2021-2022学年浙江省杭州市下城区采荷中学八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市下城区采荷中学八年级（下）月考数学试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列说法中正确的是

A. 平行四边形的对角线互相平分且相等
B. 矩形的对角线互相垂直且平分
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知多边形的每个内角都是，则这个多边形是

A. 五边形 B. 七边形 C. 九边形 D. 不能确定

5. 一组数据：，，，中，若中位数与平均数相等，则数不可能是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，面积为的矩形试验田一面靠墙墙的长度不限，另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇宽的门门的材料另计设试验田垂直于墙的一边的长为，则所列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 关于函数，下列说法中错误的是

A. 函数的图象在第二、四象限 B. 函数的图象与坐标轴没有交点
C. 的值随值的增大而减小 D. 函数的图象关于原点对称

8. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中

A. 有一个内角小于 B. 有一个内角大于
C. 每一个内角都小于 D. 每一个内角都大于

9. 若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是

A.  B.
C.  D. 大小关系不能确定

10. 如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是
    ；
    ≌；
    平分；
    平分；
    四边形是菱形．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若代数式有意义，则的取值范围是______．
12. 甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，你认为成绩更稳定的是______．
13. 关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是______．
14. 已知、两点坐标分别为和，平行四边形的一个内角为，点在轴上，则点的坐标为______．
15. 年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是______厘米．
16. 如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程有一个实数根为负数，求正整数的值．
19. 年月日，中国选手谷爱凌在冬奥会自由式滑需女子大跳台决赛中夺得金牌，国际滑联评价谷爱凌为滑雪史上第一人，已知自由式滑雪大跳台的计分规则如下：
    每次滑雪的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数；
    每次滑雪都有名裁判进行打分，在个得分中去掉个最高分和个最低分，剩下个得分的平均值为这次起跳的完成分；
    运动员该次滑雪的最后得分难度系数完成分．
    在某次自由滑雪大跳台比赛中，某运动员的打分满分分表为：

名裁判打分的众数是______；中位数是______．
该运动员的最后得分是多少？
已知某运动员在一次滑雪大跳台比赛中完成了难度系数的动作，且所有裁判都打了满分，请你帮她算一下，难度系数的满分成绩应该是多少分？

20. 如图，四边形是平行四边形，和相交于点，过点作的垂线分别交，于点，点，连接，．
    求证：四边形是萎形；
    若，，求四边形的周长．

21. 小明同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
    该厂一月份罐头加工量为吨；
    该厂三月份的加工量比一月份增长了；
    该厂第一季度共加工罐头吨；
    该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；
    六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的倍，与五月份相比增长了吨．
    利用以上信息求：
    该厂第一季度加工量的月平均增长率；
    该厂一月份的加工量的值；
    该厂第二季度的总加工量．
22. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于，两点，交反比例函数图象于，两点．
    求直线的表达式；
    点是线段上一点，若，求点的坐标；
    请你根据图象直接写出不等式的解集．

23. 已知：如图，四边形为正方形，为边上的一点，连接，并以为对称轴，作与成轴对称的图形，延长或交直线于．
    

求证：；；

设，，，求的值；

若将条件中的“为边上的一点”改为“为射线上的一点”，则中的结论还成立吗？请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
 

2.【答案】

【解析】解：、平行四边形的对角线不一定相等，但是互相平分，此选项错误；
B、矩形的对角线相等，且互相平分，此选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，且互相平分，但是不一定相等，此选项错误；
D、正方形的对角线相等，且互相平分、垂直．
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、及他们之间的联系和区别．
 

3.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】

【解析】解：多边形的每个内角都是，
每个外角是，
这个多边形的边数是，
这个多边形是五边形，
故选：．
首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和外角度数边数可得多边形的边数．
此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．
 

5.【答案】

【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列为，，，，
处于中间位置的数是，，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，
平均数为，
，
解得，大小位置与对调，不影响结果，符合题意；

将这组数据从小到大的顺序排列后，，，，
中位数是，
此时平均数是，
解得，符合排列顺序；

将这组数据从小到大的顺序排列后，，，，
中位数是，
平均数，
解得，符合排列顺序．
的值为、或．
故选：．
因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中的大小位置未定，故应该分类讨论所处的所有位置情况：从小到大或从大到小排列在中间在第二位或第三位结果不影响；结尾；开始的位置．
本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力．涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数
 

6.【答案】

【解析】解：篱笆的总长为，且，平行于墙的一边开有一扇宽的门，
．
依题意得：．
故选：．
根据篱笆的总长及的长度，可得出，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：函数，，
该函数的图象在第二、四象限，故选项A说法正确；
函数的图象与坐标轴没有交点，故选项B说法正确；
在每个象限内，随的增大而增大，故选项C说法错误；
函数的图象关于原点对称，故选项D说法正确．
故选C．
直接利用反比例函数的性质：图象、增减性、图象上坐标特点，分别判断得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

9.【答案】

【解析】解：是一元二次方程的根
则有





故选：．
把代入原方程得到两边同乘以，移项，再两边同加上，就得到了．
本题主要应用了对方程转化，配方的方法，向已知条件进行转化的思想．
 

10.【答案】

【解析】解：设和的交点为点，如图：

、分别是、的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，且，
，
点为的中点，
，
在和中，，
≌，即正确，
，，
，
，点为平行四边形对角线交点，
，
为中点，
，
，

，为中点，
为中点，即，且，
在和中，，
≌，
，
，即正确，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，

在和中，，
≌，
，
平分，即正确．
，，
四边形是平行四边形，
没有条件得出是菱形，不正确；
故选：．
由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得正确，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，，证≌得出得出正确，再证≌得出再求，证出四边形是平行四边形，不正确；此题得解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
 

11.【答案】且

【解析】解：由题意可得，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数，分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

12.【答案】乙

【解析】解：，，，，
方差最小的为乙，
成绩更稳定的是乙．
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】

【解析】解：设方程的两根为、，
则有：，
，
．
故答案为：．
设方程的两根为、，由根与系数的关系可得出，结合即可求出值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之积是关键．
 

14.【答案】或

【解析】解：过点作轴于点，分两种情况进行讨论：
、如图，当时：

，
，
，
，
点的坐标为；
点的坐标为；
、如图，当时：
，

，
，
点的坐标为．
点的坐标为，
由、可知点的坐标为：或．
故答案为：或．
本题分两种情况讨论，过点作轴于点，在直角中，，根据三角函数得到，当时点的坐标是，当时，点的坐标是．
本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是正确解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：设与之间的函数表达式为，
，
，
与之间的函数表达式为；
当时，即，
，
此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是厘米．
故答案为：．
先求出与之间的函数表达式，再根据代入函数关系式解答即可．
本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，在的下方作，，连接，．

四边形是菱形，，
，，
，，，
≌，
，
，，
，
，，
，
的最小值为，
故答案为．
如图，在的下方作，，连接，证明≌，推出，，根据求解即可．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式

；
方程分解得：，
所以或，
解得：，．

【解析】原式化简后，去括号合并即可得到结果；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的性质与化简，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：

．
，
方程总有两个实数根．
解：用因式分解法解此方程，
可得，
解得，，
若方程有一个根为负数，则，
故，
正整数．

【解析】证明即可；
先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

19.【答案】 

【解析】解：出现次数最多，名裁判打分的众数是；
把这组数据按照从小到大的顺序排列得：、、、、、、，根据中位数的定义知，中位数是．
故答案为：；；
分．
故该运动员本次滑雪的得分是分．
分，
答：难度系数的满分成绩应该是分．
根据众数和中位数的定义即可得出答案；
根据运动员该次滑雪的得分难度系数完成分列出算式计算即可求解；
根据运动员该次滑雪的得分难度系数完成分列出算式计算即可求解．
本题考查的是平均数、众数和中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数的值．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
在中，，
由知，四边形是菱形，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
四边形的周长为：．

【解析】由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出由证明≌，由全等三角形的性质得出，证出四边形为菱形即可．
根据平行四边形的性质和矩形的判定以及勾股定理解答即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设第一季度加工量的月平均增长率为，
由题意得，
解得，不合题意，舍去，
答：第一季度加工量的月平均增长率为；

由题意得，
解得；
答：该厂一月份的加工量的值是；

六月份产量为吨．
五月份产量为吨．
设从三月到五月逐月下降的百分率为，
由题意得，
解得，不合题意，舍去，
从三月到五月逐月下降的百分率为．
四月产量为吨，
第二季度总产量为吨．
答：该厂第二季度的总加工量是吨．

【解析】设该厂第一季度加工量的月平均增长率为，根据初始量乘以等于一月份的，列方程求解即可；
根据一月、二月、三月份的加工量相加等于，再将中的值代入求解即可；
先分别求出三月、六月和五月的加工量，再设四、五两个月的加工量下降的百分率为，用三月份的加工量乘以等于五月份的加工量，求得值，进而求得四月份的加工量，将四、五、六月的加工量相加即可得答案．
本题考查了一元二次方程在生产实际问题中的应用，正确分析题目中的数量关系，列出相关式子与方程，是解题的关键．
 

22.【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，解得，
，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
设，
当时，，则，
，
，解得，
点坐标为；
结合图象得当或时，，
不等式的解集为或．

【解析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定，然后利用待定系数法求直线的解析式；
设，先确定，再利用三角形面积公式，利用面积和差列方程，然后解方程求出即可得到点坐标．
利用函数图象，写出反比例函数图象在直线下方所对应的自变量的范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求反比例函数解析式．
 

23.【答案】解：如图，把沿折叠使落在的位置，
≌，
，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
如图，设，，，则，，，
，
，
整理得：；
不成立，
理由：如图，此时，，成立．
同有≌，≌，
，，，，
，
．

【解析】根据折叠的性质，≌，得到，，，，然后根据“”可证明≌，则，，所以；；
，，，则、、可以用、表示，由于，根据勾股定理列方程即可解答；
不成立，此时，，成立，证明方法与类似．
本题主要考查了翻折变换、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综合运用，发现图形中≌以及≌，是解决问题的关键．