2023届广西壮族自治区桂林市、河池市、防城港市高三联合调研考试数学（文）试题含解析

2023届广西壮族自治区桂林市、河池市、防城港市高三联合调研考试数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．1

【答案】B

【分析】由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为集合，，

所以.

中元素的个数为3.

故选：B.

2．已知（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A．-13 B．13 C．-26 D．26

【答案】A

【分析】根据复数的概念与运算法则化简即可.

【详解】∵，的虚部为-13.

故选：A

3．命题，的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定形式，即得解

【详解】根据全称命题的否定形式，命题，的否定是：，.

故选：C

4．若是角的终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数定义可求得，由二倍角正弦公式可求得结果.

【详解】是角终边上一点，，，

.

故选：A.

5．2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为

A．7000 B．7500 C．8500 D．9500

【答案】C

【分析】根据两次就医费关系列方程，解得结果.

【详解】参加工作就医费为，

设目前晓文同学的月工资为，则目前的就医费为，

因此选C.

【点睛】本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.

6．某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.

【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，

所以该扇形的弧长为，

设圆锥的底面半径为，则，解得：，

因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，

该圆锥的体积为.

故选：D

7．执行下边的程序框图，如果输入的，那么输出的（    ）

A．8 B．9 C．16 D．25

【答案】C

【分析】模拟程序的运行，计算出每次循环的结果，直到不满足条件，结束循环，可得答案.

【详解】模拟循序的运行，可得：

输入，，

第一次循环：，满足，，

第二次循环：，满足，，

第三次循环：，满足，，

第四次循环：，不满足，输出S的值为16，

故选：C

8．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程.

【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为，

所以，即的方程为.

故选：D

9．近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意结合指、对数运算求解.

【详解】由题意可得：，

当时，则，

∴.

故选：B.

10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到如图所示的函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用五点法，结合图象可求得的值，进而确定，代入和即可求得结果.

【详解】由题意得：

由图象可知：，即；

的最小正周期，，

，，

解得：，又，，，

.

故选：C.

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，过底面外心作底面的垂线与线段AB的中垂面的交点即球心，利用勾股定理计算即可.

【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中，

平面，，

在中，，∴，

∴的外接圆的直径为,∴

∴外接球的半径为，

∴该几何体外接球的表面积为.

故选：C.

12．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.

【详解】当时，，则，

即当时，，

同理当时，；

当时，.

以此类推，当时，都有.

函数和函数在上的图象如下图所示：

由图可知，，解得，

即对任意，都有，即的取值范围是.

故选：D

【点睛】关键点睛：解决本题的关键对的理解，并结合图象，非常直观的得出满足条件的m的取值范围.

二、填空题

13．若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

【答案】1

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

故答案为：1．

【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

14．若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．

【答案】

【分析】先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案.

【详解】已知，则,

因为曲线在处的切线与直线相互垂直，

所以，解得.

故答案为：.

15．的内角的对边分别为.已知则__________.

【答案】

【分析】根据正弦定理可得，然后利用余弦定理即得.

【详解】因为，

所以，即，又，

所以，

所以.

故答案为：.

16．椭圆的右焦点为为椭圆上的一点，与轴切于点，与轴交于两点，若为锐角三角形，则的离心率范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意可得的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，解不等式即可求得结果.

【详解】因为与轴切于点，

所以轴，可设，则，解得，

圆的半径为，又与轴交于两点，

，又因为为锐角三角形，则，

，

，即，

解得，

即椭圆离心率的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．甲学校某次学科竞赛后，将参赛考生的竞赛成绩整理得到如下频率分布直方图

(1)求这些参赛考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；

(2)若竞赛成绩排在前16%的考生能进入复赛，试估计进入复赛的分数线.

【答案】(1)70.5

(2)86

【分析】（1）根据频率分布直方图中的中点值求平均成绩即可；

（2）根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可.

【详解】（1）（1）由题意知：

，

这些参赛考生的竞赛平均成绩为70.5.

（2）（2）由图可知，的考生占比；

的考生占比

设进入复赛的分数线为，则在之间，

有，解得，

故进入复赛的分数线为86.

18．如图，三棱柱的侧面为菱形，.

(1)证明：；

(2)若，求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即可根据线面垂直的性质证明结论；

（2）证明平面，即可求出四棱锥的高，根据棱锥的体积公式即可求得答案.

【详解】（1）证明：连接，，设，连接.

为菱形，

，且为的中点，

又平面，

平面，平面，

（2）由（1）知平面，又平面，

又为的中点，，

由菱形，则为正三角形，

，

，

平面，平面，

而,

.

19．记为等比数列的前项和.已知.

(1)求；

(2)设求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题目条件列方程组求解即可；

（2）由题意可得，然后利用分组求和法求解即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为.由题意，可知

，解得：，

.

（2）由题设及（1）可知：

当为奇数时，，

当为偶数时，，

故，

20．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若有两个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）对求导，根据导函数的正负确定的单调性；

（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，结合零点个数，得到关于的不等式，即可求出的取值范围.

【详解】（1）当时，

解，得；解，得，

故在上单调递减，在上单调递增.

（2）,

当时，在上单调递增，此时无两个零点；

当时，解，得；解，得，

故在上单调递减，在上单调递增.

因为趋于负无穷，趋于正无穷；为趋于正无穷，趋于正无穷；

故有两不同零点，则

即.

令则

当时，单调递增，

当时，单调递减，

且时，，又

当时，

综上，的范围为.

21．已知抛物线的焦点到准线的距离为2.

(1)求的方程；

(2)若为直线上的一动点，过作抛物线的切线为切点，直线与交于点，过作的垂线交于点，当最小时.求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意求得，即可得得到抛物线的方程；

（2）设，，利用导数的几何意义求得在点的切线方程，得出直线方程为，令，得到点，根据直线与直线垂直，求得直线方程为，进而得到点，进而求得，结合基本不等式求得的最小值，联立方程组，结合弦长公式求得弦的长.

【详解】（1）由题知，，

的方程为.

（2）抛物线的焦点，

设，过点的抛物线的切线方程为：，

消去得：，①

即，②

此时①可化为，解得

设直线，直线，

则为方程②的两根，故

且，可得，令点，

由②知，，故，

则直线方程为：，显然

因为直线与直线垂直，

则直线方程为：，

故，

，当且仅当时，时取等号.此时，.

由（*）得，

22．如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线都过极点.

(1)分别写出半圆，圆的极坐标方程；

(2)直线与曲线分别交于两点（异于极点），求的面积.

【答案】(1)：，：

(2)

【分析】（1）直接利用转换关系的应用，写出极坐标方程；

（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．

【详解】（1）曲线是以为圆心的半圆，

所以半圆的极坐标方程为，

曲线以为圆心的圆，转换为极坐标方程为.

故半圆，圆的极坐标方程分别为：，

（2）由（1）得：.

点到直线的距离.

所以.

故的面积为：

23．已知对任意的恒成立．

(1)求实数m的取值范围；

(2)设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据绝对值的性质，结合分类讨论法、任意性的定义进行求解即可；

（2）利用柯西不等式进行求解即可.

【详解】（1）设，

当时，，

显然此时；

当时，，

显然有；

当时，，

显然有，

综上所述：，要想对任意的恒成立，

只需，所以实数m的取值范围为；

（2）因为，所以，

即，

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

而，

所以有.