2024版新教材高中数学期末单元素养水平监测新人教A版必修第一册

这是一份2024版新教材高中数学期末单元素养水平监测新人教A版必修第一册，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A．{－2，－1，0，1}B．{0，1，2}
C．{－2}D．2
2．已知幂函数f(x)＝xα (α是常数)的图象经过点(2，4)，那么f(－2)＝( )
A．4B.－4
C.eq \f(1,4)D.－eq \f(1,4)
3．设a＝50.7，b＝sin2，c＝lg60.2，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a>b>cB.b>a>c
C.b>c>aD.c>a>b
4．设函数f(x)＝2x＋x－5，则函数f(x)的零点所在区间是( )
A．(－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－3）x＋5，x≤1,\f(2a,x)，x>1))是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，3) B. (0，3]
C. (0，2) D. (0，2]
6．已知a>0，b>0且2a＋5b＝10，则ab的最大值为( )
A．2B.5
C.eq \f(3,2)D.eq \f(5,2)
7．函数y＝|lg (x＋1)|的图象是( )
8．已知定义在[a－1，2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－1)>f(2x－3a)的解集是( )
A．(0，eq \f(2,3)) B．[eq \f(1,6)，eq \f(5,6)]
C．(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) D．(eq \f(2,3)，eq \f(5,6)]
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数f(x)＝x2－mx＋1在区间[3，8]上单调，则实数m的值可以是( )
A．0B．8
C．16D．20
10．下列结论正确的是( )
A．－eq \f(4π,3)是第二象限角
B．函数f(x)＝|sinx|的最小正周期是π
C．若tanα＝3，则eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝4
D．若圆心角为eq \f(π,6)的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π
11．f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝4x－x2，则下列说法中错误的是( )
A．f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]∪[0，2]
B．f(－π)C．f(x)的最大值为4
D．f(x)>0的解集为(－4，4)
12．关于函数f(x)＝tan (eq \f(x,2)－eq \f(π,3))，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))
C．f(x)的图象的对称中心为(kπ＋eq \f(2π,3)，0)，k∈Z
D．f(x)在区间(0，π)上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数f(x)＝3sin (ωx＋eq \f(π,3))的最小正周期T＝π，则ω＝________．
14．若“－115．已知sinα＝eq \f(5,13)，则cs (eq \f(3π,2)＋α)＝________．
16．函数y＝eq \r(1＋lg\s\d9(\f(1,2))（3x－1）)的定义域是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)计算下列各式的值：
(1)(2eq \f(1,4))eq \s\up6(\f(1,2))－(－0.96)0－(eq \f(8,27))eq \s\up6(\f(2,3))＋(eq \f(3,2))－2；
(2)lg327＋lg25＋lg4＋eln2.
18．(本小题12分)已知sinα＝eq \f(3,5)，并且α是第二象限角，求：
(1)cs2α和tanα的值；
(2)求eq \f(2sinα＋3csα,csα－sinα)的值．
19．(本小题12分)已知f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2)＋1.
(1)求函数f(x)的对称轴方程；
(2)求出函数f(x)在[0，π]上的单调区间及最值．
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝4x－2x＋1＋3.
(1)当f(x)＝11时，求x的值；
(2)当x∈[－2，1]时，求f(x)的最大值和最小值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lga(2＋3x)－lga(2－3x)(a>0，a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；
(3)当022．(本小题12分)设f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1).
(1)判断函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：函数y＝f(x)在R上是增函数；
(3)若f(1－t)＋f(1－t2)<0，求t的取值范围．
期末 单元素养水平监测
1．解析：方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
方法二 由于1∈/N，所以1∈/M∩N，排除A，B；由于2∈/N，所以2∈/M∩N，排除D.故选C.
答案：C
2．解析：因为幂函数f(x)＝xα(α是常数)的图象经过点(2，4)，
所以2α＝4，解得α＝2，
所以f(x)＝x2，
所以f(－2)＝(－2)2＝4.故选A.
答案：A
3．解析：因为a＝50.7>50＝1，所以a>1；
因为eq \f(π,2)<2<π，所以0因为c＝lg60.2所以a>b>c.故选A.
答案：A
4．解析：因为函数f(x)＝2x＋x－5的图象连续不断，
且f(－1)＝2－1－1－5＝－eq \f(11,2)<0，f(0)＝1＋0－5＝－4<0，
f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝22＋2－5＝1>0，f(3)＝23＋3－5＝6>0，
所以函数f(x)的零点所在区间是(1，2).故选C.
答案：C
5．解析：由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3<0,2a>0,（a－3）＋5≥2a))解得0答案：D
6．解析：因为2a＋5b＝10≥2eq \r(2a·5b)，所以ab≤eq \f(5,2)，当且仅当a＝eq \f(5,2)，b＝1时，等号成立．
所以ab的最大值为eq \f(5,2).故选D.
答案：D
7．解析：由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与x轴的交点是(1，0)，
故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．故选A.
答案：A
8．解析：由题意a－1＋2a＝0，a＝eq \f(1,3)，f(x)的定义域[－eq \f(2,3)，eq \f(2,3)]，x∈[0，eq \f(2,3)]时，f(x)递减，
又f(x)是偶函数，因此不等式f(x－1)>f(2x－3a)转化为f(|x－1|)>f(|2x－1|)，
|x－1|<|2x－1|≤eq \f(2,3)，(x－1)2<(2x－1)2≤eq \f(4,9)，解得eq \f(2,3)答案：D
9．解析：函数f(x)＝x2－mx＋1的对称轴为x＝eq \f(m,2)，
若函数f(x)＝x2－mx＋1在区间[3，8]上单调，则eq \f(m,2)≤3或eq \f(m,2)≥8，解得m≤6或m≥16.故选ACD.
答案：ACD
10．解析：对于A：根据象限角的范围，－eq \f(4π,3)为第二象限角，故A正确；
对于B：因为函数y＝sinx的最小正周期是2π，
所以函数f(x)＝|sinx|的最小正周期是π，故B正确；
对于C：若tanα＝3，则eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝2，故C错误；
对于D：若圆心角为eq \f(π,6)的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为S＝eq \f(1,2)·π·6＝3π，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11．解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝4x－x2，
当x<0，－x>0，故f(x)＝f(－x)＝[－4x－(－x)2]＝－4x－x2，
画出f(x)的图象如下：
A：两个单调递增区间中间要用和或逗号分开，故A错误；
B：f(－π)＝f(π)，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(－π)＝f(π)>f(5)，故B错误；
C：当x≥0时，f(x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，f(x)最大值为4，又因为f(x)是偶函数，故C正确；
D：f(x)>0的解集为(－4，0)∪(0，4)，故D错误．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π，A对；
由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得x≠2kπ＋eq \f(5π,3)(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z}，B错；
由eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，解得x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，所以，函数f(x)图象的对称中心为(kπ＋eq \f(2π,3)，0)(k∈Z)，C对；
当0答案：ACD
13．解析：因为f(x)＝3sin (ωx＋eq \f(π,3))，
所以T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，解得ω＝±2.
答案：±2
14．解析：因为x－a≤0，即x≤a，由于“－1答案：[1，＋∞)
15．解析：由诱导公式可知cs (eq \f(3π,2)＋α)＝sinα＝eq \f(5,13).
答案：eq \f(5,13)
16．解析：由题意得函数y＝eq \r(1＋lg\s\d9(\f(1,2))（3x－1）)要有意义，
需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－1>0,1＋lg\s\d9(\f(1,2))（3x－1）≥0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3),lg\s\d9(\f(1,2))（3x－1）≥lg\s\d9(\f(1,2))2))，解得eq \f(1,3)即函数y＝eq \r(1＋lg\s\d9(\f(1,2))（3x－1）)的定义域是(eq \f(1,3)，1].
答案：(eq \f(1,3)，1]
17．解析：(1)(2eq \f(1,4))eq \s\up6(\f(1,2))－(－0.96)0－(eq \f(8,27))eq \s\up6(\f(2,3))＋(eq \f(3,2))－2
＝(eq \f(9,4))eq \s\up6(\f(1,2))－1－(eq \f(8,27))eq \s\up6(\f(2,3))＋(eq \f(3,2))－2
＝eq \f(3,2)－1－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(1,2).
(2)lg327＋lg25＋lg4＋eln2
＝lg333＋lg (25×4)＋2
＝3＋lg100＋2＝3＋2＋2＝7.
18．解析：(1)因为α是第二象限角，则csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，
所以cs2α＝1－2sin2α＝1－2×(eq \f(3,5))2＝eq \f(7,25)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(3,5)×(－eq \f(5,4))＝－eq \f(3,4).
(2)eq \f(2sinα＋3csα,csα－sinα)＝eq \f(2tanα＋3,1－tanα)＝eq \f(2×（－\f(3,4)）＋3,1－（－\f(3,4)）)＝eq \f(6,7).
19．解析：(1)因为f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))＋eq \f(\r(3),2)＋1，
令2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，可得x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z).
(2)当0≤x≤π时，则eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(7π,3)，
由eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，可得0≤x≤eq \f(π,12)；由eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)，可得eq \f(π,12)≤x≤eq \f(7π,12)；
由eq \f(3π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(7π,3)，可得eq \f(7π,12)≤x≤π；
所以函数f(x)在[0，π]上的增区间为[0，eq \f(π,12)]，[eq \f(7π,12)，π]，减区间为[eq \f(π,12)，eq \f(7π,12)]，
因为eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(7π,3)，则sin (2x＋eq \f(π,3))∈[－1，1]，可得f(x)∈[eq \f(\r(3),2)，2＋eq \f(\r(3),2)]，
故函数f(x)在[0，π]上的最大值为2＋eq \f(\r(3),2)，最小值为eq \f(\r(3),2).
20．解析：(1)当f(x)＝11，即4x－2x＋1＋3＝11时，(2x)2－2·2x－8＝0，
∴(2x－4)(2x＋2)＝0，
∵2x＋2>0，
∴2x－4＝0，2x＝4，故x＝2.
(2)令t＝2x，t∈[eq \f(1,4)，2]，
∴原函数即可化为y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2，
当t＝1，即x＝0时，函数的最小值f(x)min＝2，
当t＝2，即x＝1时，函数的最大值f(x)max＝3，
即函数的最大值和最小值分别为3和2.
21．解析：(1)根据题意，函数f(x)＝lga(2＋3x)－lga(2－3x)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋3x>0,2－3x>0))，解可得－eq \f(2,3)即函数的定义域为(－eq \f(2,3)，eq \f(2,3)).
(2)根据题意，函数f(x)为奇函数，
证明如下：
函数f(x)的定义域为(－eq \f(2,3)，eq \f(2,3))，定义域关于原点对称，
f(－x)＝lga(2－3x)－lga(2＋3x)＝－f(x)，
则函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)≥0即lga(2＋3x)≥lga(2－3x)，
又由0则有0<2＋3x≤2－3x，解可得－eq \f(2,3)即f(x)≥0的解集为(－eq \f(2,3)，0].
22．解析：(1)函数y＝f(x)为奇函数，证明如下：
f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，
f(－x)＝eq \f(2－x－1,2－x＋1)＝eq \f(2x（2－x－1）,2x（2－x＋1）)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，
∴y＝f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝eq \f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq \f(2,2x＋1)，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数y＝f(x)在R上是增函数．
(3)∵y＝f(x)在R上是奇函数且是增函数，
所以f(1－t)＋f(1－t2)<0⇔f(1－t)<－f(1－t2)＝f(t2－1)⇔1－t0⇔(t＋2)(t－1)>0，解得t>1或t<－2，
所以t的取值范围是t>1或t<－2.