初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试精练

苏科八年级上   综合练习

第3单元 

班级________  姓名________

一．选择题（共10小题）

1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形是（　　）

A．∠A＝∠B+∠C B．a2＝1，b2＝2，c2＝3 

C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5

2．如图所示，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝7，S2＝24，则S3的值为（　　）

A．17 B．20 C．25 D．31

3．如图，在6个边长为1的正方形拼成的网格中从A点到B点距离为+3且途中经过3个格点（不包含A点和B点）的走法共有（　　）

A．6种 B．8种 C．10种 D．12种

      第2题            第3题             第4题             第6题

4．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为（　　）

A．12cm B．cm C．cm D．cm

5．三角形三边之长分别是①3，4，5；②8，15，17；③9，24，25；④13，12，15；其中能构成直角三角形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，则AB＝（　　）

A．5 B．7 C． D．

7．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是（　　）

A．2 B．3 C． D．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△DEF的周长是8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（　　）

A．5 B．4 C．4 D．4

9．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）

A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0 

C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0

10．已知：△ABC中，∠C＝45°，D为BC边上一点，AD＝AB，BD＝2，BH⊥AD于H，BH延长线交AC于E，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．1

           第7题                   第8题                 第10题

二．填空题（共8小题）

11．在Rt△ABC中，已知两边长度分别为3和4，那么第三边的长度为 　             　．

12．直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝　               　．

第12题第13题

13．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝　    　．

14．如图，Rt△ABC中，斜边AC＝2，BC＝2，分别以边AB、AC、CB为直径画半圆，所得阴影图案的面积是 　 　．

15．△ACB的面积为30，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（a＞b），正方形ADEB的面积为169，则a、b的值为 　     　．

第14题第15题

16．如图，在四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD＝20，则△BCD的面积为 　    　．

第16题第18题

17．一个长方体的木箱，长、宽、高分别是5米，4米，3米，木箱内要想放进去一根木条，请问木条能放进去的最大长度是 　            　米．

18．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　    　s时，△POQ是等腰三角形．

三．解答题（共6小题）

19．如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．

（1）填空：正方形EFGH的面积为 　   　，四个直角三角形的面积和为 　   　．

（2）求a+b的值．

20．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．

（1）求证：CD⊥AB；

（2）求该三角形的腰的长度．

21．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时，整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），若△DMN的边与BC平行，求t的值．

22．如图，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，（E，F分别在边AB，AC上）．

（1）BC的长为 　 　，S△ABC＝　 　；

（2）若S四边形AEDF＝．求BD的长；

（3）连AD、EF，当D点在BC边上运动时，的值是否变化？如果变化，直接写出变化范围；如果不变，直接写出它的值．

23．如图所示，△OA1A2、△OA2A3、△OA3A4、△OA4A5、…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

OA22＝（）2+1＝2，S1＝；

OA32＝12+（）2＝3，S2＝；

OA42＝12+（）2＝4，S3＝；

…

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12+S22+S33+…+S102的值．

24．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．

（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米？

（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．

参考答案

一．选择题（共10小题）

1．D．

2．D．

3．D．

4．C．

5．B．

6．A．

7．C．

8．C．

9．B．

10．A．

二．填空题（共8小题）

11．5或．

12．．

13．45°．

14．4．

15．12和5．

16．200．

17．5．

18．2或6．

三．解答题（共6小题）

19．

解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，∴S正方形EFGH＝HE2＝16，

∵AD＝c＝20，∴S正方形ABCD＝AD2＝400，

∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，故答案为：16；384；

（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，∴4×ab＝384，解得2ab＝384，

∵a2+b2＝c2＝400，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．∴a+b＝28（负值舍去）．

20．

证明：（1）设AB＝AC＝acm，∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，

∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，∴CD⊥AB；

（2）∵∠ADC＝90°，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，

即a2＝（a﹣6）2+82，解得：a＝，即AB＝cm．

21．

解：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，

在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，

则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．

①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，此时t＝5，

②当DN∥BC时，AD＝AN，此时t＝6，

综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．

22．

解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，

如图1，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝CH，∴AH＝AB＝＝，

由勾股定理得，BH＝CH＝＝，

∴BC＝BH+CH＝+＝9，∴S△ABC＝＝．答案为：9，．

（2）∵△ABC是等腰三角形，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝BD，DF＝CD，

设DE＝x，则BD＝2x，CD＝9﹣2x，∴DF＝，∴BE＝x，CF＝（9﹣2x），

∵S四边形AEDF＝S△ABC﹣S△BDE﹣S△CDF，

∴﹣×x×x﹣××（9﹣2x）＝，

解得：x＝2或x＝，∴BD＝4或BD＝5．

（3）如图2，取AD的中点O，连接OE、OF，

在Rt△AED中，OE＝OD＝OA，在Rt△ADF中，OF＝OD＝OA，

∴∠ODE＝∠OED，∠ODF＝∠OFD，∴∠AOE＝2∠ODE，∠AOF＝2∠ODF，

∴∠EOF＝2∠EDF，∵∠B＝∠C＝30°，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠EDF＝60°，∠AED+∠AFD＝180°，∴∠EOF＝120°，∠EAF+∠EDF＝180°，

∴点A、E、D、F四点共圆，圆心为点O，∴EF＝OE＝AD，

∴＝，∴AD与EF的比值不变，为定值．

23．

解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n，则Sn＝；

（2）∵OAn2＝n，∴OA10＝；

（3）S12+S22+S32+…+S102＝++++…+＝＝．

24．

解：（1）由题意知：AB＝10m，BC＝8m，

由勾股定理得：AC＝（m），当梯子的顶端下滑1m时，如图，

∴CB'＝7m，由勾股定理得A'C＝（m），

∴AA'＝A'C﹣AC＝（﹣6）m，∴梯子的底端A向外滑动（﹣6）m；

（2）存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，设梯子底端向外滑动x米，

则（a﹣x）2+（b+x）2＝c2，解得x1＝a﹣b，x2＝0（舍），∴x＝a﹣b，

即梯子底端向外滑动（a﹣b）米．