New”2022-2023学年广西桂林市高一下学期期末质量检测数学试题（含详细答案解析）

这是一份New”2022-2023学年广西桂林市高一下学期期末质量检测数学试题（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z=3+2i，则z的虚部为( )
A. −2B. 2C. −3D. 3
2.下列各角中，与18∘角的终边相同的是( )
A. 378∘B. 78∘C. −18∘D. 118∘
3.下列几何体中为台体的是( )
A. B.
C. D.
4.已知向量a=(1,2)，b=(x,6)，且a//b，则x=( )
A. 2B. −2C. 3D. −3
5.下列函数为偶函数的是( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=tanxD. y=lnx
6.将函数f(x)=sin2x的图象上各点向右平移π6个单位长度，则所得到的函数g(x)的解析式为( )
A. g(x)=sin(2x+π6)B. g(x)=sin(2x−π6)
C. g(x)=sin(2x+π3)D. g(x)=sin(2x−π3)
7.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若α//β，α//γ，则β//γB. 若a⊥b，a⊥c，则b//c
C. 若a⊥b，a⊥c，则b⊥cD. 若α⊥β，α⊥γ，则β//γ
8.两个粒子A，B从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为SA=(4,0)，SB=(1, 3)，此时SB在SA上的投影向量为( )
A. −14SAB. 14SAC. −SAD. SA
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 长度相等的向量是相等向量B. 单位向量的模为1
C. 零向量的模为0D. 共线向量是在同一条直线上的向量
10.已知复数z1=1−i，z2=2i则( )
A. z2是纯虚数
B. z1−z2在复平面内对应的点位于第二象限
C. 复数z1的共轭复数为1+i
D. z1z2=2i−2
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于直线x=−1112π对称
B. f(x)的图象关于(56π,0)中心对称
C. 函数f(x)在区间[π24,π2]上单调递减
D. f(−π12)= 3
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则( )
A. 直线BC1与直线DA1所成的角为60∘
B. 直线BC1与直线B1A所成的角为60∘
C. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45∘
D. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30∘
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.sin150∘=__________.
14.若向量a=(1,2)和向量b=(m,−1)垂直，则m=__________
15.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为10米，径长(两段半径的和)为10米，则该扇形田的面积为__________平方米.
16.已知△ABC的外接圆圆心为O，∠A=45∘，若AO=α⋅AB+β⋅AC(α,β∈R)，则α+β的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知sinθ=45，θ为第二象限角.
(1)求sin2θ的值;
(2)求sin(θ+π4)的值.
18.(本小题12分)
已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 2，a⋅(a+b)=2.
(1)求a⋅b;
(2)求a与b的夹角θ;
(3)求|a−2b|.
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点.
求证：(1)PD//平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD.
20.(本小题12分)
在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且acsB=c−b2.
(1)求角A；
(2)若△ABC外接圆的面积为4 π ，且△ABC的面积S=2 3，求△ABC的周长．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值构成的集合;
(3)求函数f(x)的单调递减区间.
22.(本小题12分)
本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与中间车道的分界线相交于E、F，记∠DAE=θ.
(1)若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好θ=π6，且A、B也都在中间车道的直线上，直线CD也恰好过路口边界O，求此大卡车的车长;
(2)若大卡车在里侧车道转弯时对任意θ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值;
(3)若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度(辆/km)，统计如下：
现给出两种函数模型：①f(x)=Asinωx+B(A>0,ω>0);②g(x)=a|x−b|+c，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早上7:00至8:00的平均道路通行密度(单位：辆/km)与时间x(单位：分)的关系(其中x为7:00后所经过的时间，例如7:30即x=30分)，并根据表中数据求出相应函数的解析式.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的基本概念和运算，是基础题．
由复数的概念即可求解.
【解答】解：因为 z=3+2i，其虚部为2.
故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查角的概念，终边相同的角的集合，属于基础题.
首先写出与18∘终边相同的角的集合，再通过赋值求解.
【解答】
解：与18∘角终边相同的角的集合是α|α=18∘+k⋅360∘,k∈Z，
当k=1时，α=378∘.
故选A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查台体的定义，是基础题．
直接利用台体的定义判断即可.
【解答】
解：选项A中给的几何体是圆锥，故A不正确；
选项B中给的几何体是圆柱，故B错误；
选项C给的几何体是三棱台，故C正前；
选项D给的几何体是球，故D错误．
故选C.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算和向量平行的转化，属于基础题.
根据向量平行列关系式求解即可.
【解答】
解：向量a=(1,2)，b=(x,6)，
由a//b，得1×6=2x，解得x=3.
故选C.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的判断，考查常见函数的奇偶性和定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
由常见函数的奇偶性和定义的运用，首先求出定义域，判断是否关于原点对称，再计算f(−x)，与f(x)的关系，即可判断为偶函数的函数．
【解答】解：对于A，定义域为R，sin(−x)=−sinx，则为奇函数；
对于B.定义域为R，cs(−x)=csx，则为偶函数；
对于C.定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，关于原点对称，tan(−x)=−tanx，则为奇函数；
对于D.定义域为(0,+∞)，y=lnx为非奇非偶函数.
故选B.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题.
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论.
【解答】解：由题意，将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，
可得g(x)=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)的图象，
故选D.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】
解：若α//β，α//γ，则β//γ，故A正确；
若a⊥b，a⊥c，则b//c或异面或相交，故B，C错误；
若α⊥β，α⊥γ，则β//γ或相交，故D错误.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于较易题.
根据投影向量的定义求解即可.
【解答】
解：由题意，SA=(4,0)，SB=(1, 3)，
则SA⋅SB=4,SA=4
则SB在SA上的投影向量为SA⋅SBSA⋅SASA=14SA.
故选：B.
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查相等向量、共线(平行)向量、零向量、单位向量，属于基础题.
利用向量的概念，对照选项逐一判断即可.
【解答】
解：对于选项A，单位向量是长度为1的向量，其方向不确定，故根据一个单位向量的方向，有无数个不同的单位向量，故A错误；
对于选项B，单位向量是长度为1的向量，故B正确；
对于选项C，零向量是长度为0的向量，故C正确；
对于选项D，平面向量为自由向量，可以平移，
故共线向量方向相同或相反，可以不在同一直线上，故D错误.
故选BC.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查复数的概念，复数的乘法计算，复数的几何意义，共轭复数.
利用复数的有关知识，逐项分析即可得.
【解答】
解：因为z1=1−i，z2=2i，
所以z2是纯虚数，故A正确；
z1−z2=(1−i)−2i=1−3i，在复平面内对应的点的坐标为(1,−3)，位于第四象限，故B错误；
复数z1的共轭复数为1+i，故C正确；
z1z2=(1−i)⋅2i=2+2i，故D错误.
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，属于中档题．
由函数f(x)的部分图象求出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确即可得出答案．
【解答】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，
A=2，3T4=7π12−(−π6)=3π4，解得T=π，
所以ω=2πT=2；
所以fx=2sin2x+φ，
将点7π12,−2代入f(x)中，可得sin7π6+φ=−1，
所以7π6+φ=2kπ+3π2 k∈Z，即φ=2kπ+π3 k∈Z，
所以f(x)=2sin(2x+2kπ+π3)=2sin(2x+π3).
f−1112π=2(最大值)，故A正确；
对于B，f56π=0，故B正确；
对于C，当x∈π24,π2，则2x+π3∈5π12,4π3，根据正弦函数的单调性可知C错误；
对于D，f(−π12)=1，故D错误
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成的角，以及直线与平面所成的角，属于中档题.
利用线线垂直判断A，证明BC1⊥ 平面 CDA1B1，判断B，直线BC1与直线B1A所成的角为∠D1AB1，判断C.∠O1BC1 即为直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角，判断D.
【解答】
解：如图，因为 BC1⊥B1C ， B1C//DA1 ，所以 BC1⊥DA1 ，故 A 错误;
对于选项 B: 连接AD1，易知BC1//AD1，所以直线BC1与直线B1A所成的角为∠D1AB1
易知三角形B1AD1为等边三角形，故∠D1AB1=60∘，故B正确

对于选项C， 直线 BC1 与平面 ABCD 所成的角即为 ∠C1BC=45∘ ，所以 C 正确.
对于选项 D 连接 A1C1 与 B1D1 交于点 O1 ，则 ∠O1BC1 即为直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角，
sin∠O1BC1=O1C1BC1=12 ，所以 ∠O1BC1=30∘ ，故 D正确.
13.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查特殊角的三角函数，利用诱导公式可计算，属于容易题.
【解答】
解：sin150∘=sin180∘−30∘=sin30∘=12，
故答案为12.
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，向量垂直的条件，属于基础题．
由向量垂直其数量积等于零，可求出m的值.
【解答】
解：向量a=(1,2),b=(m,−1)，
因为向量a与b垂直，即a→⋅b→=0
所以m−2=0，解得m=2.
15.【答案】25
【解析】【分析】
先求出半径，再结合扇形面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
【解答】解：因为径长为10米，下周长为10米，
所以半径为102=5，
该扇形菜田的面积S=12×5×10=25平方米．
故答案为：25.
16.【答案】2− 2
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理的运用，主要考查向量共线定理的运用和同角的基本关系式的运用，考查运算能力，属于拔高题．
延长AO交BC于D，设AD=mAB+nAC，由平面向量基本定理和向量共线定理可得m+n=α|AD||AO|+β|AD||AO|，由B，C，D三点共线，可得m+n=1，进而得到α+β=11+ODOA，求出|OD|的最小值，可过O作OM⊥BC，求得|OM|即可得到所求最大值．
【解答】解：延长AO交BC于D，设AD=mAB+nAC，(m>0,n>0)，
又AO=αAB+βAC(α,β∈R)，
易得mα=nβ=|AD||AO|即有m=α|AD||AO|，n=β|AD||AO|，
则m+n=α|AD||AO|+β|AD||AO|，
由B，C，D三点共线，可得m+n=1，
即有α+β=|AO||AD|=|AO||AO|+|OD|=11+ODOA，
由于|AO|=r是定值，只需|OD|最小，
过O作OM⊥BC，垂足为M，则OD≥OM，
即有∠BOM=∠BAC，
∵∠BAC=45∘，
∴cs∠BAC= 22=|OM||OB|，则|OM|= 22r.
则α+β≤11+ 22=2− 2.
即有α+β的最大值为2− 2.
17.【答案】解：(1)∵sinθ=45，且θ是第二象限角，
∴csθ=− 1−sin2θ=− 1−(45)2=−35，
sin2θ=2sinθcsθ=2×35×(−45)=−2425；
(2)sin(θ+π4)=sinθcsπ4+csθsinπ4
=−35× 22+45× 22
= 210

【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数的同角公式，二倍角公式，两角和的余弦公式.属于基础题.
(1)由同角三角函数基本关系及题意求出csθ，利用二倍角公式求出sin2θ即可；
(2)利用两角和与差的三角函数公式求解即可.
18.【答案】解：(1)∵a⋅(a+b)=a2+a⋅b=2，
∴a⋅b=1.
(2)∵csθ=a⋅b|a|⋅|b|=11× 2= 22，
又θ∈[0,π]，∴θ=π4.
(3)∵|a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2=1−4+8=5，
∴|a−2b|= 5.
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．(1)根据数量积的运算律可直接构造方程求得结果；
(2)由向量夹角公式直接计算可得结果；
(3)由向量数量积运算律可求得|a−2b|2，进而可得结果．
19.【答案】证明：(1)设AC∩BD=O，连接EO，如图所示：
因为O，E分别为BD，PB的中点，所以PD//EO，
又因为PD⊄平面AEC， EO⊂ 平面AEC，所以PD//平面AEC.
(2)连接PO，如图所示：因为PA=PC，O为AC的中点，所以AC⊥PO，又因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，且PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD，又因为AC⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面PBD.

【解析】此题主要考查了立体几何空中的位置关系的面面垂直的判定以及线面平行的判定。
(1)由PD//EO可得线面平行；
(2)先证AC⊥平面PBD，可得面面垂直.
20.【答案】解：(1)由已知及余弦定理得a×a2+c2−b22ac=c−b2，
整理得c2+b2−a2=bc.
∴csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又在△ABC中，0∴A=π3，
即角A的大小为π3.
(2)∵ΔABC外接圆的面积为4π，
∴ΔABC外接圆的直径为4，
∴asinA=4，∴a=2 3.
又12bcsinA=2 3，∴bc=8，
a2=c2+b2−2cbcsA=c2+b2−bc，
∴(b+c)2=a2+3bc=36，
∴b+c=6.
故△ABC的周长为6+2 3.

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用和三角形面积公式，考查计算能力，属中档题.
(1)利用余弦定理化简整理求出csA得出A；
(2)由正弦定理、三角形面积公式及余弦定理求出a，b+c，即可得出三角形的周长.
21.【答案】解：(1)函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12
=1−cs2x2+ 32sin2x+12
=sin(2x−π6)+1，
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π;
(2)函数f(x)的最大值为1+1=2，
此时2x−π6=2kπ+π2，k∈Z，
得x=kπ+π3，k∈Z；
故函数的最大值为2，取得最大值时自变量x的取值集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z};
(3)令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，k∈Z，
得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z，
故函数的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z.
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于基础题．(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f(x)的最小正周期．
(2)根据正弦函数的最值求得函数的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合．
(3)利用正弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．
22.【答案】【解答】
解：(1)作EM⊥OM，垂足为M，作FN⊥ON，垂足为N，
因为∠DAE=π6，所以∠MEO=∠NOF=∠BFO=π6，
在Rt△ADE中，ED=2.4×tanπ6=4 35，在Rt△BCF中，CF=2.4tanπ6=12 35，
在Rt△OME中，OE=4csπ6=8 33，在Rt△ONF中，OF=4sinπ6=8，
所以CD=OE+OF−ED−CF=8 33+8−4 35−12 35=8−8 315
(2)因为∠DAE=θ，所以OE=4csθ，OF=4sinθ，ED=2.4tanθ，CF=2.4tanθ，
所以AB=CD=OE+OF−ED−CF=4csθ+4sinθ−2.4tanθ−2.4tanθ
=4sinθ+4csθ−2.4sin2θ−2.4cs2θsinθcsθ=4(sinθ+csθ)−2.4sinθcsθ,0<θ<π2
令sinθ+csθ=t，则t= 2sin(θ+π4)，∵0<θ<π2,∴θ+π4∈π4,3π4
所以1所以AB=4t−2.4t2−12=8t−35t2−1,1设k=t−3525所以AB=8k(k+35)2−1=8k−1625k+65，
易知g(k)=k−1625k+65在(25, 2−35]单调递增，且g(k)>0，
所以AB=8k(k+35)2−1=8k−1625k+65在(25, 2−35]单调递减，
所以，当k= 2−35，即t= 2时，AB取最小值8 2−245，
所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意θ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为8 2−245.
(3)由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，适用模型fx=Asinωx+BA>0,ω>0，
易得T=60，所以ω=2πT=π30，又A=120−1002=10，B=120+1002=110，所以f(x)=10sin(πx30)+110；
而外侧车道通行密度关于x=30对称，左侧递增，右侧递减，适用模型gx=ax−b+c，
易知b=30，代入(0,110),(30,125)，得c=125,a=−12，
所以g(x)=−12x−30+125.

【解析】本题考查三角函数模型的应用，考查运算求解能力，训练了利用单调性求最值，难度较大．
(1)通过解直角三角形，分别求出OE,OF,ED,CF，即可求得本题答案；
(2)用θ表示AB，利用换元法并结合函数的单调性，求出AB的最小值，即可得到大卡车车长的最大值；
(3)先判断里外车道对应的模型，分别求出相应的解析式即可.
时间
7:00
7:15
7:30
7:45
8:00
里侧车道通行密度
110
120
110
100
110
外侧车道通行密度
110
117.5
125
117.5
110