2022_2023学年新教材高中数学期末质量检测湘教版必修第一册

这是一份2022_2023学年新教材高中数学期末质量检测湘教版必修第一册，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩(∁UT)＝( )
A．{1，5} B．{1} C．{1，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．sin 330°＝ ( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2)
3．已知命题p：∀x>0，2x>lg2x，则命题p的否定为( )
A．∀x>0，2x≤lg2x B．∃x>0，2x≤lg2x C．∃x>0，2x4．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令．现行的二十四节气是根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定的．每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从冬至到雨水对应地球在黄道上运动的弧度数为 ( )
A．－ eq \f(π,3) B．－ eq \f(5π,12) C． eq \f(5π,12) D． eq \f(π,3)
5．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－2，a)，若α＝120°，则a的值为( )
A．－2 eq \r(3) B．±2 eq \r(3) C．2 eq \r(3) D． eq \r(3)
6．若a＝lg54，b＝lg eq \r(2) 0.5，c＝60.7( )
A．a7．函数f(x)＝ eq \f(ln |x|,ex－e－x) 的大致图象是( )

8．科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按y＝sin (ωx＋φ)进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，且现在三条曲线都处于x轴的同一点处，那么第322天时 ( )
A．智力曲线I处于最低点 B．情绪曲线E与体力曲线P都处于上升期
C．智力曲线I与情绪曲线E相交 D．情绪曲线E与体力曲线P都关于(322，0)对称
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列结论正确的是( )
A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2
B．若a，b，m为正实数，aC．若a，b∈R，则“a>b>0”是“ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)”的充分不必要条件
D．当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sin x＋ eq \f(2,sin x)的最小值是2 eq \r(2)
10．若α为第二象限角，则下列结论正确的是( )
A．sin α>cs α B．sin α>tan α C．sin α＋cs α>0 D．cs α＋tan α>0
11．下列选项不正确的是( )
A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)
B．函数y＝ eq \f(1,x)在定义域内是减函数
C．所有的周期函数一定有最小正周期
D．函数f(x)＝eln x和函数g(x)＝ eq \f(1,\r(x))有相同的定义域与值域
12．已知f(x)＝sin2x＋sin2(x＋α)＋sin2(x＋β)，其中α，β为参数，若对∀x∈R，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)＝ eq \f(3,2) B．f(x)＝2
C．α＋β＝π D．满足题意的一组α，β可以是α＝ eq \f(π,3)，β＝ eq \f(2π,3)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．已知弧长为 eq \f(π,3)cm的弧所对圆心角为 eq \f(π,6)，则这条弧所在圆的半径为________cm.
14．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2，x≤1,lga（x－1），x>1))，若f(f(0))＝2，则实数a的值为________．
15．若函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))上的最大值为2，最小值为m，函数g(x)＝(3＋2m) eq \r(x)在[0，＋∞)上是增函数，则a＋m的值是________．
16．若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cs x(0<φ<π)的最大值为2，则常数φ的值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)(1)求值：若xlg32＝1，求2x＋2－x的值；
(2)化简： eq \f(cs （α－3π）cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sin 2α).
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{x|x2＋4mx－5m2＜0}，其中m∈R.
(1)若B＝{x|－5＜x＜1}，求实数m的值；
(2)已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分12分)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数；
②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0；
③x＝0与x＝ eq \f(π,2)是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)＝2；
问题：已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若________．
(1)求ω，φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．(本小题满分12分)已知cs α＝－ eq \f(4,5)，且 eq \f(π,2)<α<π.
(1)求5sin (π＋α)－4tan (3π－α)的值；
(2)若0<β< eq \f(π,2)，cs (β－α)＝ eq \f(\r(5),5)，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2β))的值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln eq \f(2－mx,2＋x)，m>0，且f(1)＋f(－1)＝0.
(1)证明：f(x)在定义域上是减函数；
(2)若f(x)＋ln 922．(本小题满分12分)北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道．探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成．
某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度v(单位：千米/秒)满足v＝W ln eq \f(m＋M,M)，其中，W(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m(单位：吨)表示它装载的燃料质量，M(单位：吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量).
(1)某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒．当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到0.1)；
(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由．
(参考数据：无理数e＝2.718 28…，ln 3≈1.10)
期末质量检测
1．解析：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，
所以∁UT＝{1，5}，
所以S∩(∁UT)＝{1，5}．故选A.
答案：A
2．解析：sin 330°＝sin (360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－ eq \f(1,2)，故选C.
答案：C
3．解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x>0，2x>lg2x，则命题p的否定为“∃x>0，2x≤lg2x”，故选B.
答案：B
4．解析：根据题意，雨水是冬至后的第四个节气，故从冬至到雨水对应地球在黄道上运行了4×15°＝60°.故选D.
答案：D
5．解析：因为终边经过点(－2，a)，且α＝120°，
所以tan 120°＝ eq \f(a,－2)＝－ eq \r(3)，
解得a＝2 eq \r(3)，故选C.
答案：C
6．解析：因为01，所以b答案：D
7．解析：函数的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝ eq \f(ln |－x|,e－x－ex)＝－ eq \f(ln |x|,ex－e－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f(1)＝0，排除A，B，故选C.
答案：C
8．解析：第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线I位于 eq \f(25,33)周期处，情绪曲线E位于 eq \f(1,2)周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，
A项， eq \f(25,33)> eq \f(3,4)则智力曲线I不处于最低点，故A错误；B项，情绪曲线E处于最高点，即将开始下降，故B错误；C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I与情绪曲线E不一定相交，故C错误；D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确，故选D.
答案：D
9．解析：对于A，若a，b为正实数，a≠b，
∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，a0，则 eq \f(a＋m,b＋m)> eq \f(a,b)，故B错误；对于C，若 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，则 eq \f(1,a)－ eq \f(1,b)＝ eq \f(b－a,ab)<0，不能推出a>b>0，而当a>b>0时，有b－a<0，ab>0，所以 eq \f(b－a,ab)<0成立，即 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，
所以“a>b>0”是“ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)”的充分不必要条件，故C正确；对于D，当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，0答案：AC
10．解析：因为α为第二象限角，
sin α>0，cs α<0，tan α<0
所以A，B正确，D不正确；当α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))时，sin α＋cs α>0，当α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))时，sin α＋cs α<0，所以C不一定正确．故选AB.
答案：AB
11．解析：对于A，若y＝f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数y＝ eq \f(1,x)的减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，但函数y＝ eq \f(1,x)在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f(x)＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f(x)＝eln x定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，函数g(x)＝ eq \f(1,\r(x))定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，故D正确．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：f(x)＝ eq \f(1－cs 2x,2)＋ eq \f(1－cs （2x＋2α）,2)＋ eq \f(1－cs （2x＋2β）,2)＝ eq \f(3,2)－ eq \f(1,2)cs 2x·(1＋cs 2α＋cs 2β)－sin 2x·(sin 2β＋sin 2α)，
由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs 2α＋cs 2β＝－1,sin 2β＋sin 2α＝0))，
两式平方相加可得cs (2α－2β)＝－ eq \f(1,2)，
所以f(x)＝ eq \f(3,2)，2α－2β＝ eq \f(2π,3)＋2kπ或－ eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.
当α＝ eq \f(π,3)，β＝ eq \f(2π,3)时，2α－2β＝－ eq \f(2π,3)符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选AD.
答案：AD
13．解析：已知弧长为 eq \f(π,3) cm的弧所对圆心角为 eq \f(π,6)，
因为α＝ eq \f(l,r)，
所以r＝ eq \f(l,α)＝ eq \f(\f(π,3),\f(π,6))＝2.
答案：2
14．解析：f(0)＝20＋2＝3，
f(f(0))＝f(3)＝lga2＝2，即a2＝2，又a>0，且a≠1，
所以a＝ eq \r(2).
答案： eq \r(2)
15．解析：当a>1时，函数f(x)＝lgax是正实数集上的增函数，而函数f(x)＝lgax在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))上的最大值为2，因此有f(4)＝lga4＝2⇒a＝2，所以m＝lg2 eq \f(1,2)＝－1，此时g(x)＝ eq \r(x)在[0，＋∞)上是增函数，符合题意，因此a＋m＝2－1＝1；当0答案：1
16．解析：因为f(x)＝cs φsin x＋(sin φ＋1)cs x＝ eq \r(cs2φ＋（sinφ＋1）2)sin (x＋θ)，
所以 eq \r(cs2φ＋（sinφ＋1）2)＝2，解得sin φ＝1，因为0<φ<π，所以φ＝ eq \f(π,2).
答案： eq \f(π,2)
17．解析：(1)由题意，lg32x＝1，得2x＝3，
得2x＋2－x＝3＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(10,3).
(2) eq \f(cs （α－3π）cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sin 2α)＝ eq \f(－cs αsin α,2sin αcs α)＝－ eq \f(1,2).
18．解析：(1)由题意，－5，1是方程x2＋4mx－5m2＝0的两根，
由韦达定理得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4m＝－4,－5m2＝－5))，解得m＝1，经检验符合条件．
(2)由题意，A＝{x|－1＜x＜4}，A⊆B，
因为m＞0，则B＝{x|－5m＜x＜m}，
由A⊆B得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－5m≤－1,m≥4))，解得m≥4.
所以实数m的取值范围是[4，＋∞).
19．解析：(1)方案一：选条件①
∵f(x)的最小正周期为π，
∴T＝ eq \f(2π,ω)＝π，
∴ω＝2.
又f(x)是偶函数，
∴sin (2x＋φ)＝sin (－2x＋φ)恒成立，
∴sin 2x cs φ＝0恒成立，
∴cs φ＝0，
∴φ＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z.
又0<φ<π，
∴φ＝ eq \f(π,2).
(2)由(1)知，f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x，
将y＝f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度后，得到y＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
再将横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图象．
由2kπ≤ eq \f(x,2)－ eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z.
当k＝0时， eq \f(2π,3)≤x≤ eq \f(8π,3).
∵0≤x≤π，
∴ eq \f(2π,3)≤x≤π，
∴g(x)在[0，π]上的单调递减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).
方案二：选条件②
(1)∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，
∴T＝ eq \f(2π,ω)＝π，
∴ω＝2
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,4)＋φ))＝0，即cs φ＝0
∴φ＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z.
又0<φ<π，
∴φ＝ eq \f(π,2).
(2)同方案一(2)
方案三：选条件③
(1)∵x＝0与x＝ eq \f(π,2)是f(x)图象上相邻的两条对称轴，
∴ eq \f(T,2)＝ eq \f(π,2)，即T＝ eq \f(2π,ω)＝π.
∴ω＝2
又f(0)＝2sin φ＝2
∴sin φ＝1，
∴φ＝2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z.
又0<φ<π，
∴φ＝ eq \f(π,2).
(2)同方案一(2).
20．解析：∵cs α＝－ eq \f(4,5)， eq \f(π,2)<α<π，
∴sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4,5)))\s\up12(2))＝ eq \f(3,5)，
∴tanα＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－ eq \f(3,4)；
(1)5sin (π＋α)－4tan (3π－α)＝－5sin α＋4tan α＝－5× eq \f(3,5)＋4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝－6；
(2)∵0<β< eq \f(π,2)， eq \f(π,2)<α<π，
∴－π<β－α<0，
又∵cs (β－α)＝ eq \f(\r(5),5)，
∴sin (β－α)＝－ eq \r(1－cs2（β－α）)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝－ eq \f(2\r(5),5)，
∴csβ＝cs [(β－α)＋α]＝cs (β－α)cs α－sin (β－α)sin α＝ eq \f(\r(5),5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))× eq \f(3,5)＝ eq \f(2\r(5),25)，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2β))＝cs 2β＝2cs 2β－1＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),25))) eq \s\up12(2)－1＝－ eq \f(117,125).
21．解析：(1)∵f(1)＋f(－1)＝0，
∴ln eq \f(2－m,3)＋ln (2＋m)＝ln eq \f(4－m2,3)＝0，
∴m2＝1，
又m>0，
∴m＝1，
∴f(x)＝ln eq \f(2－x,2＋x).
由 eq \f(2－x,2＋x)>0，解得－2∴f(x)的定义域为(－2，2).
令g(x)＝ eq \f(2－x,2＋x)＝－1＋ eq \f(4,2＋x).
任取x1，x2∈(－2，2)，且x1g(x1)－g(x2)＝ eq \f(4,2＋x1)－ eq \f(4,2＋x2)＝ eq \f(4（x2－x1）,（2＋x1）（2＋x2）).
x2－x1>0，2＋x1>0，2＋x2>0，
∴g(x1)－g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，
又y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，
由复合函数的单调性知：f(x)在(－2，2)上是减函数．
(2)∵f(－x)＝ln eq \f(2＋x,2－x)＝－ln eq \f(2－x,2＋x)＝－f(x)，
∴原不等式可化为2f(x)<－ln 9，即f(x)由(1)知，f(x)是减函数，
∴x>1.
又f(x)的定义域为(－2，2)，
∴x的取值集合为{x|122．解析：(1)∵W＝3，M＝50，m＝100，
∴v＝W ln eq \f(m＋M,M)＝3×ln eq \f(100＋50,50)＝3ln 3≈3.3，
∴该单级火箭的最大速度为3.3千米/秒．
(2)∵ eq \f(m,M)≤9，W＝2，
∴ eq \f(m＋M,M)＝ eq \f(m,M)＋1≤10.
∴v＝W ln eq \f(m＋M,M)≤2ln 10.
∵e7.9>27.9>27＝128>100，
∴7.9＝ln e7.9>ln 100＝2ln 10，
∴v<7.9.
∴该单级火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒．