2023届广西桂林市、崇左市高三一模数学（理）试题含解析

2023届广西桂林市、崇左市高三一模数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交集运算即可解出．

【详解】因为，，所以．

故选：A.

2．在复平面内,复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限

【解析】复数运算

3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．

【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C选项．

故选C．

点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．

【解析】三视图．

4．某学校组建了演讲，舞蹈､航模､合唱，机器人五个社团，全校名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：

则选取的学生中参加机器人社团的学生数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据演讲的人数，求得本次调查的人数为人，进而求得机器人所占的比例，即可求解.

【详解】由题意，本次调查的人数为人，

其中合唱比赛所占的比例为，

所以机器人所占的比例为，

所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人.

故选：B.

5．甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4,则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)

A．0.32 B．0.56

C．0.44 D．0.68

【答案】B

【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得到结果.

【详解】恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中或甲没有击中乙击中，这两个是互斥事件，

根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可得.

故选：B.

6．已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.

【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，

而函数是奇函数，则有，

所以.

故选：D

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】易得，再利用对数函数的单调性即可比较.

【详解】，，，

，故，

.

故选：C.

8．已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.

【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.

故选：C

9．中国的古建筑往往是美学和哲学的完美体现.下图是某古建筑物及其剖面图，是桁，是脊，是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为，，，，若是公差为0.15的等差数列，，则（    ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】C

【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设，则，

依题意，有，且，

所以，故，

故选：C.

10．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.

【详解】依题意，，

于是，

所以.

故选：A

11．已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积取最大时，其外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出三棱锥体积取最大时的几何体特征，再确定球心位置，求出球半径作答.

【详解】取中点，连接，如图，

在中，由余弦定理得，

即，当且仅当时取等号，

又，则，

当且仅当时，最大，的面积最大，

令直线与平面所成角为，则点到平面的距离，当且仅当时取等号，

因此三棱锥体积，即当最大，三棱锥体积最大，

因此当三棱锥体积最大时，且平面，而平面，即有，

正中，，，则平面，

令正的外接圆圆心为，等腰的外接圆圆心为，则分别在上，令外接球球心为，

于是平面，平面，有，即四边形是矩形，

而，，在中，，

因此球的半径，

所以三棱锥外接球的体积，

故选：C

12．定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形.已知在平面凸四边形中，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出，再确定的范围，利用正弦定理结合正弦函数的性质求解作答.

【详解】在中，由余弦定理得：，

显然，即，，

在中，，，因为为平面凸四边形，则有，

因此，而，

由正弦定理得：，

当时，，当时，，

因此，，即，

所以的取值范围是.

故选：A

【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

二、填空题

13．在的展开式中，常数项为__________．

【答案】

【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令的指数为零，求解并计算得到答案.

【详解】的展开式的通项

令，解得，

故常数项为．

故答案为：.

14．若，则______．

【答案】

【分析】利用降幂公式，将所求式子化简，再结合已知条件，即可求出答案.

【详解】解：由降幂公式得：，

又∵

∴.

故答案为：

【点睛】本题考查了降幂公式和诱导公式，属于基础题.

15．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______．

【答案】

【分析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.

【详解】，

理由如下：

为上的减函数，且，

为上的增函数，且，

，

故答案为：．

16．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则_____________.

【答案】##0.375

【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．

【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，

由，

依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，

两式相减得，

将装置中的去掉，则有，

所以

故答案为：．

三、解答题

17．从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．

在数列中，，_______，其中．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若成等比数列，其中，且，求的最小值．

【答案】选择①：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．

选择②：（Ⅰ）；（Ⅱ）6．

选择③：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．

【分析】（Ⅰ）选择①，由求得的值，再由可求得数列的通项公式；

选择②，可知数列是以为公差的等差数列，进而可求得数列的通项公式；

选择③，可知数列是等差数列，求出公差的值，进而可求得数列的通项公式；

（Ⅱ）由可得出关于的表达式，进而可求得的最小值．

【详解】选择①：（Ⅰ）当时，由，得.

当时，由题意，得，所以．

经检验，符合上式，所以；

（Ⅱ）由、、成等比数列，得，即．                                 

化简，得，

因为、是大于的正整数，且，所以当时，有最小值．                        

选择②：（Ⅰ）因为，所以．

所以数列是公差的等差数列.

所以；

（Ⅱ）由、、成等比数列，得，即．

化简，得，

因为、是大于的正整数，且，所以当时，取到最小值；

选择③：（Ⅰ）由，得，所以数列是等差数列，

设等差数列的公差为，又因为，，所以.

所以；

（Ⅱ） 因为、、成等比数列，所以，即．                                 

化简，得，

因为、是大于的正整数，且，所以当时，有最小值．

【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.

18．如图所示，在四棱锥中，，，，.

(1)证明：；

(2)求直线BC与平面PCD所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过构造线面垂直的方法来证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BC与平面PCD所成角的正弦值进而求得其余弦值.

【详解】（1）连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP.

因为，所以，

因为，所以，

又平面，所以平面OAP，

因为平面OAP，所以.

（2）因为，所以，又，

所以，所以，

又平面，

所以平面ABCD.

，

，所以.

如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

，平面PCD的法向量分别为，

所以，即，取，则，

设与平面PCD所成的角为，则

则直线BC与平面PCD的夹角余弦值为.

19．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：

他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值．

（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应该选择哪个模型？请说明理由．

（2）残差绝对值大于的数据认为是异常数据，需要剔除．

（i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；

（ii）若广告投入量，求该模型收益的预报值是多少？

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析；（2）（i）；（ii）万元．

【分析】（1）根据残差图中残差点的分布可选择合适的模型；

（2）（i）计算出剔除异常数据后的、、、的值，代入最小二乘法公式后求出、的值，即可得出回归直线方程；

（ii）将代入回归直线方程后，可计算得出结果.

【详解】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，

所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高；

（2）（i）剔除异常数据，即月份的数据后，

得，．

，．

，．

所以关于的回归方程为；

（ii）把代入①中所求回归方程得，故预报值为万元．

20．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C的方程；

(2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，使得成立.

【分析】（1）根据给定条件，求得笔尖留下的轨迹，再结合抛物线的定义求出方程作答.

（2）求出直线的方程，并与曲线C的方程联立，利用韦达定理及共线向量建立函数关系即可求解作答.

【详解】（1）依题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，

因此笔尖留下的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设其方程为，

则，由，得，

由得点的横坐标，而抛物线的准线方程为，则，解得，

所以轨迹的方程为.

（2）假设存在，使得，设，直线的方程为，

由消去y得：，

而，，，

，由得，即，

于是，令，，

因此，又，即，解得或，

所以存在，使得成立.

【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.

21．已知函数．

(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

(2)当时，求函数零点的个数．

【答案】(1)

(2)有且仅有个零点

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；

（2）首先可得与是的两个零点，再利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；

【详解】（1）解：因为，所以，

由函数在上单调递增，则在上恒成立．

令，，

当时，，所以恒成立．

所以在上单调递增，所以，所以

（2）解：由，则，．

所以与是的两个零点．

因为，由（1）知，函数在上单调递增，，无零点．

当时，，，，无零点．

当时，，设，，

在上递增，又，，

存在唯一零点，使得．

当时，，在上递减；

当时，，在上递增．

又，，所以，函数在上有且仅有个零点．

综上，当时，函数有且仅有个零点．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．在平面直角坐标中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)写出曲线的普通方程；

(2)若与有公共点，求的取值范围．

【答案】(1)（且）

(2)

【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数，即可得出曲线的普通方程，再根据参数的范围确定和的取值范围；

（2）首先由直线的极坐标方程得出直线的直角坐标方程；方法一：写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出的取值范围；方法二：由曲线的普通方程得出曲线为圆弧，画出简图，由直线与曲线有公共点求出直线极限位置时的值，即可得出的取值范围．

【详解】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数），

得代入得，，

整理得：，

又因为，

所以，，

故曲线C的普通方程为：（且）．

（2）因为直线的极坐标方程为，

所以直线的直角坐标方程为：，

方法一：

由曲线C的普通方程写出曲线C的三角参数方程（为参数），

因为，所以可取，

联立与的方程，即将，代入中，

可得，即，

要使与有公共点，则有解，

因为，

所以，

故的取值范围是．

方法二：

由曲线C的普通方程（且），可知曲线为圆弧，圆心为，半径，如图所示，

若与有公共点，则直线的两个极限位置如图所示，

当直线与曲线相切时，

，即，

解得或（不合题意舍去），

当直线过点时，得，

因为直线与曲线有公共点，即直线在两个极限位置之间，

所以，

故的取值范围是．

23．已知函数．

(1)当时，求的最小值；

(2)若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．

【答案】(1)2；

(2)证明见解析.

【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；

（2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.

【详解】（1）当时，，

当，，；

当，，；

当，，；

∴当时，的最小值为2．

（2），，当时，

可化为，

令，，，∴

∴，

当且仅当时取得等号；

又当时，，

故.