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数学浙教版第2章 特殊三角形综合与测试课后作业题
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这是一份数学浙教版第2章 特殊三角形综合与测试课后作业题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题）
1. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 下列图形中，△AʹBʹCʹ 与 △ABC 关于直线 MN 成轴对称的是
A. B.
C. D.
3. 适合下列条件的 △ABC 中，直角三角形的个数是
① ∠A:∠B:∠C=1:2:3；
② ∠A+∠B=∠C；
③ ∠A=90∘-∠B；
④ ∠A=∠B=2∠C．
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是
A. B.
C. D.
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 AC=4，BC=2 时，阴影部分的面积为
A. 4B. 4πC. 8πD. 8
6. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=30∘，直线 a∥b，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 ∠1=145∘，则 ∠2 的度数是
A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘
7. 等腰 △ABC 的顶角 A 为 120∘，过底边上一点 D 作底边 BC 的垂线交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 F，则 △AEF 是
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰但非等边三角形
8. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，点 D 在 BC 的延长线上，且 AD=12BC，若 ∠D=40∘，则 ∠B=
A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘
9. 如图，在 △ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 I，过点 I 作 DE∥BC 交 BA 于点 D，交 AC 于点 E，AB=5，AC=3，∠A=50∘，则下列说法错误的是
A. △DBI 和 △EIC 都是等腰三角形
B. I 为 DE 的中点
C. △ADE 的周长是 8
D. ∠BIC=115∘
10. 已知 ∠MON=20∘，点 A，B 分别是射线 OM，ON 上的动点（A，B 不与点 O 重合），若 AB⊥OM，在射线 ON 上有一点 C，设 ∠OAC=x∘，则下列 x 的值不能使 △ABC 为等腰三角形的是
A. 20B. 45C. 50D. 125
二、填空题（共8小题）
11. 夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索 AB=AC，A 与塔柱底端 D 的连线平分 ∠BAC，且塔柱底端 D 与点 B 间的距离是 228 米，则 BC 的长是 米．
12. 如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，且 BC=BD+AD，则点 D 在 AC 的 上．
13. 一个等腰三角形的底边长为 5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为 2，则这个等腰三角形的腰长为 ．
14. 写出命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题： ．
15. 如图，在 △ABC 中，已知 ∠BAC=108∘，∠B=36∘，且 CA=CD，则图中共有 个等腰三角形．
16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=48∘，将 △ACD 沿 CD 所在的直线翻折，E 是点 A 落在边 BC 上的对应点，则 ∠EDB 的度数为 ．
17. 如图，△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则 ∠EFC= ．
18. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，当 S△ABC=12，AC=8 时，BM+MN 的最小值等于 ．
三、解答题（共5小题）
19. 如图，△ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作 ∠BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D；
②作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AM 相交于点 P；
③连接 PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段 PA，PB，PC 之间的数量关系是 ．
（2）若 ∠ABC=70∘，求 ∠BPC 的度数．
20. 阅读下题及证明过程．
已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ⋯⋯①
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠B=∠C,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE, ⋯⋯②
∴BD=CE. ⋯⋯③
上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在①、②、③的哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
21. 如图，等腰直角三角板的直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A，B 作 AE⊥直线m 于点 E，BD⊥直线m 于点 D．
（1）求证：EC=BD；
（2）设 △AEC 的三边分别为 a，b，c，请利用此图证明勾股定理．
22. 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA，PB，PC，以 BP 为边作 ∠PBQ=60∘，且 BP=BQ，连接 CQ．
（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说明理由；
（2）若 PA=3，PB=4，PC=5，连接 PQ，判断 △PQC 的形状并说明理由．
23. 如图，已知点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，且 OB=OC．
（1）如图①，若点 O 在 BC 上，求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）如图②，若点 O 在 △ABC 内部，求证：AB=AC；
（3）若点 O 在 △ABC 的外部，AB=AC 还成立吗?请画图说明．
答案
1. B
【解析】B项中的图案沿某一 条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，所以它是轴对称图形．故选B．
2. B
【解析】根据轴对称的概念，沿直线 MN 折叠，△AʹBʹCʹ 与 △ABC 能够完全重合的只有选项B．
3. C
【解析】①设 ∠A=x∘，∠B=2x∘，∠C=3x∘，则 x+2x+3x=180，x=30，所以 ∠C=3x∘=90∘；
②因为 ∠A+∠B+∠C=180∘，∠A+∠B=∠C，所以 2∠C=180∘，∠C=90∘；
③因为 ∠A=90∘-∠B，所以 ∠A+∠B=90∘，所以 ∠C=180∘-∠A+∠B=90∘；
④由 ∠A+∠B+∠C=180∘，∠A=∠B=2∠C，得 2∠C+2∠C+∠C=180∘，∠C=36∘，∠A=∠B=72∘．
故选C．
4. C
【解析】选项A、B中的图形不符合以折痕所在直线为对称轴的特征，选项C、D中的图形都符合以折痕所在直线为对称轴的特征，但选项D中的图形的三角形小孔的位置与题图不符，只有C与之吻合（如图）．
5. A
【解析】∵△ABC 为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AC2+BC2-AB2=0，
∴阴影部分的面积=S△ABC+S半圆AC+S半圆BC-S半圆AB=12AC⋅BC+12×π×AC22+12×π×BC22-12×π×AB22=12×2×4+12×π×14AC2+BC2-AB2=4.
6. C
【解析】∵AB=AC，且 ∠A=30∘，
∴∠ACB=75∘．
在 △ADE 中，
∵∠1=∠A+∠AED=145∘，
∴∠AED=∠1-∠A=145∘-30∘=115∘，
∵a∥b，
∴∠AED=∠2+∠ACB，
∴∠2=∠AED-∠ACB=115∘-75∘=40∘．
7. A
【解析】如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEF=∠DEC=90∘-∠C，∠F=90∘-∠B，
∴∠AEF=∠F，即 AE=AF，
又 ∵∠BAC=120∘，
∴∠FAE=60∘，
∴△AEF 是等边三角形．
故选A．
8. B
【解析】如图，取 BC 的中点 E，连接 AE．
∵∠BAC=90∘，点 E 是 BC 的中点，
∴AE=12BC=BE，
∴∠B=∠EAB，
∵AD=12BC，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠D=40∘，
∴∠B=20∘．
故选B．
9. B
【解析】因为 BI 平分 ∠DBC，CI 平分 ∠BCE，
所以 ∠DBI=∠CBI，∠BCI=∠ECI，
因为 DE∥BC，
所以 ∠DIB=∠IBC，∠EIC=∠BCI，
所以 ∠DIB=∠DBI，∠ECI=∠EIC，
所以 BD=DI，CE=EI（等角对等边），
所以 △DBI 和 △EIC 是等腰三角形；
因为 BD=DI，CE=EI，
所以 △ADE 的周长 =AD+DI+IE+EA=AD+BD+CE+EA=AB+AC=8；
因为 ∠A=50∘，
所以 ∠ABC+∠ACB=130∘，
所以 ∠IBC+∠ICB=12∠ABC+∠ACB=12×130∘=65∘，
所以 ∠BIC=180∘-∠IBC+∠ICB=180∘-65∘=115∘，
所以A，C，D中的说法都正确，当 AB≠AC 时，点 I 不是 DE 的中点．
10. B
【解析】如图，
∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90∘，
∵∠MON=20∘，
∴∠ABO=70∘，
∵△ABC 为等腰三角形，
∴ 分类讨论：
①当 AC=AB 时，∠ACB=∠ABC=70∘，
∴∠OAC=∠ACB-∠MON=70∘-20∘=50∘，
∴x=50；
②当 CA=CB 时，∠CAB=∠ABC=70∘，
∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=90∘-70∘=20∘，
∴x=20；
③当 AB=BC 时，∠BAC=∠BCA=12×180∘-70∘=55∘，
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=90∘-55∘=35∘，
∴x=35；
④当 AB=BCʹ 时，∠BACʹ=∠ACʹB=12×70∘=35∘，
∴∠OACʹ=∠OAB+∠BACʹ=90∘+35∘=125∘，
∴x=125，
综上所述，x=50或20或35或125，
∴x 不能为 45，
故选B．
11. 456
【解析】根据题意，知 △ABC 是等腰三角形，
又 ∵ 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是其对称轴，
∴ 点 B 与点 C 关于 AD 所在的直线成轴对称，
∴BC=2BD=456 米．
12. 垂直平分线
【解析】由 BC=BD+DC=BD+AD，得 AD=CD，
∴ 点 D 在 AC 的垂直平分线上．
13. 3 或 7
【解析】设腰长为 2x，则 2x+x-5+x=2 或 5+x-2x+x=2，解得 x=3.5或1.5，
∴2x=7或3．
①三角形 ABC 的三边长为 7，7，5，符合三角形三边关系定理；
②三角形 ABC 的三边长为 3，3，5，符合三角形三边关系定理．
故答案为 3 或 7．
14. 有两个角互余的三角形是直角三角形
【解析】命题“直角三角形两锐角互余”可以改写为“如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余”，交换命题的条件和结论后为“如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”即有两个角互余的三角形是直角三角形．
15. 3
【解析】在 △ABC 中，
∵∠BAC=108∘，∠B=36∘，
∴∠C=36∘，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
在 △ACD 中，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=12×180∘-36∘=72∘，
∴∠DAB=∠CDA-∠B=36∘，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴ 等腰三角形有 △ADB，△ABC，△ADC，共 3 个．
16. 6∘
【解析】∵∠ACB=90∘，∠A=48∘，
∴∠B=90∘-∠A=90∘-48∘=42∘，
∵△CDE 是 △CDA 翻折得到的，
∴∠CED=∠A=48∘，
在 △BDE 中，∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠CED-∠B=48∘-42∘=6∘．
17. 45∘
【解析】因为 DE 垂直平分 AB，
所以 AE=BE，
因为 BE⊥AC，
所以 △ABE 是等腰三角形，
所以 ∠BAE=45∘，
又因为 AB=AC，AF⊥BC，
所以 ∠ABC=∠C=67.5∘，BF=FC=12BC，
所以在 Rt△BCE 中，EF 是 BC 边上的中线，
所以 EF=12BC=CF，
所以 ∠FEC=∠C=67.5∘，
所以 ∠EFC=45∘．
18. 3
【解析】如图，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴ 点 B 关于 AD 的对称点 Bʹ 在 AC 上，
过点 Bʹ 作 BʹN⊥AB 于 N，交 AD 于 M，
∵BʹN=BʹM+MN=BM+MN，
∴ 此时点 M，N 的位置即可使 BM+MN 取得最小值．
过点 B 作 BE⊥AC 于 E，
∵AC=8，S△ABC=12，
∴12×8⋅BE=12，解得 BE=3，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，Bʹ 与 B 关于 AD 对称，
∴AB=ABʹ，
∵S△ABBʹ=12AB⋅BʹN=12ABʹ⋅BE，
∴BʹN=BE=3，即 BM+MN 的最小值是 3．
19. （1） PA=PB=PC
【解析】理由如下：
∵AB=AC，AM 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD（等腰三角形三线合一），
∴ 直线 AD 为线段 BC 的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵ 直线 EP 是线段 AB 的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC．
（2） ∵AB=AC，∠ABC=70∘，
∴∠ABC=∠ACB=70∘（等边对等角），
∴∠BAC=180∘-2×70∘=40∘．
∵AM 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20∘．
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=20∘，∠ACP=∠CAP=20∘，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠ACP=20∘+20∘+20∘+20∘=80∘.
20. 题中的证明过程不正确．错在第②步．正确过程如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）．
∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）．
在 △ABD 和 △ACE 中，
∠ADB=∠AEC,∠B=∠C,AB=AC,
∴△ABD≌△ACEAAS，
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．
21. （1） ∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠ACB=90∘，
∴∠ACE+∠BCD=90∘，
∵AE⊥m，BD⊥m，
∴∠AEC=∠CDB=90∘，
∴∠ACE+∠CAE=90∘，
∴∠CAE=∠BCD．
在 △AEC 与 △CDB 中，
∠CEA=∠BDC,∠CAE=∠BCD,AC=CB,
∴△CAE≌△BCDAAS，
∴EC=BD．
（2） 由（1）知 BD=CE=a，CD=AE=b，BC=AC=c，
∴S梯形AEDB=12a+ba+b=12a2+ab+12b2，
又 ∵S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，
整理得 a2+b2=c2．
22. （1） AP=CQ．理由如下：
∵∠ABP+∠CBP=60∘，∠PBQ=∠CBQ+∠CBP=60∘，
∴∠CBQ=∠ABP，
在 △ABP 和 △CBQ 中，AB=CB,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,
∴△ABP≌△CBQSAS，
∴AP=CQ．
（2） △PQC 为直角三角形．理由如下：
∵∠PBQ=60∘，且 BQ=BP，
∴△BPQ 为等边三角形，
∴PQ=BP=4，
由（1）得 CQ=AP=3，
又 ∵PC=5，
∴PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC 为直角三角形（勾股定理的逆定理）．
23. （1） 如图 1，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
则 ∠OEB=∠OFC=90∘，
∵ 点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，
∴OE=OF．
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中，
OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFCHL，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即 △ABC 是等腰三角形（等角对等边）．
（2） 如图 2，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
则 ∠OEB=∠OFC=90∘，
∵ 点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，
∴OE=OF．
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中，
OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFCHL，
∴∠ABO=∠ACO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
（3） AB=AC 不一定成立．
理由：①当 ∠A 的平分线和 BC 的垂直平分线重合时，如图 3，过 O 作 OE⊥AB 交 AB 的延长线于 E，OF⊥AC 交 AC 的延长线于 F，
则 ∠OEB=∠OFC=90∘，
∵ 点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，
∴OE=OF，
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中，
OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFCHL，
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=180∘-∠OBC+∠EBO，∠ACB=180∘-∠OCB+∠FCO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
②当 ∠A 的平分线和 BC 的垂直平分线不重合时，如图 4，
此时 ∠ABC 和 ∠ACB 不相等，
∴AB≠AC．
综上，AB=AC 不一定成立．
一、选择题（共10小题）
1. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 下列图形中，△AʹBʹCʹ 与 △ABC 关于直线 MN 成轴对称的是
A. B.
C. D.
3. 适合下列条件的 △ABC 中，直角三角形的个数是
① ∠A:∠B:∠C=1:2:3；
② ∠A+∠B=∠C；
③ ∠A=90∘-∠B；
④ ∠A=∠B=2∠C．
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是
A. B.
C. D.
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 AC=4，BC=2 时，阴影部分的面积为
A. 4B. 4πC. 8πD. 8
6. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=30∘，直线 a∥b，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 ∠1=145∘，则 ∠2 的度数是
A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘
7. 等腰 △ABC 的顶角 A 为 120∘，过底边上一点 D 作底边 BC 的垂线交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 F，则 △AEF 是
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰但非等边三角形
8. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，点 D 在 BC 的延长线上，且 AD=12BC，若 ∠D=40∘，则 ∠B=
A. 10∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘
9. 如图，在 △ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 I，过点 I 作 DE∥BC 交 BA 于点 D，交 AC 于点 E，AB=5，AC=3，∠A=50∘，则下列说法错误的是
A. △DBI 和 △EIC 都是等腰三角形
B. I 为 DE 的中点
C. △ADE 的周长是 8
D. ∠BIC=115∘
10. 已知 ∠MON=20∘，点 A，B 分别是射线 OM，ON 上的动点（A，B 不与点 O 重合），若 AB⊥OM，在射线 ON 上有一点 C，设 ∠OAC=x∘，则下列 x 的值不能使 △ABC 为等腰三角形的是
A. 20B. 45C. 50D. 125
二、填空题（共8小题）
11. 夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索 AB=AC，A 与塔柱底端 D 的连线平分 ∠BAC，且塔柱底端 D 与点 B 间的距离是 228 米，则 BC 的长是 米．
12. 如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，且 BC=BD+AD，则点 D 在 AC 的 上．
13. 一个等腰三角形的底边长为 5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为 2，则这个等腰三角形的腰长为 ．
14. 写出命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题： ．
15. 如图，在 △ABC 中，已知 ∠BAC=108∘，∠B=36∘，且 CA=CD，则图中共有 个等腰三角形．
16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=48∘，将 △ACD 沿 CD 所在的直线翻折，E 是点 A 落在边 BC 上的对应点，则 ∠EDB 的度数为 ．
17. 如图，△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则 ∠EFC= ．
18. 如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，当 S△ABC=12，AC=8 时，BM+MN 的最小值等于 ．
三、解答题（共5小题）
19. 如图，△ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作 ∠BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D；
②作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AM 相交于点 P；
③连接 PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段 PA，PB，PC 之间的数量关系是 ．
（2）若 ∠ABC=70∘，求 ∠BPC 的度数．
20. 阅读下题及证明过程．
已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ⋯⋯①
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠B=∠C,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE, ⋯⋯②
∴BD=CE. ⋯⋯③
上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在①、②、③的哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
21. 如图，等腰直角三角板的直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A，B 作 AE⊥直线m 于点 E，BD⊥直线m 于点 D．
（1）求证：EC=BD；
（2）设 △AEC 的三边分别为 a，b，c，请利用此图证明勾股定理．
22. 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连接 PA，PB，PC，以 BP 为边作 ∠PBQ=60∘，且 BP=BQ，连接 CQ．
（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并说明理由；
（2）若 PA=3，PB=4，PC=5，连接 PQ，判断 △PQC 的形状并说明理由．
23. 如图，已知点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，且 OB=OC．
（1）如图①，若点 O 在 BC 上，求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）如图②，若点 O 在 △ABC 内部，求证：AB=AC；
（3）若点 O 在 △ABC 的外部，AB=AC 还成立吗?请画图说明．
答案
1. B
【解析】B项中的图案沿某一 条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，所以它是轴对称图形．故选B．
2. B
【解析】根据轴对称的概念，沿直线 MN 折叠，△AʹBʹCʹ 与 △ABC 能够完全重合的只有选项B．
3. C
【解析】①设 ∠A=x∘，∠B=2x∘，∠C=3x∘，则 x+2x+3x=180，x=30，所以 ∠C=3x∘=90∘；
②因为 ∠A+∠B+∠C=180∘，∠A+∠B=∠C，所以 2∠C=180∘，∠C=90∘；
③因为 ∠A=90∘-∠B，所以 ∠A+∠B=90∘，所以 ∠C=180∘-∠A+∠B=90∘；
④由 ∠A+∠B+∠C=180∘，∠A=∠B=2∠C，得 2∠C+2∠C+∠C=180∘，∠C=36∘，∠A=∠B=72∘．
故选C．
4. C
【解析】选项A、B中的图形不符合以折痕所在直线为对称轴的特征，选项C、D中的图形都符合以折痕所在直线为对称轴的特征，但选项D中的图形的三角形小孔的位置与题图不符，只有C与之吻合（如图）．
5. A
【解析】∵△ABC 为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AC2+BC2-AB2=0，
∴阴影部分的面积=S△ABC+S半圆AC+S半圆BC-S半圆AB=12AC⋅BC+12×π×AC22+12×π×BC22-12×π×AB22=12×2×4+12×π×14AC2+BC2-AB2=4.
6. C
【解析】∵AB=AC，且 ∠A=30∘，
∴∠ACB=75∘．
在 △ADE 中，
∵∠1=∠A+∠AED=145∘，
∴∠AED=∠1-∠A=145∘-30∘=115∘，
∵a∥b，
∴∠AED=∠2+∠ACB，
∴∠2=∠AED-∠ACB=115∘-75∘=40∘．
7. A
【解析】如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEF=∠DEC=90∘-∠C，∠F=90∘-∠B，
∴∠AEF=∠F，即 AE=AF，
又 ∵∠BAC=120∘，
∴∠FAE=60∘，
∴△AEF 是等边三角形．
故选A．
8. B
【解析】如图，取 BC 的中点 E，连接 AE．
∵∠BAC=90∘，点 E 是 BC 的中点，
∴AE=12BC=BE，
∴∠B=∠EAB，
∵AD=12BC，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠D=40∘，
∴∠B=20∘．
故选B．
9. B
【解析】因为 BI 平分 ∠DBC，CI 平分 ∠BCE，
所以 ∠DBI=∠CBI，∠BCI=∠ECI，
因为 DE∥BC，
所以 ∠DIB=∠IBC，∠EIC=∠BCI，
所以 ∠DIB=∠DBI，∠ECI=∠EIC，
所以 BD=DI，CE=EI（等角对等边），
所以 △DBI 和 △EIC 是等腰三角形；
因为 BD=DI，CE=EI，
所以 △ADE 的周长 =AD+DI+IE+EA=AD+BD+CE+EA=AB+AC=8；
因为 ∠A=50∘，
所以 ∠ABC+∠ACB=130∘，
所以 ∠IBC+∠ICB=12∠ABC+∠ACB=12×130∘=65∘，
所以 ∠BIC=180∘-∠IBC+∠ICB=180∘-65∘=115∘，
所以A，C，D中的说法都正确，当 AB≠AC 时，点 I 不是 DE 的中点．
10. B
【解析】如图，
∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90∘，
∵∠MON=20∘，
∴∠ABO=70∘，
∵△ABC 为等腰三角形，
∴ 分类讨论：
①当 AC=AB 时，∠ACB=∠ABC=70∘，
∴∠OAC=∠ACB-∠MON=70∘-20∘=50∘，
∴x=50；
②当 CA=CB 时，∠CAB=∠ABC=70∘，
∴∠OAC=∠OAB-∠CAB=90∘-70∘=20∘，
∴x=20；
③当 AB=BC 时，∠BAC=∠BCA=12×180∘-70∘=55∘，
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=90∘-55∘=35∘，
∴x=35；
④当 AB=BCʹ 时，∠BACʹ=∠ACʹB=12×70∘=35∘，
∴∠OACʹ=∠OAB+∠BACʹ=90∘+35∘=125∘，
∴x=125，
综上所述，x=50或20或35或125，
∴x 不能为 45，
故选B．
11. 456
【解析】根据题意，知 △ABC 是等腰三角形，
又 ∵ 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是其对称轴，
∴ 点 B 与点 C 关于 AD 所在的直线成轴对称，
∴BC=2BD=456 米．
12. 垂直平分线
【解析】由 BC=BD+DC=BD+AD，得 AD=CD，
∴ 点 D 在 AC 的垂直平分线上．
13. 3 或 7
【解析】设腰长为 2x，则 2x+x-5+x=2 或 5+x-2x+x=2，解得 x=3.5或1.5，
∴2x=7或3．
①三角形 ABC 的三边长为 7，7，5，符合三角形三边关系定理；
②三角形 ABC 的三边长为 3，3，5，符合三角形三边关系定理．
故答案为 3 或 7．
14. 有两个角互余的三角形是直角三角形
【解析】命题“直角三角形两锐角互余”可以改写为“如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余”，交换命题的条件和结论后为“如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”即有两个角互余的三角形是直角三角形．
15. 3
【解析】在 △ABC 中，
∵∠BAC=108∘，∠B=36∘，
∴∠C=36∘，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
在 △ACD 中，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=12×180∘-36∘=72∘，
∴∠DAB=∠CDA-∠B=36∘，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴ 等腰三角形有 △ADB，△ABC，△ADC，共 3 个．
16. 6∘
【解析】∵∠ACB=90∘，∠A=48∘，
∴∠B=90∘-∠A=90∘-48∘=42∘，
∵△CDE 是 △CDA 翻折得到的，
∴∠CED=∠A=48∘，
在 △BDE 中，∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠CED-∠B=48∘-42∘=6∘．
17. 45∘
【解析】因为 DE 垂直平分 AB，
所以 AE=BE，
因为 BE⊥AC，
所以 △ABE 是等腰三角形，
所以 ∠BAE=45∘，
又因为 AB=AC，AF⊥BC，
所以 ∠ABC=∠C=67.5∘，BF=FC=12BC，
所以在 Rt△BCE 中，EF 是 BC 边上的中线，
所以 EF=12BC=CF，
所以 ∠FEC=∠C=67.5∘，
所以 ∠EFC=45∘．
18. 3
【解析】如图，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴ 点 B 关于 AD 的对称点 Bʹ 在 AC 上，
过点 Bʹ 作 BʹN⊥AB 于 N，交 AD 于 M，
∵BʹN=BʹM+MN=BM+MN，
∴ 此时点 M，N 的位置即可使 BM+MN 取得最小值．
过点 B 作 BE⊥AC 于 E，
∵AC=8，S△ABC=12，
∴12×8⋅BE=12，解得 BE=3，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，Bʹ 与 B 关于 AD 对称，
∴AB=ABʹ，
∵S△ABBʹ=12AB⋅BʹN=12ABʹ⋅BE，
∴BʹN=BE=3，即 BM+MN 的最小值是 3．
19. （1） PA=PB=PC
【解析】理由如下：
∵AB=AC，AM 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD（等腰三角形三线合一），
∴ 直线 AD 为线段 BC 的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵ 直线 EP 是线段 AB 的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC．
（2） ∵AB=AC，∠ABC=70∘，
∴∠ABC=∠ACB=70∘（等边对等角），
∴∠BAC=180∘-2×70∘=40∘．
∵AM 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20∘．
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=20∘，∠ACP=∠CAP=20∘，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠ACP=20∘+20∘+20∘+20∘=80∘.
20. 题中的证明过程不正确．错在第②步．正确过程如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）．
∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）．
在 △ABD 和 △ACE 中，
∠ADB=∠AEC,∠B=∠C,AB=AC,
∴△ABD≌△ACEAAS，
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．
21. （1） ∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠ACB=90∘，
∴∠ACE+∠BCD=90∘，
∵AE⊥m，BD⊥m，
∴∠AEC=∠CDB=90∘，
∴∠ACE+∠CAE=90∘，
∴∠CAE=∠BCD．
在 △AEC 与 △CDB 中，
∠CEA=∠BDC,∠CAE=∠BCD,AC=CB,
∴△CAE≌△BCDAAS，
∴EC=BD．
（2） 由（1）知 BD=CE=a，CD=AE=b，BC=AC=c，
∴S梯形AEDB=12a+ba+b=12a2+ab+12b2，
又 ∵S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，
整理得 a2+b2=c2．
22. （1） AP=CQ．理由如下：
∵∠ABP+∠CBP=60∘，∠PBQ=∠CBQ+∠CBP=60∘，
∴∠CBQ=∠ABP，
在 △ABP 和 △CBQ 中，AB=CB,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,
∴△ABP≌△CBQSAS，
∴AP=CQ．
（2） △PQC 为直角三角形．理由如下：
∵∠PBQ=60∘，且 BQ=BP，
∴△BPQ 为等边三角形，
∴PQ=BP=4，
由（1）得 CQ=AP=3，
又 ∵PC=5，
∴PQ2+CQ2=PC2，
∴△PQC 为直角三角形（勾股定理的逆定理）．
23. （1） 如图 1，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
则 ∠OEB=∠OFC=90∘，
∵ 点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，
∴OE=OF．
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中，
OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFCHL，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即 △ABC 是等腰三角形（等角对等边）．
（2） 如图 2，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，
则 ∠OEB=∠OFC=90∘，
∵ 点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，
∴OE=OF．
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中，
OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFCHL，
∴∠ABO=∠ACO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
（3） AB=AC 不一定成立．
理由：①当 ∠A 的平分线和 BC 的垂直平分线重合时，如图 3，过 O 作 OE⊥AB 交 AB 的延长线于 E，OF⊥AC 交 AC 的延长线于 F，
则 ∠OEB=∠OFC=90∘，
∵ 点 O 到 △ABC 的两边 AB，AC 的距离相等，
∴OE=OF，
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中，
OB=OC,OE=OF,
∴Rt△OEB≌Rt△OFCHL，
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=180∘-∠OBC+∠EBO，∠ACB=180∘-∠OCB+∠FCO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
②当 ∠A 的平分线和 BC 的垂直平分线不重合时，如图 4，
此时 ∠ABC 和 ∠ACB 不相等，
∴AB≠AC．
综上，AB=AC 不一定成立．
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