴OE＝＝3，

∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．

25． 解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（1，2），

∴2＝，

∴m＝2，

∴反比例函数的表达式为y＝，

把点B的坐标 （﹣2，n）代入y＝得，n＝，解得n＝﹣1，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），

分别把点A，点B的坐标代入y＝kx+b得，

解得，

∴一次函数的表达式为y＝x+1；

（2）把y＝0代入y＝x+1，解得x＝﹣1，

∴点C的坐标为（﹣1，0），

∵△ACP的面积是4，点A的纵坐标等于2，

∴•PC×2＝4，

解得CP＝4，

∴点P的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．

26．（1）证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠BAC，

∵点C是的中点，

∴∠EAC＝∠BAC，

∴∠EAC＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，

∴AC＝＝4，

∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，

∴△AEC∽△ACB，

∴＝，

∴AE＝＝．

27． 解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x＝b，

∴b＝＝1．

∵点A（﹣2，m）在直线y＝﹣x+3上，

∴m＝2+3＝5；

（2）∵点D（3，2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上，

∴2＝a×32﹣2a×3+1，

∴a＝；

（3）∵当x＝﹣3时，y＝﹣x+3＝6，

∴当（﹣3，6）在y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，6＝a×（﹣3）2﹣2a×（﹣3）+1，

∴a＝．

又∵当x＝﹣1时，y＝﹣x+3＝4，

∴当（﹣1，4）在y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，4＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1，

∴a＝1．

∴＜a＜1．

28．解：（1）当k＝2时，y1＝2kx+k＝4x+2，

∵函数，定义新函数y＝y2﹣y1，

∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，

故答案为：x2﹣6x+1；

（2）函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1，

∴新函数y的解析式为y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，

∵新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，

∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，

∴k＝5，b＝﹣12，

故答案为：5，﹣12；

（3）①由（2）知，新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，

∵新函数y顶点为（m，n），

∴，

∴，

当时，；

②由①知，，

将k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：

∴n＝﹣m2﹣m+4．