数学17.1 勾股定理课后练习题

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专题02 勾股定理四大核心知识讲义

【勾股定理证明】
赵爽弦图

，化简得：.
欧几里得证明方法

证明：S1+S2=S3；△ABF≌△ADE→S△ABF=S△ADE→2 S△ADE =S长方形AENM=S正方形ABCD=2 S△ABF
同理，SMNPF=S1 故S1+S2=S3
方法3

，即：
化简得：
方法4

，化简得：.
总统证明法

化简得：
达芬奇证明法

a2+b2+2×ab =c2+ ab，a2+b2=c2
【勾股定理应用】
【勾股数】
1. 毕达哥拉斯学派提出（n为正整数）是一组勾股数.
2. 我国《九章算术》中提到：，为正整数，时，构成一组勾股数；
3. a2－b2，2ab，a2+b2（a、b为正整数，且a>b）
4. 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、40、41……
5. 直角三角形三边长为a、b、c，斜边c上的高为h，则：以为边的三角形是直角三角形.
6. 若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）是一组勾股数.【在做某些题时较为简便】
【几个经典图形】

结论：S阴影=S△

结论：

结论：
∠A=∠B=30°
结论：

结论：
【勾股定理逆定理证明】
命题：由题设和结论组成.
将原命题的题设与结论互换即为其逆命题.
如：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角是对顶角”.

勾股定理逆定理证法：（构造全等三角形）
【典例解析】
【题型一】勾股定理及其应用
赵爽弦图
【例1】（2020·河南南阳市月考）下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）．

A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④
【答案】B.
【解析】解：如图所示，

∵△ABC是直角三角形，
∴x2+y2=49，故①正确；
由图可知x-y=CE=2，故②正确；
四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
即：2xy+4=49，故③正确；
2xy=45，
∵x2+y2=49，
∴（x+y）2=45+49=94，故④错误；
故答案为：B．
【例2】（2021·沙坪坝区期末）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）

A． B．8 C． D．
【答案】D.
【解析】解：如图，CB=BD，

∵AC=2，CD=2BC=6
由勾股定理得：AD=
AD+BD=，
∴风车的外围周长是：4×．
故答案为：D．
【变式1】（2021·四川资阳市期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．

【答案】（1）见解析；（2）23.
【解析】解：（1）大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，即c2＝a2+b2；
（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，
∴2ab＝10，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．
【变式2】（2021·浙江湖州市期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点都是格点，且四边形为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图中所示的格点弦图中，正方形的边长为，此时正方形的面积为52．问：当格点弦图中的正方形的边长为时，正方形的面积的所有可能值是________(不包括52)．

【答案】36或50.
【解析】解：设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b， 即SEFGH=（a+b）2 ．
①当a=5，b=1或a=1，b=5时，此时SEFGH=36．

②当a=b= ， 此时SEFGH=52．
③当a=，b=，此时SEFGH=50
故答案为：36或50．
【变式3】（2020·山东威海市期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为，，且，大正方形的面积为，则____．

【答案】.
【解析】解：小正方形的边长为a-b，ab=3，
（a-b）2=8－2ab=2，
∴a-b=；
故答案为．
【变式4】（2020·河南南阳市期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中，点E在线段上，点B、D在边两侧，试证明：．

【答案】见解析.
【解析】证明：如图2，连接BD、CD，过点D作DF⊥BC于F，则DF=CE=b-a．
∵△ABC≌△DAE
∴∠ABC=∠DAE，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠DAE+∠BAC=90°．
∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=+．
S四边形ADCB=S△ADC+S△ACB=，
∴+=，
∴a2+b2=c2．
勾股定理与面积
【例1】（2021·陕西西安市期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．

【答案】66.
【解析】解： A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
则S3=S1+S2，S3=16+25+9+16=66．
故答案为：66．
【例2】（2020·浙江杭州市）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形）的面积记为，则的关系为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：设图1最大正方形的面积为S5,较小正方形面积为S6，最小正方形面积为S7，
则S5= S6+ S7，
图2中空白部分面积为：S6+ S7-S4,
而S1+S2+S3+S空白=S5= S6+ S7，
即S1+S2+S3+ S6+ S7-S4 = S6+ S7
S1+S2+S3= S4
故答案为：C.
【例3】（2020·扬州市期中）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长次后，变成的图中所有正方形的面积用表示，则______．

【答案】2n＋2.
【解析】解：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，
∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积Sn=2n+2，
故答案为：2n+2．
【变式1】（2019·北京昌平区期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出了2个小正方形（如图①），其中，3个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，又生出了4个小正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，在“生长”了2019次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C.
【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2=c2，

即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，
生长1次后，所有的正方形的面积和是2，
同理可得，生长2次后，所有的正方形的面积和是3，生长3次后，所有的正方形的面积和是4，⋯⋯所以，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．
故答案为：C．
【变式2】（2020·浙江期末）在中，已知，AD是的角平分线，于点E．若 的面积为S，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，

∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴S△ACD=S△AED，AE=AC=5k，
∴BE=13k-5k=8k，
S△BED：S△AED=8:5
∴S△ACD=S．
故答案为：B.
勾股定理及勾股数应用
【例1】（2020·长汀县月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？

【答案】沿北偏西40°方向航行．
【解析】解：PQ=16×1.5=24（海里）， PR=12×1.5=18（海里），
∵QR=30，242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS=50°．
则∠RPS=∠QPR－∠QPS=90°－50°=40°，
即“海天”号沿北偏西40°方向航行．
【例2】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【答案】12，13或3，4．
【解析】解：当n=1，a=（m2﹣1），b=m，c=（m2+1），
∵直角三角形有一边长为5，
∴当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=±（舍去），
当b=5时，即m=5，得，a=12，c=13，
当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．
【例3】（2021·河南洛阳市期末）在中，，，，三个内角的平分线交于点，则点到的距离PH为（　　　）

A．1cm B．2cm C．cm D．cm
【答案】B.
【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=13
∵三个内角的平分线交于点P
∴P到三角形ABC三边的距离相等，均为PH的长
S△ABC=S△APC+S△APB+S△BCP
= （AC+BC+AB）·PH
S△ABC=·BC·AC
∴×5×12=×（5+12+13）·PH
∴PH=2
故答案为：B．
【变式1】（2020·浙江嘉兴市期末）如图，在中，，垂足为D，M为上任一点，则等于（ ）

A．93 B．30 C．120 D．无法确定
【答案】C.
【解析】解：由题意知∠ADB=∠ADC=90°
∴由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，
∴AC2－AB2=CD2-BD2，
即172-132= CD2-BD2
同理，CM2－MB2=CD2－BD2=172-132=120
故答案为：C.
【变式2】阅读：所谓勾股数就是满足方程的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数我国古代数学专著九章算术一书，在世界上第一次给出该方程的解为：，，，其中，m，n是互质的奇数．应用：当时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．
【答案】15，17．
【解析】解：当x=8 时，，
解得m=5或m=-5（舍），
∴y=mn=15，z=17.
当y=8时，3m=8，m=（舍）
当z=8时，，解得m=（舍）
综上所述，当n=3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．
特殊三角形中的应用
【例1】（2020·山东威海市期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（　　　）

A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】解：如图，BC=20，CD=BD=10=EM，

∴EG=GM=5，
∴EF=FG=5，
∴S=EF2=，
故答案为：B.
【例2】（2021·北京房山区期末）如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（ ）

A．2， B．4， C．， D．2，
【答案】A.
【解析】解：由题意可得：OA=AB=AB1=1，OB1=2，
∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴OA1=A1B1=，
∴OB2=2OA1=，OA2=A2B2=2，……
∴OAn=，
∵S△OAB=，S△OA1B1=1，S△OA2B2=2，……
∴S△OAnBn=，
∴S△OA2021B2021=，
故答案为：A．
【例3】（2021·福建厦门期末）如图，△ABC与△BED全等，点A，C分别与点B，D对应，点C在BD上，AC与BE交于点F．若∠ABC＝90°，∠D＝60°，则AF：BD的值为_____．

【答案】3：4．
【解析】解：根据题意知，△ABC≌△BED，
则∠ACB＝∠D＝60°，∠ABC＝∠BED＝90°，AC＝BD，
∴AC//ED．
∴∠AFB＝∠E＝90°
∴∠DBE=∠A=30°
设AF=x，BF=a，在Rt△ABF中，AB=2BF=2a，
由勾股定理得：（2a）2=a2+x2，
即a=x，BF=x，AB=x
同理，在Rt△ABC中，CF=x，AC=AF+CF=x，
∴
故答案为：3：4．
【变式1】（2021·安徽安庆市期末）如图，在平面直角坐标系中，，，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，…，按此规律进行下去，则的坐标是_______．

【答案】(0，1－31010).
【解析】解：∵∠A1Ox=30°，∠A1OA2=60°，

∴∠A2Ox=90°，A2在y轴上，在Rt△A1A2O中，OA1=2，
∴OA2=2OA1=4，A1A2=2，
∴A2的纵坐标为：4，
∴A2（0，4），
同理，A3(，1)，A4（0，-8），
A1在第一象限，A2在y轴正半轴上，A3在第二象限，A2在y轴负半轴上，
由此发现：点A1，A2，A3，A4，…，An，每四次一循环，2020÷4=505，
∴点A2020在y轴的负半轴上，纵坐标是：，
故答案为：(0，1－31010).
影响时间
【例1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是 分钟．

【答案】0.48．
【解析】解：过点A作AD⊥ON于D，

∵∠MON＝30°，AO＝160m，
∴AD＝OA＝80m，
以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝，
∴BC＝120m，
∵卡车的速度为250米/分钟，
∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，
故答案为：0.48．
【例2】（2021·四川资阳期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

【答案】（1）会受噪声影响，见解析；（2）2分钟.
【解析】解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：过点C作CD⊥AB于D，

∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【例3】（2021·重庆万州期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的C处，过了2秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？


【答案】超速，每小时超速3.2千米．
【解析】解：根据题意，得AC=18，AB=30，∠C=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得：BC=24
即小汽车2秒行驶24米，
即小汽车行驶速度为：43.2千米/时，43.2>40，
所以小汽车超速行驶，超速3.2（千米/时）．
【变式1】（2021·重庆期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．

（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
【答案】（1）学校受到噪音影响，见解析；（2）32秒.
【解析】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
过A作AB⊥MN于B，

∵PA=120，∠QPN=30°
∴AB=PA=60
而60<100，
故消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作圆交MN于C、D，
在Rt△ABC中，AC=100，AB=60，由勾股定理得：BC=80
同理，BD=80
∴CD=160，
拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间为：160÷5=32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
【变式2】（2020·吉林长春市期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

【答案】超速.
【解析】解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，
在Rt△ACB中，BC=40m
∴小汽车的速度为40÷2=20 m/s=72 km/h>70 km/h ；
∴这辆小汽车超速．
最值问题
【例1】（2021·江苏泰州市期末）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P在线段BC上从B点向C点运动，连接AP，则AP的最小值为等于________．

【答案】4.
【解析】解：过A作AP⊥BC于P，

∵AB=AC=5，
∴BP=BC=3，
在Rt△ABP中，由勾股定理得，AP=4
由垂线段最短知，AP的最小值为4
故答案为：4．
【例2】（2021·重庆渝北区期末）如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为______．

【答案】.
【解析】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，

过C作CN⊥AB于N，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的高，
∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
在Rt△ABD中，AD＝12，
∴S△ABC＝×BC×AD＝×AB×CN，
∴CN＝BC×AD÷AB＝，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，即CF＋EF≥，
即CF＋EF的最小值是，
故答案为：．
【例3】（2021·江苏连云港市期末）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为（ ）

A．12.5 B．13 C．14 D．15
【答案】C.
【解析】解：取AB的中点D，连接CD

∵AC=BC=10，AB=12，
∵点D是AB边中点，
∴BD=AB=6，CD⊥AB，
∴CD=8，
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=6
∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，
故答案为：C．
新定义问题
【例1】（2020·渠县月考）阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）
（2）在中，两边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
【答案】（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形．
【解析】解：（1）设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2=2a2，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，
故答案为：是；
(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；
②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；
理由如下，分两种情况：
①当c为斜边时，b=，
∴a=b，
∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，
∴Rt△ABC不是奇异三角形；
②当b为斜边时，b=，
∵a2+b2=200，∴2c2=200，
∴a2+b2=2c2，
∴Rt△ABC是奇异三角形．
【例2】（2021·北京昌平区）定义：点P是内部的一点，若经过点P和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是关于顶点A的均分点．

（1）下列图形中，点D一定是关于顶点B的均分点的是________；（填序号）

（2）如图，在中，，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，当时，，求的长．

【答案】（1）④；（2）.
【解析】解：（1）①D点在直线AE上，故D点不是△ABC关于顶点B的均分点．
②D点在直线AE上，故D点不是△ABC关于顶点B的均分点．
③不能推出AE=EC，即不能说明△ABE和△BCE面积相等，故不能证明D点是△ABC关于顶点B的均分点．
④由AE=EC，可知△ABE和△BCE面积相等，所以D点是△ABC关于顶点B的均分点．
故答案为：④．
（2）过点C点作CE⊥AP于E，

∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC=10，
∴BD=CD=5，
在Rt△BPD中，由勾股定理得：PD=3，
易证：△BPD≌△CDE，
∴PD=DE=3，PB=CE=4，
∴PE=2PD=6
在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC=．
【例3】（2020·浙江嘉兴市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．

（1）特例感知
①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上试探究线段与的数量关系，并给予证明；
【答案】（1）①是；②2；（2）见解析．
【解析】解：（1）是；
②由题意知，CD⊥AB，BD=，AD=1，
由勾股定理可得：BC2=DC2+BD2=DC2+5，AC2=CD2+1,
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，
∴CD2=BC2－AC2，
∴CD2=4，
解得：CD=2（-2舍去）；
（2）AD=CB，
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，
∴CD2=AC2-BC2，
∵CD⊥AB
∴AC2-CD2=AD2
∴BC2=AD2
∴BC=AD
【变式1】我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长．
【答案】（1）见解析；（2）AP的长为或2或.
【解析】解：（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠PAB＝∠DPC，
∴△ABP≌△PCD，
∴AP＝PD，
∴点P是△APD的准外心；
（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，
∴AC4，
当P点在AB上，PA＝PB，则APAB；
当P点在AC上，PA＝PC，则APAC＝2，
当P点在AC上，PB＝PC，如图，

设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，
即此时AP，
综上所述，AP的长为或2或．
【变式2】（2021·浙江宁波市）定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．

（1）若是“近直角三角形”，，，则_____度；
（2）如图，在中，，，．若是的平分线，
①求证：是“近直角三角形”；
②求的长．
（3）在（2）的基础上，边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）20，（2）①见解析；②；（3）或．
【解析】解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A=α时，∠C=β=50°，此时，α+2β=90°，不成立
当∠A=β，∠C=α=50°时，β=20°
（2）①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCD
又∠BAC=90°
∴∠ACB+∠B=90°
即2∠BCD+∠B=90°
∴△BCD是“近直角三角形”．
②过点D作DH⊥BC于H

在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=5
可得：△ACD≌△HCD
∴DH=AD，AC=CH=4，
∴BH=1
设BD=x，则DH=3-x，
在Rt△BDH中，x2=（3-x）2+1，
解得：x=，
即BD=.
（3）①过点E作EF⊥BC于F，

设CE=x，则AE=4-x，EF=4-x
由AB=BF=3得：CF=2，
在Rt△CEF中，x2=22+（4-x）2，
解得：x=
②当∠ABE=∠C时，延长EA至G，使得AE=AG，

根据条件可得：△ABG≌△ABE，
∴∠GBA=∠C=∠EBA
由∠GBA+∠G=90°，知∠C+∠G=90°，
故∠GBC=90°
设CE=x，则AE=AG=4-x，
∴（4-x）2+32=（8-x）2-52，
解得：x=
综上所述，满足题的CE值为或．
【变式3】（2021·浙江宁波期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积．

【答案】（1）是；（2）1：1：；（3）或.
【解析】解：（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：
∵，满足是平方倍三角形的定义，
∴三边长分别是，和2的三角形是平方倍三角形；
（2）在Rt∆ABC中，则a2+b2=c2，
∵Rt∆ABC是平方倍三角形，
∴c2+b2=3a2，
∴a2+b2=3a2－b2
∴a=b，c=a
故该直角三角形的三边之比为1：1：；
（3）∵Rt△ABC中，CD为△ABC的中线，
∴CD=AB=AD=BD，
设CD=AB=AD=BD=x，则AB=2x，
∵AB＞BC，
∴2x＞5，即：x＞，
∵△BCD是平方倍三角形，
①当BD2+CD2=3BC2，
即x2+x2=3×52，解得：x=（舍负），
∴AB=2x=，AC=，
∴△ABC的面积=，
②当BC2+BD2=3DC2，则52+x2=3x2，
解得：x=（舍负），
∴AB=2x=，AC==5，
∴△ABC的面积=，
综上所述，△ABC的面积为或．
【题型二】勾股定理逆定理及其应用
判断三角形形状
【例1】（2021·江苏苏州市期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5
【答案】C.
【例2】（2021·山西长治市期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：如图，连接AC，

由题意可得：
∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
故答案为：A ．
【变式1】（2021·浙江绍兴市期末）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成．设AB=x，若为直角三角形，则x=__．

【答案】或.
【解析】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x
∴1+x＞3-x，1+3-x>x
解得：1 ①∵1＜x，∴AC不能为斜边，
②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=，满足1＜x＜2，
③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x= ，满足1＜x＜2，
故答案为：或．
【变式2】（2021·江西吉安市期末）如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．

（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）135°；（2）10．
【解析】解：连接AC，如图，

∵∠D＝90°，
∴AD2+CD2=AC2
∵CD＝AD＝，
∴AC=4
∵AB＝5．BC＝3
∴AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°
∵CD＝AD
∴∠ACD=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°.
（2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=
=
=10.
【变式3】（2021·广东佛山市期末）在△ABC中，
（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；
（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．

【答案】（1）150；（2）66.
【解析】解：（1）∵AC＝15，AD＝9，CD＝12
∴CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°，∠BDC=90°
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=16
∴AB=AD+BD=25
∴S△ABC=.

（2）过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°

设AD=x，则BD=x+11
由勾股定理得：CD2=132-x2=202-（x+11）2，
解得：x=5
∴CD2=144，即CD=12，
∴S△ABC==66.
三角形存在性问题
【例1】（2021·福建泉州市期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．

图1 图2
（1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B．
①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；
②求CE的长．
（2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）2.5.
【解析】解：（1）①作∠BAE=∠B

②由勾股定理，得BC=4
∵∠AEC=∠B+∠BAE，
又∵∠AEC=2∠B，
∴∠BAE=∠B ，
∴BE=AE，．
设CE=x，则BE=AE=4-x，
在Rt△AEC中，x2+32=（4-x）2，
∴x=.
（2）AC为底时，AD=CD，

∴∠A=∠DCA
∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD，
即AD=BD=2.5．
【例2】（2021·广东佛山市期末）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒的速度向点C运动，连接，设运动时间为t秒（）

（1）求的长．
（2）当时，求t的值．
【答案】（1）12；（2）.
【解析】解：（1）由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2，
BC==12；
（2）由题意知PA=PB=t，PC=16-t，
在Rt△PCB中，（16-t）2=t2-122，
解得：t=，
∴当点P运动到PA=PB时，t的值为．
【变式1】（2020·南阳市月考）如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时，______，______；（请直接写出答案）
（2）当为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．

【答案】（1）4，21；（2）或；（3）或或9．
【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC==25，
AD=AC-CD=25-4=21；
故答案为：4，21；
（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC•BD=AB•BC，
∴BD=12，CD==9，
∴2t=9，
解得：t=（秒）；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
∴2t=25，
解得：t=（秒）；
综上所述，当t=或秒时，△CBD是直角三角形；
（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，

则CE=BE，DE∥AB，
∴CD=AD=AC=，
∴2t=，
解得：t=（秒）；
②CD=BC时，CD=15，
∴2t=15，
解得：t=（秒）；
③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，

同理可得：CF=9，则CD=2CF=18，
∴2t=18，t=9（秒）；
综上所述，当t=或或9秒时，△CBD是等腰三角形．