九年级数学上册华师版·吉林省长春市二道区九上期末试卷附答案

2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）

1. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定、、的值，下列叙述正确的是（ ）

A. a=3，b=2，c=3 B. a=-3，b=2，c=3

C a=3，b=2，c=-3 D. a=3，b=-2，c=3

2. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）

A. a=1，b=3，c=2，d=4

B. a=4，b=6，c=5，d=10

C. a=2，b=4，c=3，d=6

D. a=2，b=3，c=4，d=1

4. 不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）

A 2sin50° B. 2sin40° C. 2tan50° D. 2tan40°

6. 如图，在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，有下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为2：1； ④△ABC与△DEF的面积比为2：1．以上说法正确的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为（　　）

A. 2x+2（x+12）＝864 B. 2x+2（x﹣12）＝864

C. x（x+12）＝864 D. x（x﹣12）＝864

8. 如图，点、的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（    ）

A. 18 B. 20 C. 28 D. 36

二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）

9. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 _____．

10. 如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是一元二次方程，那么m的值为______

11. 综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：

那么这种黄豆种子发芽概率约为__________（精确到0.01）

12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______．

13. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米．

14. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，BD＝1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为 _____．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．

16. 在一个边长为（）cm的正方形内部挖去一个边长为（）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．

17. 今年夏天，某市出现大暴雨，部分街区积水严重，小明和小亮所在的社区为了做好排涝工作，特招募社区抗涝志愿工作者．小明和小亮决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）其中一组．

（1）志愿者小明被分配到D组服务是　   　．

A．不可能事件；B．随机事件；C．必然事件；D．确定事件．

（2）请用列表或画树状图的方法，求出志愿者小明和小亮被分配到同一组服务的概率．

18. 已知关于的方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若k为正整数，求此时方程的解．

19. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）

20. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．

（1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，请画出△OA1B1．

（2）按照（1）的变换后，cos∠OA1B1＝　   　．

（3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，按照（1）的变换后，点P在△OA1B1内部的对应点P1的坐标为　   　．

21. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．

(1)若苗圃面积为72平方米，求x的值；

(2)这个苗圃的面积能否是120平方米？请说明理由．

22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，点F在对角线AC上，∠EAC＝∠CAD，∠AFE＝∠B．

（1）求证：△AEF∽△ACD．

（2）若BE＝2，CE＝3，AC＝4，求AF的长．

23. 【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

（1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　   　，b＝　   　．（均用含m、n的式子表示）

（2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．

【拓展延伸】

（3）化简　   ．

24. 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．动点P从点B出发，沿折线BC﹣CA以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与点B和点A重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段PQ的长．

（2）当线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形时，求t的值．

（3）设线段PQ扫过图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式．

（4）如图②，以PQ为斜边向上作等腰直角三角形PQM．连结CM，当线段CM的垂直平分线平行于△ABC的一边时，直接写出t的值．

参考答案

一、1~5：DDCDB      6~8:CDA

二、9.3    10.-3    11.0.95   12.    13.5   14.4    

三、15. 解：x2﹣4x﹣3＝0，

，

，

，

∴，

∴，；

16. 解：剩余部分的面积为：

-，

=()()，

=2×2，

=( cm2)．

17. 解：（1）∵志愿者会被随机分到A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）其中一组，

志愿者小明被分配到D组服务是：B．随机事件；

故答案为B；

（2）根据随机事件中出现所有等可能的结果共有16种，其中志愿者小明和小亮被分配到同一组共有4种情况，

∴志愿者小明和小亮被分配到同一组服务的概率．

18.解：（1）关于的方程有两个实数根

则判别式，即

解得

∴

（2）k为正整数，且，∴

将代入得，

解得

∴

19. 解：过A作于，

，

，

，

，

，

（米），

在中，，

（米），

米，

∴CD=AD+AC=1.2+1.47=2.67≈2.7米．

（米）．

20. 解：（1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，

∵A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．

∴A1、B1两点的坐标分别为（-3×2， 1×2）、（-2×2，-1×2）．即（-6，2），（-4，-2），

在平面直角坐标系中描点A1（-6，2），B1（-4，-2），

顺次连结OA1，A1B1，B1O，

∴△OA1B1为所求位似图形；

（2）OA1=，A1B1=，

OB1=，

∵，

∴△OA1B1为直角三角形，

∴cos∠OA1B1＝，

故答案为：；

（3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，

∴P1（-2a,-2b）．

故答案为（-2a,-2b）．

21. 解：（1）根据题意得，

          化简得，

             或

             ∴，

当时，平行于墙的一边为30-2x=6＜18，符合题意；

当时，平行于墙的一边为30-2x=24＞18，不符合题意，舍去.

故x的值为12.

（2）根据题意得

化简得

，∴方程无实数根

故这个苗圃的面积不能是120平方米.

22. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，

∵∠EAC＝∠CAD，∠AFE＝∠B．

∴∠AFE＝∠D．

∴△AEF∽△ACD；

（2）解：∵BE＝2，CE＝3，

∴BC=BE+CE=2+3=5，

∵四边形ABCD平行四边形，

∴AD=BC=5，AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACE=∠EAC，

∴AE=CE=3，

由（1）得△AEF∽△ACD，

∴即，

∴．

23. 解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），

则有a＝m2+5n2，b＝2mn；

故答案为m2+5n2，2mn；

（2）∵

∴4＝2mn，

∴mn＝2，

∵x、m、n均为正整数，

∴或，

当m＝1，n＝2时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；

当m＝2，n＝1时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；

即x的值为为13或7；

（3）设m+n，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴（m2-2）（m2-3）=0，

∴m=,m=，

∴，．

∴或

∴，．

故答案为．

24. 解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．

∴AC=，

当点P在BC上，

∵PQ⊥AB，

∴∠BQP=∠C=90°，

∵∠QBP=∠CBA，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，即（），

当点PAC上，

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP=∠C=90°，

∵∠QAP=∠CAB，

∴△APQ∽△ABC，

∴，即（），

∴（）或（）；

（2）当点P在BC上，

∵△BQP不是轴对称图形，

∴四边形AQPC是轴对称图形，

∴PQ=PC，

∴，

解得，

当点P在AC上，

∵△AQP不是轴对称图形，

∴四边形BQPC是轴对称图形，

∴PQ=PC，

∴，

，

综合当线段PQ将△ABC分成的两部分图形中存在轴对称图形时， t的值为或；

（3）当点P在BC上，

∵QP=3t，BP=5t，PQ⊥AB，

∴BQ=，

∴S△BQP=（），

当点P在AC上，PQ⊥AB，AP=8-5t，

∵△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

S=（）；

（4）当CM∥PQ时，CM的垂直平分线与BA平行，延长CM交AB于G，过M作MN⊥PQ于N，

∵△PQM为等腰直角三角形，

∴QN=PN=MN=，

∵CG⊥AB，

∴∠GQN=∠QGM=∠QNM=90°，

∴四边形QNMG为矩形，

∵QN=MN，

∴四边形QNMG为正方形，

∴QG=MN=，

∵BG=BCcosB=4×=，

∵BQ=4t，QG=，

∴，

∴解得，

当MC 与AC重合时，CM的中垂线与BC平行，过M作MH⊥AB于H，

∴∠HQN=∠QHM=∠QNM=90°，

∴四边形QNMH为矩形，

∵QN=MN，

∴四边形QNMH为正方形，

∵BQ=4t，MH=QH=, AH=，

∴，

解得，

点P不与点B重合，点M不与点B重合，

∴MC的中垂线不与AC平行，

当点P在AC上时，点P不与点A重合，点M不在AC上，此时CM的中垂线不与BC平行，

综合当线段CM的垂直平分线平行于△ABC的一边时， t的值为或．