2023届广西桂林市高三上学期阶段性联合检测数学（文）试题含解析

2023届广西桂林市高三上学期阶段性联合检测数学（文）试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的乘法运算化简即可．

【详解】，

故选：C

2．sin()的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据诱导公式即可得结果.

【详解】，

故选：B.

3．“”是“方程表示椭圆”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先根据椭圆知识求出方程表示椭圆的充要条件，再根据必要不充分条件的概念可得结果.

【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了必要不充分条件，属于基础题.

4．已知函数，则（       ）

A．的周期为 B．在区间上单调

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】C

【分析】首先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数，

然后利用性质解题.

【详解】对于选项A，的周期，A选项错误；

对于选项B，由解得，B选项错误；

对于选项C，由解得，当时，，所以的图象关于直线对称，选项C正确；

对于选项D，由解得，当时，，所以，的图象关于点对称，D选项错误.

故选：C.

5．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令可得，再代入，结合诱导公式与二倍角公式求解即可

【详解】令可得，故，则

故选：C

6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中

①+与1+1是一对相反向量；

②-1与-1是一对相反向量；

③1+1+1+1与+++是一对相反向量；

④-与1-1是一对相反向量．

正确结论的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.

【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点，

①+与+不是一对相反向量，错误；

②-与-不是一对相反向量，错误；

③1+1+1+是一对相反向量,正确；

④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．

即正确结论的个数为1个

故选：A

7．函数的最小正周期是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据周期的定义对选项一一检验即可得出答案.

【详解】，

因为，

所以的最小正周期为.

故选：D.

8．已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列正确的选项是（       ）

A．全国农产品夏季价格比冬季低

B．全国农产品价格指数2022年每个月逐渐增加

C．全国农产品价格指数2022年菜篮子产品价格批发指数与农产品价格指数趋势基本保持一致

D．2022年6月农产品批发价格指数大于116．

【答案】C

【分析】根据图中曲线的变化趋势即可逐一判断.

【详解】图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错，全国农产品价格指数2022年4-6月呈下降趋势，并未增加，故B错，根据图中曲线的变化趋势可发现全国农产品价格指数2022年菜篮子产品价格批发指数与农产品价格指数趋势基本保持一致，故C对，2022年6月农产品批发价格指数在115附近，故D错误.

故选：C

9．已知三条不同的直线，平面，下列说法正确的有（       ）

A．已知命题p：经过一个平面上一点有且只有一个垂面．则命题p是真命题

B．已知直线则

C．已知命题p：已知，则．则p是真命题

D．已知则

【答案】B

【分析】根据长文体模型，结合平行公理、面面平行的性质，结合线面平行的性质逐一判断即可.

【详解】长方体处同一顶点的三个面互相垂直， 所以选项A不正确；

根据平行公理可知选项B正确；

因为，所以之间可以平行、相交、异面，因此选项C不正确；

因为所以可以平行也可以异面，所以当平行时，存在相交，因此选项D不正确，

故选：B

10．圆与圆的位置关系为（       ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

【答案】A

【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.

【详解】由与圆，

可得圆心，半径，

则，且，

所以，所以两圆相交.

故选：A.

11．设0＜a＜1．随机变量X的分布列是

则当a在（0，1）内增大时，（       ）A．E（X）不变 B．E（X）减小              C．V（X）先增大后减小              D．V（X）先减小后增大

【答案】D

【分析】根据分布列写出和关于的函数式，由函数性质可得结论．

【详解】，∴E（X）增大；

，

∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．

故选：D．

12．在区间上的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再根据单调区间求最值即可.

【详解】，，令，解得.

所以，，为减函数，

，，为增函数，

又因为，，

所以函数在的最大值为.

故选：D

二、填空题

13．若等差数列{an}的前7项和S7=49，且a3=5，则a9=____．

【答案】17

【分析】由题目条件求得公差和首项，即可求出答案.

【详解】由等差数列性质知，，则，

故公差，

故

故答案为：17.

14．的展开式中，的系数是__________.(用数字填写答案)

【答案】

【分析】先化，再根据二项式定理分别求出展开式中，的系数，即可求出结果.

【详解】因为，

二项式展开式的第项为，

令，则，所以展开式中含的项为：；

令，则，所以展开式中含的项为：；

所以的展开式中，的系数是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

15．一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则________.

【答案】

【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数.

【详解】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是.

故答案为：.

16．已知函数为奇函数，且当时，，则___.

【答案】

【分析】先求出，再结合奇函数的性质求出的值

【详解】因为当时，，

所以，

因为函数为奇函数，

所以，

故答案为：

三、解答题

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为1，．

(1)求A的大小．

(2)求△ABC外接圆面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理和面积公式得到，求出；（2）设△ABC外接圆半径为R，利用正弦定理得到，利用余弦定理和基本不等式求出，求出外接圆面积的最小值

【详解】(1)由余弦定理得：①，

由面积公式得：②，

联立①②得：

因为，

所以

(2)设△ABC外接圆半径为R，

由正弦定理得：，

解得：，

因为，

所以，

由余弦定理得：，

解得：，当且仅当时等号成立，

所以，

所以△ABC外接圆面积的最小值为.

18．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．

(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；

(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质证明即可；

（2）以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，再利用线面角的向量求法求解即可

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BEFD，∴平面ACF⊥平面BEFD．

（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2-(DF-BE)2=8，∴BD=2．设OA=a(a>0)，则A(a，0，0)，C(-a，0，0)，E(0，，1)，F(0，-，2)，∴=(0，-2，1)，=(-a，，1)，=(a，，1)．设是平面AEF的法向量，则，即，令z1=2，∴，是平面AEF的一个法向量，设，是平面CEF的法向量，则，即，令z2=2，∴ ∵二面角A-EF-C是直二面角，∴，∴a=．∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，∵AB==2，∴tan∠BAE==．故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．

19．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：

该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．

（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；

（Ⅱ）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.

【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数；

（Ⅱ）先确定随机变量的可能取值，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.

【详解】（Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天）；

（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：、、、、、、，

则：，

，

，

，

，

．

的分布列如下表所示：

（元）.

【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：

（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；

（2）求出每一个随机变量取值的概率；

（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.

20．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．证明△PQG是直角三角形．

【答案】(1)=1(|x|≠2)；C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点

(2)证明见解析

【分析】（1）根据斜率的计算公式利用直接法即可得结果；

（2）直线PQ的斜率为k，通过联立方程组求出的坐标，通过斜率计算公式可得的斜率为，进而可得结果.

【详解】(1)由题设得·=，化简得=1(|x|≠2)，

所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

(2)设直线PQ的斜率为k，则其方程为y=kx(k>0)．

由得x=±．

记u=，则P(u，uk)，Q(-u，-uk)，E(u，0)．

于是直线QG的斜率为，方程为y=(x-u)．

由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0．①

设G(xG，yG)，则-u和xG是方程①的解，故xG=，由此得yG=．

从而直线PG的斜率为．所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．

21．已知函数的极值点为1和2．

（1）求实数a，b的值．

（2）求函数在区间上的最大值．

【答案】（1）；（2） ．

【详解】【分析】试题分析：（1）求出函数的导数，根据极值点为，列出方程组，即可求解的值；（2）由（1）中得，可得 ，得出函数的单调性，即可求解在区间 上的最大值.

试题解析：（1）由得 ，

依题意有

（2）由（1）得，，

由或 ；；

所以在 上递增，在上递减，在 上递增

所以在区间 上的或 处取得最大值

由，

【解析】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值与最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中涉及到导数的运算公式、方程组的计算等，本题的解答中，正确利用导数的四则运算公式，求解函数的导数，利用函数的极值和导数的符号得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了学号的推理与运算能力，属于中档试题.

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0．

(1)求l的普通方程和C的参数方程；

(2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．

【答案】(1)；(α为参数)．

(2)点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．

【分析】（1）利用消元法求出l的普通方程；先求出C的普通方程，再化为参数方程；

（2）利用参数方程求出点M到直线l距离的最大值，进而得到点M的坐标.

【详解】(1)因为直线l的参数方程为 (t为参数)，两式相加消去t可得：；

因为，所以ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0可化为：，化为参数方程为：(α为参数).

(2)可设，则点M到直线l的距离为：

所以，当且仅当，即时取得，此时，所以.

所以点M到直线l距离的最大值为+1，此时点M的坐标为．

23．已知.

（1）若不等式的解集是区间的子区间，求实数a的取值范围；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；

（2）根据绝对值的三角不等式可得，故对任意的，恒成立可转化为， 分类讨论计算可得；

【详解】解：（1）因为，且，       

，

，

由题意知，，所以，

解得，所以实数的取值范围是.        

（2），

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故对任意的，恒成立可转化为，

所以或，解得.

所以实数a的取值范围是.

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.