2023年北京市普通高中第一次学业水平合格性考试数学试题及答案

机密★本科目考试启用前

2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试

数 学 试 卷

第一部分（选择题  共60分）

一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集，集合，则（    ）

A．   B．   C．   D．

2．不等式的解集是（    ）

A．  B．  C．  D．

3．函数的零点是（    ）

A．－2    B．－1    C．1    D．2

4．在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（    ）

A．3    B．4    C．6    D．8

6．已知，则（    ）

A．    B．    C．   D．

7．（    ）

A．－100   B．100    C．－2    D．2

8．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ）

A．   B．   C．   D．

9．下列函数中，在上为增函数的是（    ）

A．  B．  C．  D．

10．已知向量，．若，则实数（    ）

A．0    B．2    C．4    D．6

11．已知a，，且．当ab取最大值时，（    ）

A．， B．，  C．，  D．，

12．将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A．  B．  C．  D．

13．四棱锥如图所示，则直线PC（    ）

A．与直线AD平行    B．与直线AD相交

C．与直线BD平行    D．与直线BD是异面直线

14．在中，，，，则（    ）

A．60°   B．75°      C．90°  D．120°

15．已知a，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件

C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件

16．向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ）

A．2    B．   

C．   D．3

17．已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（    ）

A．   B．   C．   D．

18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

19．已知函数，则的最小值是（    ）

A．2    B．1    C．－2    D．－1

20．某校学生的体育与健康学科学年成绩s由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a，体质健康测试分数b和课堂表现分数c，计算方式为．学年成绩s不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：

则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（    ）

A．甲和乙   B．乙和丙   C．丙和丁   D．甲和丁

第二部分（非选择题  共40分）

二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。

21．已知复数，，则______．

22．在中，，，则______．

23．某校初一年级共有三个班，为了解课外阅读情况，随机抽取部分学生调查他们一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据得到下表：

①设样本中1班数据的均值为，2班数据的均值为，则______（填“＞”或“＜”）；

②设样本中2班数据的方差为，3班数据的方差为，则______（填“＞”或“＜”）．

24．如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：

①，；

②，；

③，与不垂直．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题共4小题，共28分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

25．（本小题7分）已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求的最大值，并写出相应的一个x的值．

26．（本小题7分）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图象如图所示．

（1）求的值；

（2）补全的图象，并写出不等式的解集．

27．（本小题7分）阅读下面题目及其解答过程．

如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示．

在中，E，F分别为，的中点，

所以，．

由题意知，四边形为   ①   ．

因为D为BC的中点，所以，．

所以，．

所以四边形DCFE为平行四边形，

所以．

又   ②   ，平面，

所以，平面．

（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC．

又平面ABC，所以   ③   ．

因为，且，所以   ④   ．

又平面，所以．

因为   ⑤   ，所以．

以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．

28．（本小题7分）给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P．

（I1）当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）

（2）当时，写出一个具有性质P的集合A；

（3）当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．

机密★启用前

2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试

数学试卷参考答案

一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）

1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．A 9．C 10．C

11．C 12．B 13．D 14．D 15．A 16．B 17．A 18．A 19．D 20．D

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21．  22．4  23．＞  ＜  24．①②③

三、解答题（共4小题，共28分）

25．（共7分）解：（1）的最小正周期．

（2）因为，所以，且．

所以的最大值为2，相应的一个x的值为．

26．（共7分）解：（1）由图可知，．

因为是偶函数，所以．

（2）的图象如图．不等式的解集为．

27．（共7分）解：（1）①A  ②A  （2）③B  ④A  ⑤B

28．（共7分）解：（1）A不具有性质P．

（2）．（答案不唯一）

（3）当时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，

即任取A中两个不同元素，，

有，①

，，，中有且只有一个为2．②

设；则．

当时，由①得，不满足②，矛盾．

当时，由①得．

由②得与不同时在A中；与不同时在A中；与不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．

当时，由①得，不满足②，矛盾．

当或时，矛盾．

所以假设不成立，即A不具有性质P．