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2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10m B．120m C．190m D．220m
4．（3分）如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCB C．AB＝DC D．AC＝DB
5．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（ ）
A．10° B．30° C．65° D．85°
7．（3分）下列条件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a＝1，b＝0 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A．10 B．5 C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
12．（4分）等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
13．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝13，AC＝12，则斜边上的高是 ，斜边上的中线是 ．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝13，则图中阴影部分△CEF的面积是 ．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒．
三、解答题（共66分）
17．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BC＝DE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D．若AB＝5，BD＝3，求△ABC的周长．
19．（8分）如图，在△ABC中．
（1）请在BC边上找一点D，使D到点A和点C的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠B＝60°，∠C＝25°，求∠BAD的度数．
20．（10分）如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米．
（1）请你在河CD边上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省；
（2）求出铺设水管的总费用．
21．（10分）如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠BOQ的度数．
22．（12分）如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC．
（1）求证：CD＝DE；
（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；
（3）若AE平分∠BAC，求的值．
23．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD＝4，DM＝3．
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2）当摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝，求BD2的长．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形；
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形；
故选：A．
2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：A．
3．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10m B．120m C．190m D．220m
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定BC的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在△ABC中，PA＝100m，PB＝90m，
∴100﹣90＜AB＜100+90，
∴10＜AB＜190，
故点A与点B之间的距离可能是120m．
故选：B．
4．（3分）如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCB C．AB＝DC D．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D．AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（ ）
A．10° B．30° C．65° D．85°
【分析】根据翻折变换的性质可得∠A′DC＝∠ADC，CD是角平分线，然后根据三角形的内角和列式计算即可得解．
【解答】解：∵折叠后点A落在边CB上A′处，∠ACB＝90°
∴折痕CD是角平分线，
∴∠A′CD＝∠ACD＝45°
又∵∠A＝50°，
∴∠A′DC＝∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣50°﹣45°＝85°．
故选：D．
7．（3分）下列条件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：①∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15°，
∴∠C＝15°×5＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形；
④∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①④共2个，
故选：B．
8．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a＝1，b＝0 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
【分析】利用不等式的性质和绝对值，当a＝1，b＝﹣2时，命题为假命题，判断即可．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣2时，a＞b，但|a|＜|b|，
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的周长公式求出AB+BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到BD＝DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A．10 B．5 C． D．
【分析】先由CD＝AE得到，AB的长度，继而求得DE＝5，从而证明△CDE为等腰三角形，求得△ABC的面积，根据CE中线的性质，求出△BCE的面积，再用△BCE的面积减去△BDE的面积即可求解．
【解答】解：∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE，
∵CD＝AE＝5，
∴AB＝10，
根据勾股定理得：AD＝＝8，
∴△ABC的面积为，
∵CE是△ABC的中线，
∴S△BCE＝S△ACE＝22，
∵BD＝6，AD＝8，AD⊥BC，
∴，
∵DE是△ABD的中线，
∴S△BDE＝12，
∴S△DCE＝S△BCE﹣S△BDE＝10，
∵DE＝AE＝AB，DC＝AE，
∴DC＝DE，
∵DG⊥CE，
∴．
故选：B．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
12．（4分）等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 50°或80° ．
【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
13．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝13，AC＝12，则斜边上的高是 ，斜边上的中线是 ．
【分析】设斜边上的高是h，斜边上的中线是a，根据勾股定理得到BC＝5，然后根据三角形的面积公式求得斜边上的高，根据直角三角形的性质得到斜边上的中线．
【解答】解：设斜边上的高是h，斜边上的中线是a，
在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝＝＝5，
∵S△ABC＝AB•h＝AC•BC，
∴h＝＝，
∵斜边上的中线a＝AB＝13＝，
∴斜边上的高是，斜边上的中线是，
故答案为：，．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是 40° ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，进而求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：设AD与BC交于点G，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，
∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
15．（4分）如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝13，则图中阴影部分△CEF的面积是 ．
【分析】根据E、F分别为中点，利用等底同高面积相等求出即可．
【解答】解：∵E为AD的中点，
∴S△CDE＝，S△BDE＝，
∴S△BEC＝S△ABC＝，
又∵F为BE的中点，
∴S△EFC＝S△BEC＝，
故答案为：．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 ，5，8 秒．
【分析】当△BCD为等腰三角形时应分当D是顶角顶点，当B是顶角顶点，当A是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理求得BD的长，从而求解．
【解答】解：①如图：
当AD＝BD时，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AD2＝AC2+CD2，
即：BD2＝（8﹣BD）2+62，
解得，BD＝（cm）．
则t＝＝（秒）；
②如图：
当AB＝BD时，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得到
AB＝＝＝10，则t＝＝5（秒）；
③如图：
当AD＝AB时，BD＝2BC＝16，则t＝＝8（秒）；
综上所述，t的值可以是：，5，8；
故答案是：，5，8．
三、解答题（共66分）
17．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BC＝DE．
【分析】根据∠1＝∠2，可以得到AC＝AD，然后根据SAS即可证明△BAC≌△EAD，从而可以得到BC＝DE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AC＝AD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴BC＝DE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D．若AB＝5，BD＝3，求△ABC的周长．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出DC＝BD＝4，从而求得BC＝8，三边相加即可求得周长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BD，
∴DC＝BD＝3，
∴BC＝6，
∴周长为AB+AC+BC＝5+5+6＝16．
19．（8分）如图，在△ABC中．
（1）请在BC边上找一点D，使D到点A和点C的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠B＝60°，∠C＝25°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD即可．
（2）分别求出∠BAC，∠DAC，再利用角的和差定义求解即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵BD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°．
20．（10分）如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米．
（1）请你在河CD边上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省；
（2）求出铺设水管的总费用．
【分析】（1）作点A关于河CD的对称点A'，连接A'B交河CD于O点，根据轴对称确定最短路线问题，点O就是水厂的位置；
（2）构造出以A′B为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式计算即可求出A′B，再乘以单价计算即可得解．
【解答】解：（1）①水厂位置O如图所示；
（2）如图，作出以A′B为斜边的直角三角形，
∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，
∴A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4km，
由勾股定理得，A′B＝＝5km，
20 000×5＝100 000元．
答：铺设水管的总费用100000元．
21．（10分）如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠BOQ的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠BOQ＝∠BAC＝60°．
【解答】解：（1）如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）；
（2）由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP＝∠CAQ，
∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，即∠BOQ的度数是60°．
22．（12分）如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC．
（1）求证：CD＝DE；
（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；
（3）若AE平分∠BAC，求的值．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BDC，可得结论；
（2）如图2，延长AE交BC于F，求出∠BFE＝∠ADE＝90°，可得结论；
（3）作EG⊥AB于G，由角平分线的性质得出EG＝ED，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，
∵BD是△ABC的高，
∴∠ADE＝∠BDC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDC（HL），
∴CD＝DE；
（2）解：AE⊥BC，理由如下：
如图2，延长AE交BC于F，
由（1）知：Rt△ADE≌Rt△BDC，
∴∠EAD＝∠EBF，
∵∠AED＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠ADE＝90°，
∴AE⊥BC；
（3）解：如图3，过点E作EG⊥AB于G，
∵AE平分∠BAC，BD⊥AC，
∴EG＝ED，
∵DC＝DE，
∴EG＝DC，
由（1）可知∠ABD＝45°，
∴BE＝EG＝DC，
∴．
23．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD＝4，DM＝3．
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2）当摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝，求BD2的长．
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可．
（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．
【解答】解：（1）①AM＝AD+DM＝7，或AM＝AD﹣DM＝1．
②显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝42﹣32＝7，
∴AM＝或（﹣舍弃）．
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝42+32＝25，
∴AM＝5或（﹣5舍弃）．
综上所述，满足条件的AM的值为或5．
（2）如图2中，连接CD1．
由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝4，
∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝90°，
∴CD1＝＝＝7，
∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，
∴∠BAD2＝∠CAD1，
∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1（SAS），
∴BD2＝CD1＝7．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10m B．120m C．190m D．220m
4．（3分）如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCB C．AB＝DC D．AC＝DB
5．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（ ）
A．10° B．30° C．65° D．85°
7．（3分）下列条件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a＝1，b＝0 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A．10 B．5 C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
12．（4分）等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
13．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝13，AC＝12，则斜边上的高是 ，斜边上的中线是 ．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝13，则图中阴影部分△CEF的面积是 ．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒．
三、解答题（共66分）
17．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BC＝DE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D．若AB＝5，BD＝3，求△ABC的周长．
19．（8分）如图，在△ABC中．
（1）请在BC边上找一点D，使D到点A和点C的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠B＝60°，∠C＝25°，求∠BAD的度数．
20．（10分）如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米．
（1）请你在河CD边上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省；
（2）求出铺设水管的总费用．
21．（10分）如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠BOQ的度数．
22．（12分）如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC．
（1）求证：CD＝DE；
（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；
（3）若AE平分∠BAC，求的值．
23．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD＝4，DM＝3．
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2）当摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝，求BD2的长．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形；
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形；
故选：A．
2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：A．
3．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10m B．120m C．190m D．220m
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定BC的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在△ABC中，PA＝100m，PB＝90m，
∴100﹣90＜AB＜100+90，
∴10＜AB＜190，
故点A与点B之间的距离可能是120m．
故选：B．
4．（3分）如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCB C．AB＝DC D．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D．AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（ ）
A．10° B．30° C．65° D．85°
【分析】根据翻折变换的性质可得∠A′DC＝∠ADC，CD是角平分线，然后根据三角形的内角和列式计算即可得解．
【解答】解：∵折叠后点A落在边CB上A′处，∠ACB＝90°
∴折痕CD是角平分线，
∴∠A′CD＝∠ACD＝45°
又∵∠A＝50°，
∴∠A′DC＝∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣50°﹣45°＝85°．
故选：D．
7．（3分）下列条件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：①∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15°，
∴∠C＝15°×5＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形；
④∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①④共2个，
故选：B．
8．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a＝1，b＝0 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
【分析】利用不等式的性质和绝对值，当a＝1，b＝﹣2时，命题为假命题，判断即可．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣2时，a＞b，但|a|＜|b|，
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的周长公式求出AB+BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到BD＝DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（ ）
A．10 B．5 C． D．
【分析】先由CD＝AE得到，AB的长度，继而求得DE＝5，从而证明△CDE为等腰三角形，求得△ABC的面积，根据CE中线的性质，求出△BCE的面积，再用△BCE的面积减去△BDE的面积即可求解．
【解答】解：∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE，
∵CD＝AE＝5，
∴AB＝10，
根据勾股定理得：AD＝＝8，
∴△ABC的面积为，
∵CE是△ABC的中线，
∴S△BCE＝S△ACE＝22，
∵BD＝6，AD＝8，AD⊥BC，
∴，
∵DE是△ABD的中线，
∴S△BDE＝12，
∴S△DCE＝S△BCE﹣S△BDE＝10，
∵DE＝AE＝AB，DC＝AE，
∴DC＝DE，
∵DG⊥CE，
∴．
故选：B．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
12．（4分）等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 50°或80° ．
【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
13．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝13，AC＝12，则斜边上的高是 ，斜边上的中线是 ．
【分析】设斜边上的高是h，斜边上的中线是a，根据勾股定理得到BC＝5，然后根据三角形的面积公式求得斜边上的高，根据直角三角形的性质得到斜边上的中线．
【解答】解：设斜边上的高是h，斜边上的中线是a，
在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝＝＝5，
∵S△ABC＝AB•h＝AC•BC，
∴h＝＝，
∵斜边上的中线a＝AB＝13＝，
∴斜边上的高是，斜边上的中线是，
故答案为：，．
14．（4分）如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是 40° ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，进而求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：设AD与BC交于点G，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，
∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
15．（4分）如图，在△ABC中，已知点D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝13，则图中阴影部分△CEF的面积是 ．
【分析】根据E、F分别为中点，利用等底同高面积相等求出即可．
【解答】解：∵E为AD的中点，
∴S△CDE＝，S△BDE＝，
∴S△BEC＝S△ABC＝，
又∵F为BE的中点，
∴S△EFC＝S△BEC＝，
故答案为：．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 ，5，8 秒．
【分析】当△BCD为等腰三角形时应分当D是顶角顶点，当B是顶角顶点，当A是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理求得BD的长，从而求解．
【解答】解：①如图：
当AD＝BD时，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AD2＝AC2+CD2，
即：BD2＝（8﹣BD）2+62，
解得，BD＝（cm）．
则t＝＝（秒）；
②如图：
当AB＝BD时，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得到
AB＝＝＝10，则t＝＝5（秒）；
③如图：
当AD＝AB时，BD＝2BC＝16，则t＝＝8（秒）；
综上所述，t的值可以是：，5，8；
故答案是：，5，8．
三、解答题（共66分）
17．（6分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BC＝DE．
【分析】根据∠1＝∠2，可以得到AC＝AD，然后根据SAS即可证明△BAC≌△EAD，从而可以得到BC＝DE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AC＝AD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴BC＝DE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D．若AB＝5，BD＝3，求△ABC的周长．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出DC＝BD＝4，从而求得BC＝8，三边相加即可求得周长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BD，
∴DC＝BD＝3，
∴BC＝6，
∴周长为AB+AC+BC＝5+5+6＝16．
19．（8分）如图，在△ABC中．
（1）请在BC边上找一点D，使D到点A和点C的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠B＝60°，∠C＝25°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD即可．
（2）分别求出∠BAC，∠DAC，再利用角的和差定义求解即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵BD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°．
20．（10分）如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米．
（1）请你在河CD边上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省；
（2）求出铺设水管的总费用．
【分析】（1）作点A关于河CD的对称点A'，连接A'B交河CD于O点，根据轴对称确定最短路线问题，点O就是水厂的位置；
（2）构造出以A′B为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式计算即可求出A′B，再乘以单价计算即可得解．
【解答】解：（1）①水厂位置O如图所示；
（2）如图，作出以A′B为斜边的直角三角形，
∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，
∴A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4km，
由勾股定理得，A′B＝＝5km，
20 000×5＝100 000元．
答：铺设水管的总费用100000元．
21．（10分）如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O，
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）求∠BOQ的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠BOQ＝∠BAC＝60°．
【解答】解：（1）如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）；
（2）由（1）知，△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP＝∠CAQ，
∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，即∠BOQ的度数是60°．
22．（12分）如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC．
（1）求证：CD＝DE；
（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；
（3）若AE平分∠BAC，求的值．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BDC，可得结论；
（2）如图2，延长AE交BC于F，求出∠BFE＝∠ADE＝90°，可得结论；
（3）作EG⊥AB于G，由角平分线的性质得出EG＝ED，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，
∵BD是△ABC的高，
∴∠ADE＝∠BDC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDC（HL），
∴CD＝DE；
（2）解：AE⊥BC，理由如下：
如图2，延长AE交BC于F，
由（1）知：Rt△ADE≌Rt△BDC，
∴∠EAD＝∠EBF，
∵∠AED＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠ADE＝90°，
∴AE⊥BC；
（3）解：如图3，过点E作EG⊥AB于G，
∵AE平分∠BAC，BD⊥AC，
∴EG＝ED，
∵DC＝DE，
∴EG＝DC，
由（1）可知∠ABD＝45°，
∴BE＝EG＝DC，
∴．
23．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD＝4，DM＝3．
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2）当摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝，求BD2的长．
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可．
（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．
【解答】解：（1）①AM＝AD+DM＝7，或AM＝AD﹣DM＝1．
②显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝42﹣32＝7，
∴AM＝或（﹣舍弃）．
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝42+32＝25，
∴AM＝5或（﹣5舍弃）．
综上所述，满足条件的AM的值为或5．
（2）如图2中，连接CD1．
由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝4，
∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝90°，
∴CD1＝＝＝7，
∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，
∴∠BAD2＝∠CAD1，
∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1（SAS），
∴BD2＝CD1＝7．
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