2022届山东师范大学附属中学高三学业质量检测数学试题含解析

这是一份2022届山东师范大学附属中学高三学业质量检测数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．集合，则=（ ）
A．{1，2}B．{0，1，2}C．{x|0≤x<3}D．{x|0≤x≤3}
【答案】B
【分析】先化简集合集合，再由交集的定义可得结果．
【详解】因为，，
所以两集合的公共元素为0，1，2，
={0，1，2}，
故选：B．
2．若，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】，所以.
故选：B.
3．是两直线平行的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线的位置关系分析判断
【详解】当时，两直线分别为，即，此时两直线平行，
当平行时，，解得或，经检验均符合题意；
所以是两直线平行的充分不必要条件，
故选：A
4．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即， 现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式可求得的面积.
【详解】由题意结合正弦定理可得：，
周长为，即，
，，.
所以，
故选：A.
5．《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意结合柱体的体积公式可知高没变，底面积变为一半，而底面是等腰直角三角形，从而可求出边长间的关系，进而可求得答案
【详解】水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，
因为底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的，
所以水面高度占AB的，
故选：C.
6．已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理，把已知条件转化为a2＋c2－b2＝－ac，利用余弦定理及可求出B.
【详解】因为∥，
所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(a＋c).
由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac，
由余弦定理得csB＝＝＝－.
又0故选：B
7．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．最小值为
C．图象关于点中心对称D．图象关于直线对称
【答案】D
【分析】先由题意求出，然后根据三角函数的图像和性质逐个分析判断即可
【详解】解：因为 ，
所以，
所以的最小正周期为，所以A错误，
最大值为2，最小值为，所以B错误，
因为，所以图象不关于点中心对称，所以C错误，
因为，所以图象关于直线对称，所以D正确，
故选：D
8．已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定的取值范围.
【详解】很明显，
否则时，函数单调递减，且时，
而当时，不合题意，
时函数为常函数，
而当时，不合题意，
当时，构造函数，
由题意可知恒成立，注意到：，
据此可得，函数在区间上的单调递减，在区间上单调递增，
则：，
故，，
构造函数，则，还是在处取得极值，
结合题意可知：，即的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、多选题
9．已知二项展开式，则下列说法正确的是（ ）
A．二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数一定相等
B．二项展开式中，当时，随的增加而减小；当时，随的增加而增加
C．二项展开式中，奇数项的二项式系数的和一定等于偶数项的二项式系数的和
D．二项式展开式中，第项的通项公式
【答案】AC
【分析】根据二项式系数性质，依次判断选项即可.
【详解】对选项A，由组合数性质可得：，故A正确.
对选项B，当时，随的增加而增加；
当时，随的增加而减小，故B错误.
对选项C，奇数项的二项式系数之和偶数项的二项式系数之和，故C正确；
对选项D，第项的通项公式，故D错误.
故选：AC
10．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
【答案】ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
11．已知点，，是圆锥表面上的点，该圆维的侧而展开图为以点为圆心，为半径的半圆，点是的中点，点是的中点（如图），则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积为
B．直线与圆锥底面夹角为
C．圆锥的内切球半径为
D．以圆锥底面圆心为球心､半径为2的球被平面所截，则截面面积为
【答案】ACD
【分析】由已知条件，还原圆锥，根据锥体体积的计算公式、线面角的求解，圆锥内切球的求解方法，以及球体截面面积的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和求解.
【详解】根据题意，还原圆锥如下所示：
不妨设该圆锥底面半径为，高为，底面圆圆心为，
根据题意，，圆锥底面圆周长为，解得.
由勾股定理可得.
A：圆锥的体积为，故正确；
B：显然直线与圆锥底面夹角为，
在中，，故，
则直线与圆锥底面的夹角为，故错误；
C：设内切球的球心为，半径为，画出圆锥轴截面和内切球的示意图如下：
由三角形与三角形相似可得：，
即，解得，故正确；
D：易知：平面截以圆锥底面圆心为球心､半径为2的球的截面为一个圆，
不妨设截面圆半径为，设球心到面的距离为，
在中，
则，
由等体积法可得：，即，
解得，
故可得：，故截面圆面积为，故正确.
综上所述，正确的选项是ACD.
故选：ACD.
12．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．对，恒成立
B．对，恒成立
C．函数的最小值为
D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用导数证明恒成立，判断A，A中不等式绝对值变形的转换可判断B，利用导数求出函数的最小值判断C，把不等式进行变形转化为不等式恒成立，然后求得的范围判断D．
【详解】设，，
时，，递减，时，，递增，
所以，所以，即恒成立，A正确；
在中令，则，，，
再令得，B正确；
设，定义域为，
，
定义域内恒成立，令是增函数，，，
所以在即在上存在唯一零点，，，
时，，即，递减，时，，即，递增，
所以，C错；
不等式为，，
，所以，即，
令，则，时，，递减，时，，递增，，
因为，所以，
因此不等式恒成立，则恒成立，，即，
设，，
时，，递增，时，，递减，
所以，所以，即的最小值是，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．
三、填空题
13．已知向量的夹角为，，则___________；
【答案】
【分析】根据向量的运算法则得到，得到答案.
【详解】，故.
故答案为：2.
14．已知随机变量，若，则___________.
【答案】
【分析】根据正态分布的性质可求出，再利用对称性即可求出.
【详解】，，
，
.
故答案为：0.4.
15．如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为___________.
【答案】
【分析】利用菱形的性质可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，，进一步得到，并计算，最后利用勾股定理可得结果.
【详解】解：在菱形中，，，
所以是边长为2的等边三角形，
又因为为的中点，
所以，又面面，面面，
平面，所以平面，
作交于点，由，，平面
所以平面，所以
，所以
故答案为：
四、双空题
16．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.
【答案】
【解析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，,代入即可求解
【详解】因为斐波那契数列满足， ，，
∴；；； …；
所以，
因为
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于中档题．
五、解答题
17．已知函数，且
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的最值及其对应的的值.
【答案】(1)；
(2)当时，；当时，.
【分析】（1）求出，解不等式即得解；
（2）利用不等式的性质结合三角函数的图象和性质求解.
(1)
解：, ,
，
又，
，
，
的单调递增区间为.
(2)
解：，
，
，
当时，，当，即时，.
18．在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1).
(2)存在，，理由见解析.
【分析】（1）根据所选条件，利用等比中项的性质求基本量，写出通项公式；应用等差数列通项公式，结合已知求基本量，写出通项公式；根据关系求通项公式.
（2）根据所得通项公式可知有，有，由题设讨论确定的值及符号，即可判断存在性.
(1)
是递增的等差数列，若公差为，
选①：，则，可得.
∴.
选②：，可得 ，
∴.
选③：当时，，
又，显然符合通项公式.
∴.
(2)
由（1）知：，可得，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
综上，存在，使得取得最大值.
19．已知函数．
（1）若在区间上的最小值为，求的值；
（2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据二次函数单调性讨论即可解决．
（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决．
【详解】（1）若，即时，，
解得：，
若，即时，，
解得：（舍去）.
（2）（ⅰ）若在上单调递增，则，
则，
即是方程的两个不同解，所以，即，
且当时，要有，
即，可得，
所以；
（ⅱ）若在上单调递减，则，
则，
两式相减得：，
将代入（2）式，得，
即是方程的两个不同解，
所以，即，
且当时要有，
即，可得，
所以，
（iii）若对称轴在上，则不单调，舍弃．
综上，.
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题．
20．如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）构建以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴空间坐标系，根据已知确定对应点坐标，进而求出面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角的余弦值，即可得其正弦值.
（3）由题设有且，根据点共面结合（2）中面的一个法向量，利用向量垂直的坐标表示求，即可确定结果.
(1)
由面面，则，
又且，可得：面.
(2)
以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得：，由可得：，
设平面的法向量为：，则，
∴面的一个法向量为，而是面的一个法向量，
∴，故二面角的余弦值为，则正弦值为．
(3)
存在这样的.
由可得：，则，
若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为，
∴，即，可得.
∴存在这样的，使得四点共面.
21．第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
（1）若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；
（2）记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分；
（3）若从样本中26岁至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】(1)求出样本中用户年龄不超过50岁的人数，利用概率公式计算得解；
(2)利用给定条件结合平均数的定义进行计算即可得解；
(3)先求出抽取的不满意的5人中男性、女性人数，再有序列出任选两人的所有不同结果，最后利用概率公式求解即得.
【详解】（1）由统计表知，超过50岁的5G手机用户有人，
则从样本中任取1人，年龄不超过50岁的概率；
（2）由题意，样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分为；
（3）由题意，用分层抽样的方法抽取的5人中男用户有2人，分别记为a，b；女用户有3人，分别记为1，2，3，
从这5人中不放回地依次随机挑选2人，样本空间
，，
设事件“第2次才挑选到了女用户”，则，，
所以第2次才挑选到了女用户的概率.
22．已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求的值，并求此切线方程；
(2)证明：．
【答案】(1)；；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；
（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.
(1)
，，
在处的切线与直线平行，即切线斜率为，
，解得：，，，
所求切线方程为：，即；
(2)
要证，即证；
①当时，，，，即，
；
②当时，令，
，，
当时，，，，，即，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
即在上恒成立；
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.
满意程度
25岁以下
26岁至50岁
50岁以上
男
女
男
女
男
女
满意
20
21
35
16
25
6
一般
20
20
25
19
12
16
不满意
15
9
10
15
8
8