高中苏教版 (2019)第4章 指数与对数4.2 对数教学设计及反思

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本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》苏教版必修1第四章《指数与对数》的第三课时，主要内容是探究对数的运算性质及换底公式，并会用其进行简单的证明和计算.在此之前，学生已经学习过了对数的概念、指数 与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探究讨论对数的换底公式.
1.教学重点：对数运算性质的推导．
2.教学难点：对数运算性质的灵活运用．
1．①lgaN是lga与N的乘积．
②(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.
③对数运算的实质是求幂指数．
上列命题中，正确的命题是________(填序号)．
答案：③
2．(1)把指数式54＝625化成对数式为________．
(2)把指数式2－6＝eq \f(1,64)化成对数式为________．
答案：(1)lg5625＝4 (2)lg2eq \f(1,64)＝－6
3．(1)把对数式lg28＝3化成指数式为________．
(2)把对数式lgeq \f(1,2)eq \f(1,4)＝2化成指数式为________．
答案：(1)23＝8 (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)
4．对数lg381的值为________．
解析：设lg381＝x，则3x＝81，即3x＝34，∴x＝4.
答案：4
预习课本P83～85，思考并完成以下问题
1．对数的运算性质：如果a＞0且a≠1，M＞0，N>0，n∈R，那么
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM.
[点评] (1)对数的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立，如lg2[(－3)·(－5)]是存在的，但lg2(－3)与lg2(－5)均不存在，故不能写成lg2[(－3)·(－5)]＝lg2(－3)＋lg2(－5)．
(2)要注意公式的特点，如lgaM·N≠lgaM·lgaN.
(3)对数的运算性质实质上是将积商幂的运算转化为对数的加减乘运算．
2．换底公式：若a＞0且a≠1，N＞0，c＞0且c≠1，则lgaN＝eq \f(lgcN,lgca).
[点评] (1)换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，将不同底的问题转化为同底，便于使用运算性质．
(2)由换底公式可得以下常用结论．
lgab·lgba＝1，
lgambn＝eq \f(n,m)lgab.
3.微课辅助
典例剖析
题型一：对数运算性质的应用
[典例] 计算下列各式：
(1)eq \f(1,2)lg 25＋lg 2＋lgeq \r(10)＋lg(0.01)－1；
(2)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－3lg55；
(3)(lg 5)2＋lg 2·lg 50；
(4)lg(eq \r(3＋\r(5))＋eq \r(3－\r(5)))．
[解] (1)原式＝lg[25×2×10×(10－2)－1]
＝lg(5×2×10×102)
＝lg 10eq \f(7,2)＝eq \f(7,2).
(2)原式＝2lg32－5lg32＋lg332＋3lg32－3
＝2－3＝－1.
(3)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)
＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
(4)原式＝eq \f(1,2)lg(eq \r(3＋\r(5))＋eq \r(3－\r(5)))2
＝eq \f(1,2)lg(6＋2eq \r(9－5))＝eq \f(1,2)lg(6＋4)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2).
点评：对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
题型二：换底公式的应用
[典例] (1)求lg2eq \f(1,25)·lg38·lg27的值．
(2)已知lg95＝a,3b＝7，试用a，b表示lg2135.
[解] (1)原式＝eq \f(－2lg 5,lg 2)·eq \f(3lg 2,lg 3)·eq \f(3lg 3,－lg 5)＝18.
(2)由lg95＝a，得a＝eq \f(lg35,lg39)＝eq \f(1,2)lg35.
由3b＝7，得lg37＝b.
∴lg2135＝eq \f(lg335,lg321)＝eq \f(lg35＋lg37,lg33＋lg37)＝eq \f(2a＋b,1＋b).
点评
(1)换底公式的主要用途是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数化为常用对数或自然对数，解决一般对数求值问题．
(2)题目中有指数式与对数式时，要将指数式和对数式进行互化，统一成一种形式．
[变式训练]
1．求值：eq \f(lg23,lg89)＝________.
解析：原式＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(3lg 2,2lg 3)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
2．若lg37·lg29·lg49a＝lg4eq \f(1,2)，则a＝________.
解析：由已知得：eq \f(lg 7,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 2)·eq \f(lg a,2lg 7)＝eq \f(－lg 2,2lg 2)，
∴lg a＝－eq \f(1,2)lg 2＝lgeq \f(\r(2),2)，∴a＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
3．若lg 2＝m，lg310＝eq \f(1,n)，则用m，n表示lg56等于________．
解析：lg310＝eq \f(1,n)⇒eq \f(1,lg 3)＝eq \f(1,n)⇒lg 3＝n.
lg56＝eq \f(lg 6,lg 5)＝eq \f(lg 2＋lg 3,1－lg 2)＝eq \f(m＋n,1－m).
答案：eq \f(m＋n,1－m)
题型三：对数运算性质的综合应用
题点一：解对数方程
1．解方程lg3(x2－10)＝1＋lg3x.
解：由原方程得lg3(x2－10)＝lg3(3x)，
∴x2－10＝3x，即x2－3x－10＝0，
解之得x＝5或x＝－2，
代入原方程检验可知x＝－2不合题意，
∴原方程的解为x＝5.
题点二：利用指数式和对数式的互化求代数式的值
2．设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值．
解：∵3x＝36,4y＝36，∴x＝lg336，y＝lg436.
∴eq \f(1,x)＝lg363，eq \f(1,y)＝lg364.
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝lg36(32×4)＝lg3636＝1.
题点三：利用对数证明等式
3．设xa＝yb＝zc，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，求证：z＝xy.
证明：设xa＝yb＝zc＝k，
则eq \f(1,a)＝eq \f(lg x,lg k)，eq \f(1,b)＝eq \f(lg y,lg k)，eq \f(1,c)＝eq \f(lg z,lg k)，
∴eq \f(lg x,lg k)＋eq \f(lg y,lg k)＝eq \f(lg z,lg k)，∴lg(xy)＝lg z，即z＝xy.
点评：
(1)解对数方程时，需要检验得到的解是否满足所有真数都大于零．
(2)在证明恒等式或进行对数值运算时，多借助于换底公式化为同底的对数，至于底数取什么数值，一般是根据已知条件灵活选取．
本节内容从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让学生去探究， 对学生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导学生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的问题.课程目标
学科素养
A掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程。
B.通过对数的运算性质的探素及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识
a数学抽象: 对数运算性质的符号表示
b逻辑推理: 对数运算性质的推导
c数学运算: 对数运算性质的运用
d数学建模: 能运用对数运算解决实际问题