2023届广西桂林市、崇左市高三一模数学（文）试题含解析

2023届广西桂林市、崇左市高三一模数学（文）试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接计算得到答案.

【详解】.

故选：C

2．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合M，根据补集定义计算即可.

【详解】，.

故选：C.

3．在中，为的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量的加法可得结果.

【详解】.

故选：D.

4．甲､乙两位同学假期从A，B两处景点中任选一处游览，那么甲､乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用列举法，结合古典概型即可得解.

【详解】甲､乙两位同学假期从A，B两处景点中任选一处游览，

有（甲，乙），（甲，乙），（甲，乙），（甲，乙），共种情况，

其中甲､乙两位同学恰好选取同一处景点有（甲，乙），（甲，乙），共种，

所以甲､乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是.

故选：D

5．某机构从一次“喜迎二十大”网络宣讲直播活动中，随机选取了部分参与直播活动的网友进行调查，其年龄（单位：岁）的频率分布直方图如图所示，以样本估计总体，估计参与直播活动的网友年龄的中位数为（    ）

A．31岁 B．32岁 C．33岁 D．34岁

【答案】D

【分析】先根据前2组和前3组的频率判断出中位数在第3组中，再根据中位数的左右两边的频率之和为列式可求出结果.

【详解】由频率分布直方图得，前2组的频率之和为，

前3组的频率之和为，

故中位数在第3组，设为x，则，解得，

所以估计网友年龄的中位数为34岁．

故选：D

6．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可

【详解】

如图，延长正三棱台的三条棱，交于点，因为,，则，作底面于，连接，则，故，故正三棱台的高为

故选：B

7．已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.

【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，

而函数是奇函数，则有，

所以.

故选：D

8．已知数列的前项和为，且满足，则（    ）

A．1458 B．1460 C．2184 D．2186

【答案】A

【分析】根据的关系确定数列为等比数列，利用等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】由，可得，

两式相减可得，即，

当，

所以数列从第二项开始，是以4为首项，3为公比的等比数列，

所以，

故选:A.

9．已知点A，B在抛物线上，O为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意和抛物线的对称性可得OF垂直平分AB，设，结合 求出的值，进而得出结果.

【详解】如图所示，为的垂心，为焦点，

，垂直平分线段，直线垂直于轴．

设，，其中，

为垂心，，，

即，解得，

直线的方程为，即．

故选：D．

10．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用导数与单调性的单调性讨论函数的单调性，再根据三角函数的诱导公式以及充分必要条件的定义求解.

【详解】构造函数，

则在定义域上恒成立，

所以函数在定义域上单调递增，

又因为，所以，所以，

即，即，

所以，

即“”能推出“”，

根据，

可得，即，

所以，所以，即，

所以“”能推出“”，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选:C.

11．函数恒有，且在上单调递增，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】根据正弦函数的图象性质，利用周期性和单调性以及最值求解.

【详解】因为函数恒有,

所以,解得，

又因为在，上单调递增，所以，

且，所以，

结合可得的值为或，

经检验，当的值为时，

由,

解得，

所以在上单调递增，满足题意，

当的值为时，

由,

解得，

所以在上单调递增，不满足题意，

故选:A.

12．如图，在正方体中，，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（    ）

A．有且仅有一个点P，使得 B．平面

C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．M为的中点，若MP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长为

【答案】D

【分析】根据线面垂直判断线线垂直可求解A，利用线面平行判断B，根据外接球与三棱锥的的几何关系判断C，利用线面角的定义确定点的轨迹即可求解D,

【详解】

对于A，连接,

因为平面,平面,所以,

且四边形为正方形，所以,

且，平面,

所以平面,所以当点在线段上时，

必有平面,则，

所以存在无数个点P，使得，A错误；

对于B，当点与点重合时，

与平面相交，B错误；

对于C，若，则为中点，

连接,则为等腰直角三角形，且，

且也为等腰直角三角形，且,

且平面平面，

所以取中点为，则为三棱锥外接球的球心，

所以外接球的半径为,

所以我外接球的表面积为，C错误；

对于D，连接

因为平面，所以为MP与平面ABCD所成的角，

所以，所以,

所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆弧，

所以点P的轨迹长为，D正确，

故选:D.

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】作出可行域，即可求目标函数的最小值.

【详解】

作出可行域如上图，根据几何意义可知，

当目标函数的图象经过点时，

有最小值为，

故答案为:.

14．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________.

（参考公式：）

【答案】220

【分析】根据三角锥垛每层个数找出规律，写出第n层个数的通项公式，代入题中公式和前n项和公式，得出三角锥垛球总个数的通项公式，代入得出结果.

【详解】，，

，，

，

，

当时，该锥垛球的总个数为：.

故答案为：220

15．若曲线与有一条斜率为2的公切线，则___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.

【详解】设公切线在曲线与上的切点分别为，

由可得，所以，解得，

所以,则，

所以切线方程为，

又由，可得，所以，即，

所以，

又因为切点，也即在切线上，

所以，解得，

所以.

故答案为: .

16．设椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线l与C相交于M，N两点（点M在第一象限）.若，则C的离心率的最大值为___________.

【答案】

【分析】由题意可得四边形为矩形，由勾股定理可得，可得，可得的值，又由已知求得的范围，可得的关系，进而求出椭圆的离心率.

【详解】因为，所以由椭圆的对称性可得四边形为矩形，

所以，

因为，，

所以，

即，

由，得，

所以，得，

因为点M在第一象限，

所以解得，

因为，，

所以，得，

所以，

化简得，解得，

综上，

所以椭圆C的离心率的最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：由勾股定理求得的值，结合求得的范围，是解决本题的关键.

三、解答题

17．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：

(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量.

参考数据：.

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.

【答案】(1)理由见解析

(2)，个

【分析】（1）分别求出，再根据公式求出即可得出结论；

（2）利用最小二乘法求出，即可求得回归方程，再令即可得解.

【详解】（1）,

,

,

则，

因为，

所以已知可用线性回归模型拟合y与x的关系；

（2），

。

，

所以，

当时，，

即预测2026年该市新能源汽车充电站的数量为个.

18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，点E在棱BF上，且.

(1)求三棱锥的体积；

(2)判断直线AE与平面DCF是否相交，如果相交，在图中画出交点H（不需要说明理由），并求出线段AH的长；如果不相交，求直线AE到平面DCF的距离.

【答案】(1)

(2)直线AE与平面DCF相交，图形见解析，

【分析】（1）根据线面垂直的性质证明平面，再根据即可得解；

（2）设平面平面，证明平面，再根据线面平行的性质可得，延长与直线相交，从而可得点即为与直线的交点，进而可得出答案.

【详解】（1）由，得，

又平面平面ABCD，平面平面，平面，

所以平面，

，

所以；

（2）直线AE与平面DCF相交，

设平面平面，则，

因为，平面，平面，

所以平面，

又平面平面，平面，

所以，

所以直线共面，

延长与直线相交，

因为平面，

所以点即为与直线的交点，

由，可得，

所以，

因为，所以，

所以.

19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

(1)求C；

(2)若角C的平分线交AB于点D，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；

（2）利用等面积法求出的关系，再利用基本不等式即可得解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

即，

所以，

又，则，

所以，

又因，所以；

（2）因为角C的平分线交AB于点D，

所以，

由，得，

即，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

20．如图，已知双曲线的右焦点为，O为坐标原点，过点F作直线与双曲线的渐近线交于P，Q两.点，且点P在线段FQ上，，.

(1)求C的方程；

(2)设是C的左､右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线与的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是，在定直线上

【分析】（1）计算得到，，得到，解得，，得到答案.

（2）直线的方程为，，联立方程得到根与系数的关系，确定直线方程，计算交点坐标，得到，得到答案.

【详解】（1）双曲线右焦点为，故，渐近线方程为，则，

，故，即，

，故，

解得，，故，故，

故，，，解得，.

故双曲线方程为.

（2），，设直线的方程为，，

联立，得.

故，故，

直线，直线，

联立两直线方程，解得

，

故直线与直线的交点在定直线上.

【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线方程，双曲线中的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据设而不求的思想，利用韦达定理得到是解题的关键.

21．已知函数．

(1)在上单调递增，求的取值范围；

(2)若，证明：当时，．（参考数据：）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分析可知，对任意的，，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围；

（2）先证明出，为此构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，证明出对任意的恒成立，再结合不等式的基本性质可证得原不等式成立.

【详解】（1）解：由题意可知，对任意的，，则，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，，解得，

因此，实数的取值范围是.

（2）证明：因为，先证明，即可证得原不等式成立，

构造函数，其中，则，

，令，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递减，

故当时，，

当时，，此时函数单调递增，则，

故对任意的，，即，

因为，故对任意的，则，即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．在平面直角坐标中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)写出曲线的普通方程；

(2)若与有公共点，求的取值范围．

【答案】(1)（且）

(2)

【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数，即可得出曲线的普通方程，再根据参数的范围确定和的取值范围；

（2）首先由直线的极坐标方程得出直线的直角坐标方程；方法一：写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出的取值范围；方法二：由曲线的普通方程得出曲线为圆弧，画出简图，由直线与曲线有公共点求出直线极限位置时的值，即可得出的取值范围．

【详解】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数），

得代入得，，

整理得：，

又因为，

所以，，

故曲线C的普通方程为：（且）．

（2）因为直线的极坐标方程为，

所以直线的直角坐标方程为：，

方法一：

由曲线C的普通方程写出曲线C的三角参数方程（为参数），

因为，所以可取，

联立与的方程，即将，代入中，

可得，即，

要使与有公共点，则有解，

因为，

所以，

故的取值范围是．

方法二：

由曲线C的普通方程（且），可知曲线为圆弧，圆心为，半径，如图所示，

若与有公共点，则直线的两个极限位置如图所示，

当直线与曲线相切时，

，即，

解得或（不合题意舍去），

当直线过点时，得，

因为直线与曲线有公共点，即直线在两个极限位置之间，

所以，

故的取值范围是．

23．已知函数．

(1)当时，求的最小值；

(2)若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．

【答案】(1)2；

(2)证明见解析.

【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；

（2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.

【详解】（1）当时，，

当，，；

当，，；

当，，；

∴当时，的最小值为2．

（2），，当时，

可化为，

令，，，∴

∴，

当且仅当时取得等号；

又当时，，

故.